Obiekty początkowy i końcowy


Obiekty początkowy i końcowy w encyklopedii

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Obiekt początkowy (końcowy) – dla ustalonej kategorii K {\displaystyle {\mathfrak {K}}} obiekt E {\displaystyle {\mathit {E}}\;} o tej własności, że dla każdego obiektu A {\displaystyle {\mathit {A}}\;} tej kategorii istnieje dokładnie jeden morfizm h : E A {\displaystyle h:{\mathit {E}}\rightarrow {\mathit {A}}} (odpowiednio h : A E {\displaystyle h:{\mathit {A}}\rightarrow {\mathit {E}}} ). Obiekty początkowy i końcowy danej kategorii, o ile tylko istnieją, są wyznaczone jednoznacznie z dokładnością do (jedynego) izomorfizmu. Obiekt, który jest jednocześnie początkowy i końcowy, nazywany jest obiektem zerowym kategorii K {\displaystyle {\mathfrak {K}}} .

Przykłady | edytuj kod

  • Zbiór pusty jest obiektem początkowym w kategorii wszystkich zbiorów. Każdy zbiór jednoelementowy jest obiektem końcowym tej kategorii.
  • W kategorii wszystkich grup obiektem początkowym, a zarazem końcowym (a więc zerowym), jest grupa jednoelementowa.
  • W kategorii punktowanych przestrzeni topologicznych (tj. przestrzeni z wyróżnionym punktem, w której od morfizmów wymagamy, by przeprowadzały wyróżnione punkty na wyróżnione punkty), obiektem zerowym jest przestrzeń jednopunktowa.
  • W kategorii wszystkich pierścieni z jedynką obiektem początkowym jest pierścień liczb całkowitych, obiektem końcowym natomiast pierścień zerowy.
  • Każdy zbiór częściowo uporządkowany ( P , ) {\displaystyle ({\mathit {P}},\preceq )} może być rozpatrywany jako kategoria, której obiektami są elementy zbioru P {\displaystyle {\mathit {P}}\;} . Powiemy, że istnieje morfizm między elementami x , y P {\displaystyle x,y\in {\mathit {P}}} wtedy i tylko wtedy, gdy x y {\displaystyle x\preceq y} . Kategoria ta ma obiekt początkowy (końcowy) wtedy i tylko wtedy, gdy w zbiorze P {\displaystyle {\mathit {P}}\;} istnieje element najmniejszy (odpowiednio największy).

Bibliografia | edytuj kod

  1. Andrzej Białynicki-Birula: Zarys algebry. Warszawa: PWN, 1987, s. 66.
Na podstawie artykułu: "Obiekty początkowy i końcowy" pochodzącego z Wikipedii
OryginałEdytujHistoria i autorzy