Następnik liczby porządkowej


Następnik liczby porządkowej w encyklopedii

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Następnik liczby porządkowej – najmniejsza liczba porządkowa większa niż α . {\displaystyle \alpha .} Liczbę, która jest następnikiem pewnej liczby porządkowej, nazywa się liczbą następnikową. Każda liczba porządkowa różna od 0 {\displaystyle 0} jest albo liczbą następnikową, albo graniczną liczbą porządkową.

Używając liczb porządkowych von Neumanna (standardowego modelu używanego obecnie w teorii mnogości), następnikiem liczby porządkowej α {\displaystyle \alpha } jest S ( α ) {\displaystyle S(\alpha )} dana wzorem:

S ( α ) = α { α } . {\displaystyle S(\alpha )=\alpha \cup \{\alpha \}.}

Spis treści

Zastosowanie | edytuj kod

Następnik liczby porządkowej jest podstawową operacją przeprowadzaną na liczbach porządkowych. Najbardziej znanym jej zastosowaniem jest konstrukcja zbiorów induktywnych, np. zbioru liczb naturalnych w konstrukcji von Neumanna.

Używając operacji następnika, można zdefiniować arytmetykę liczb porządkowych, na przykład dodawanie, przez indukcję pozaskończoną:

α + 0 = α , {\displaystyle \alpha +0=\alpha ,} α + S ( β ) = S ( α + β ) {\displaystyle \alpha +S(\beta )=S(\alpha +\beta )}

i dla granicznej liczby porządkowej λ

α + λ = β < λ ( α + β ) . {\displaystyle \alpha +\lambda =\bigcup _{\beta <\lambda }(\alpha +\beta ).}

W szczególności, S ( α ) = α + 1. {\displaystyle S(\alpha )=\alpha +1.} Podobnie definiuje się mnożenie i potęgowanie.

Punkty następnikowe i zero są punktami skupienia klasy liczb porządkowych, w odniesieniu do topologii porządkowej.

Uwaga:

Nie każda liczba porządkowa jest następnikowa. Liczby niemające tej własności nazywamy granicznymi liczbami porządkowymi (nie mylić z granicznymi liczbami kardynalnymi).

Własności | edytuj kod

  • Nie istnieje żadna liczba porządkowa pomiędzy α {\displaystyle \alpha } i S ( α ) , {\displaystyle S(\alpha ),}
α < S ( α ) . {\displaystyle \alpha <S(\alpha ).}
  • Jeśli α S ( α ) , {\displaystyle \alpha \in S(\alpha ),} to α S ( α ) {\displaystyle \alpha \subset S(\alpha )} (zob. zbiór przechodni).

Przykłady | edytuj kod

  • S ( ) = { } {\displaystyle S(\varnothing )=\{\varnothing \}} (tu: = 0 {\displaystyle \varnothing =0} )
  • S ( { } ) = { , { } } , {\displaystyle S\left(\{\varnothing \}\right)=\left\{\varnothing ,\{\varnothing \}\right\},}
  • S ( { , { } } ) = { , { } , { , { } } } . {\displaystyle S\left(\left\{\varnothing ,\{\varnothing \}\right\}\right)=\left\{\varnothing ,\{\varnothing \},\left\{\varnothing ,\{\varnothing \}\right\}\right\}.}

Zobacz też | edytuj kod

Bibliografia | edytuj kod

Na podstawie artykułu: "Następnik liczby porządkowej" pochodzącego z Wikipedii
OryginałEdytujHistoria i autorzy