Nieskończenie małe


Nieskończenie małe w encyklopedii

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Nieskończenie małe – podzbiór ciała uporządkowanego F := ( F , + , , 0 , 1 , < ) {\displaystyle {\mathfrak {F}}:=(\mathbb {F} ,+,\cdot ,0,1,<)} zdefiniowany jako zbiór tych elementów ciała, które są na moduł mniejsze od dowolnej liczby postaci 1 / n {\displaystyle 1/n} (gdzie n {\displaystyle n} rozumie się jako n {\displaystyle n} -krotną sumę jedności 1 {\displaystyle 1} ciała F {\displaystyle \mathbb {F} } ), czyli zbiór:

Ω := { x F : n N   | x | < 1 / n } . {\displaystyle \Omega :=\{x\in \mathbb {F} \colon \forall _{n\in \mathbb {N} }\ |x|<1/n\}.}

Powyższa definicja jest poprawna, ponieważ w każdym ciele uporządkowanym porządek jest liniowy, oraz istnieją liczby „naturalne” (jako skończone sumy multiplikatywnego elementu neutralnego) oraz da się zdefiniować funkcję moduł jako:

| x | = { x dla  x 0 x dla  x < 0 , {\displaystyle |x|={\begin{cases}x&{\mbox{dla }}x\geqslant 0\\-x&{\mbox{dla }}x<0\end{cases}},}

gdzie x {\displaystyle -x} oznacza element przeciwny do x {\displaystyle x} względem działania addytywnego[1].

Ciało liczb rzeczywistych | edytuj kod

W ciele liczb rzeczywistych R := ( R , + , , 0 , 1 , < ) {\displaystyle {\mathfrak {R}}:=(\mathbb {R} ,+,\cdot ,0,1,<)} jedyną liczbą nieskończenie małą jest liczba 0 , {\displaystyle 0,} czyli Ω = { 0 } . {\displaystyle \Omega =\{0\}.}

Ciało liczb hiperrzeczywistych | edytuj kod

 Zobacz więcej w artykule Liczby hiperrzeczywiste, w sekcji Szczególne podstruktury ciała liczb hiperrzeczywistych.

W ciele liczb hiperrzeczywistych R := ( R , , , 0 , 1 , ) {\displaystyle {\mathfrak {R}}^{*}:=(\mathbb {R} ^{*},\oplus ,\odot ,0^{*},1^{*},\prec )} zbiór liczb nieskończenie małych to

Ω = { x R : r R +   | x | r } {\displaystyle \Omega =\{x\in \mathbb {R} ^{*}\colon \forall _{r\in \mathbb {R} _{+}}\ |x|\prec r^{*}\}} [2][3] i liczb tych jest nieskończenie wiele.

Do zbioru Ω {\displaystyle \Omega } należy np. liczba ( 1 / n ) n = 1 {\displaystyle [(1/n)_{n=1}^{\infty }]} [3][4].

Struktura ( Ω , , 0 ) {\displaystyle (\Omega ,\oplus ,0^{*})} jest grupą[5], a ( Ω , , , 0 ) {\displaystyle (\Omega ,\oplus ,\odot ,0^{*})} jest pierścieniem[3] oraz grupa liczb nieskończenie małych jest ideałem w pierścieniu liczb ograniczonych[3][5].

W zbiorze Ω {\displaystyle \Omega } nie ma liczby ani największej, ani najmniejszej[3].

Liczby odwrotne względem działania {\displaystyle \odot } do niezerowej liczby nieskończenie małej są liczbami nieskończenie dużymi[6].

Przypisy | edytuj kod

  1. Piotr Błaszczyk, Analiza filozoficzna rozprawy Richarda Dedekinda Stetigkeit und irrationale Zahlen, Wydawnictwo Naukowe Akademii Pedagogicznej, Kraków 2007, ISBN 978-83-7271-446-6, s. 258.
  2. Piotr Błaszczyk, Joanna Major, Calculus without the concept of limit, Annales Universitatis Paedagogicae Cracoviensis. Studia ad Didacticam Mathematicae Pertinentia, 6, 2014, ISSN 2080-9751, s. 30.
  3. a b c d e Piotr Błaszczyk, Analiza filozoficzna rozprawy Richarda Dedekinda Stetigkeit und irrationale Zahlen, Wydawnictwo Naukowe Akademii Pedagogicznej, Kraków 2007, ISBN 978-83-7271-446-6, s. 182.
  4. Arne Tobias Malkenes Ødegaard, Hyperreal Calculus, Department of Mathematics, University of Oslo, s. 4.
  5. a b Piotr Błaszczyk, Joanna Major, Calculus without the concept of limit, Annales Universitatis Paedagogicae Cracoviensis. Studia ad Didacticam Mathematicae Pertinentia, 6, 2014, ISSN 2080-9751, s. 32.
  6. Arne Tobias Malkenes Ødegaard, Hyperreal Calculus, Department of Mathematics, University of Oslo, s. 8.
Na podstawie artykułu: "Nieskończenie małe" pochodzącego z Wikipedii
OryginałEdytujHistoria i autorzy