Nierówność Bernsteina


Nierówność Bernsteina w encyklopedii

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Nierówności Bernsteina – nierówności pojawiające się w rachunku prawdopodobieństwa. Ich nazwa pochodzi od nazwiska radzieckiego matematyka, Siergieja Bernsteina (nie mylić z niemieckim matematykiem Felixem Bernsteinem, zajmującym się głównie teorią mnogości).

Nierówność Bernsteina | edytuj kod

Niech X 1 , , X n {\displaystyle X_{1},\dots ,X_{n}} będą niezależnymi zmiennymi losowymi na przestrzeni ( Ω , A , P ) {\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {A}},P)} o tym samym rozkładzie takimi, że | X i | K , E X i = 0 , E X i 2 = σ 2 {\displaystyle |X_{i}|\leqslant K,{\mbox{E}}X_{i}=0,{\mbox{E}}X_{i}^{2}=\sigma ^{2}} dla pewnej liczby K 0 {\displaystyle K\geqslant 0} oraz wszystkich liczb naturalnych i n . {\displaystyle i\leqslant n.} Wówczas, prawdziwa jest następująca nierówność, zwana nierównością Bernsteina:

P ( | X 1 + + X n | > t σ n ) 2 exp ( t 2 2 1 1 + K t 3 σ n ) . {\displaystyle P{\bigg (}{\Big |}X_{1}+\ldots +X_{n}{\Big |}>t\sigma {\sqrt {n}}{\bigg )}\leqslant 2\exp \left(-{\frac {t^{2}}{2}}\cdot {\frac {1}{1+{\frac {Kt}{3\sigma {\sqrt {n}}}}}}\right).}

Nierówność Bernsteina (schemat Bernoulliego) | edytuj kod

Jeśli S n {\displaystyle S_{n}} jest liczbą sukcesów w schemacie n {\displaystyle n} prób Bernoulliego z prawdopodobieństwem sukcesu p , {\displaystyle p,} to dla każdego ε > 0 {\displaystyle \varepsilon >0}

P ( | S n n p | > ε ) 2 e n ε 2 4 . {\displaystyle P\left(\left|{\frac {S_{n}}{n}}-p\right|>\varepsilon \right)\leqslant 2e^{-{\frac {n\varepsilon ^{2}}{4}}}.}

Szczególnym przypadkiem tej nierówności jest tzw. symetryczna nierównosć Bernsteina, która mówi, że jeżeli ( U n ) {\displaystyle (U_{n})} jest ciągiem Bernoulliego, to

P ( U 1 + + U n n > r ) e r 2 2 . {\displaystyle P\left({\frac {U_{1}+\ldots +U_{n}}{\sqrt {n}}}>r\right)\leqslant e^{-{\frac {r^{2}}{2}}}.}

Bibliografia | edytuj kod

  • Jacek Jakubowski, Rafał Sztencel: Wstęp do teorii prawdopodobieństwa. Warszawa: SCRIPT, 2004.
Na podstawie artykułu: "Nierówność Bernsteina" pochodzącego z Wikipedii
OryginałEdytujHistoria i autorzy