Nośnik miary


Nośnik miary w encyklopedii

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Nośnik miary – pojęcie analogiczne do pojęcia nośnika funkcji. Nie jest to jednak podzbiór σ-algebry, na której miara jest określona, lecz podzbiór przestrzeni, w której jest ona zdefiniowana. Dla rozkładów prawdopodobieństwa nośnikiem miary jest zbiór wszystkich wartości, które może przyjąć zmienna losowa.

Definicja | edytuj kod

Niech ( X , T ) {\displaystyle (X,{\mathcal {T}})} będzie przestrzenią topologiczną i niech μ {\displaystyle \mu } będzie miarą borelowską na X . {\displaystyle X.} Nośnikiem miary μ nazywamy zbiór wszystkich tych punktów z X , {\displaystyle X,} których każde otoczenie otwarte ma dodatnią miarę:

s u p p ( μ ) := { x X | x N x T , μ ( N x ) > 0 } . {\displaystyle \mathrm {supp} (\mu ):=\{x\in X|\forall x\in N_{x}\in {\mathcal {T}},\mu (N_{x})>0\}.}

Niekiedy jako nośnik miary definiuje się domknięcie tego zbioru, jednak jest to zbędne, gdyż powyższy zbiór jest domknięty.

Związek z pojęciem nośnika funkcji | edytuj kod

Należy zwrócić uwagę na istotną różnicę w pojęciu nośnika funkcji i nośnika miary. Miara jest pewną funkcją z pewnej σ-algebry podzbiorów danej przestrzeni w zbiór liczb rzeczywistych nieujemnych. Nośnik miary interpretowany jako nośnik tej funkcji nie jest tym samym co nośnik miary zdefiniowany powyżej. Pierwsze z tych pojęć oznacza pewien podzbiór σ-algebry, na której określona jest miara (mianowicie zbiór tych zbiorów z tej σ-algebry, które maja miarę dodatnią) podczas gdy drugie oznacza pewien podzbiór samej przestrzeni, w której zdefiniowano miarę.

Przykłady | edytuj kod

Nośnikiem miary Lebesgue’a na zbiorze liczb rzeczywistych R {\displaystyle \mathbb {R} } jest cały zbiór R . {\displaystyle \mathbb {R} .}

Nośnikiem miary Diraca skoncentrowanej w punkcie p R {\displaystyle p\in \mathbb {R} } jest { p } . {\displaystyle \{p\}.}

Na podstawie artykułu: "Nośnik miary" pochodzącego z Wikipedii
OryginałEdytujHistoria i autorzy