Nieskończenie duże


Nieskończenie duże w encyklopedii

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Nieskończenie duże – podzbiór ciała uporządkowanego F := ( F , + , , 0 , 1 , < ) {\displaystyle {\mathfrak {F}}:=(\mathbb {F} ,+,\cdot ,0,1,<)} zdefiniowany jako zbiór tych elementów ciała, które są większe od dowolnej liczby „naturalnej” tego ciała (czyli liczby powstałej z sumowania elementu neutralnego działania multyplikatywnego ciała F {\displaystyle {\mathfrak {F}}} ), czyli zbiór:

Ψ := { x F : n N   | x | > n } . {\displaystyle \Psi :=\{x\in \mathbb {F} :\forall _{n\in \mathbb {N} }\ |x|>n\}.}

Ponieważ w każdym ciele uporządkowanym porządek jest liniowy oraz istnieją liczby „naturalne” (w sensie opisanym powyżej), to da się również zdefiniować zbiór liczb nieskończenie dużych Ψ . {\displaystyle \Psi .}

Ciało liczb rzeczywistych | edytuj kod

W ciele liczb rzeczywistych R := ( R , + , , 0 , 1 , < ) , {\displaystyle {\mathfrak {R}}:=(\mathbb {R} ,+,\cdot ,0,1,<),} jak i w każdym ciele archimedesowym, nie istnieją liczby nieskończenie duże, tzn. Ψ = {\displaystyle \Psi =\emptyset } [1].

Ciało liczb hiperrzeczywistych | edytuj kod

 Zobacz więcej w artykule Liczby hiperrzeczywiste, w sekcji Szczególne podstruktury ciała liczb hiperrzeczywistych.

W ciele liczb hiperrzeczywistych R := ( R , , , 0 , 1 , ) {\displaystyle {\mathfrak {R}}^{*}:=(\mathbb {R} ^{*},\oplus ,\odot ,0^{*},1^{*},\prec )} zbiór liczb nieskończenie dużych to

Ψ := { x R : n N   | x | n } {\displaystyle \Psi :=\{x\in \mathbb {R} ^{*}:\forall _{n\in \mathbb {N} }\ |x|\succ n^{*}\}} [2].

Hiperrzeczywistych liczb nieskończenie dużych jest nieskończenie wiele, do zbioru Ψ {\displaystyle \Psi } należy np. liczba ( n ) n = 1 {\displaystyle [(n)_{n=1}^{\infty }]} [3], a liczba odwrotna do liczby nieskończenie dużej jest nieskończenie mała[4].

Przypisy | edytuj kod

  1. Piotr Błaszczyk, Analiza filozoficzna rozprawy Richarda Dedekinda Stetigkeit und irrationale Zahlen, Wydawnictwo Naukowe Akademii Pedagogicznej, Kraków 2007, ​ISBN 978-83-7271-446-6​, s. 258.
  2. Piotr Błaszczyk, Joanna Major, Calculus without the concept of limit, Annales Universitatis Paedagogicae Cracoviensis. Studia ad Didacticam Mathematicae Pertinentia, 6, 2014, ISSN 2080-9751, s. 30.
  3. Arne Tobias Malkenes Ødegaard, Hyperreal Calculus, Department of Mathematics, University of Oslo, s. 4.
  4. Arne Tobias Malkenes Ødegaard, Hyperreal Calculus, Department of Mathematics, University of Oslo, s. 8.
Na podstawie artykułu: "Nieskończenie duże" pochodzącego z Wikipedii
OryginałEdytujHistoria i autorzy