Norma operatorowa

Norma operatorowa w encyklopedii

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Norma operatorowa – norma w przestrzeni operatorów liniowych i ciągłych między dwiema ustalonymi przestrzeniami unormowanymi. Jeżeli X {\displaystyle X} i Y {\displaystyle Y} są przestrzeniami unormowanymi to wzór

‖ T ‖ = inf { c > 0 : ‖ T x ‖ ⩽ c ‖ x ‖  dla każdego  x ∈ X } {\displaystyle {\begin{aligned}\|T\|&=\inf\{c>0:\|Tx\|\leqslant c\|x\|{\mbox{ dla każdego }}x\in X\}\end{aligned}}}

określa normę w przestrzeni B ( X , Y ) {\displaystyle {\mathcal {B}}(X,Y)} operatorów liniowych i ciągłych określonych na X {\displaystyle X} i wartościach w Y . {\displaystyle Y.}

Zachodzą ponadto następujące równości

‖ T ‖ = sup { ‖ T x ‖ : x ∈ X , ‖ x ‖ ⩽ 1 } = sup { ‖ T x ‖ : x ∈ X , ‖ x ‖ = 1 } = sup { ‖ T x ‖ ‖ x ‖ : x ∈ X , x ≠ 0 } {\displaystyle {\begin{aligned}\|T\|&=\sup\{\|Tx\|:x\in X,\;\|x\|\leqslant 1\}\\&=\sup\{\|Tx\|:x\in X,\;\|x\|=1\}\\&=\sup \left\{{\frac {\|Tx\|}{\|x\|}}:x\in X,\;x\neq 0\right\}\end{aligned}}}

przy czym ostatnie dwie mają sens w przypadku, gdy X {\displaystyle X} ma co najmniej jeden wymiar.

Przestrzeń B ( X , Y ) {\displaystyle {\mathcal {B}}(X,Y)} jest przestrzenią Banacha wtedy i tylko wtedy, gdy Y {\displaystyle Y} jest przestrzenią Banacha.

Bibliografia | edytuj kod

  • John B. Conway: A course in functional analysis. New York: Springer-Verlag, 1990, s. 67. ISBN 0-387-97245-5.
Na podstawie artykułu: "Norma operatorowa" pochodzącego z Wikipedii
OryginałEdytujHistoria i autorzy