Objętość bryły obrotowej


Bryła obrotowa w encyklopedii

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii (Przekierowano z Objętość bryły obrotowej) Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Bryła obrotowabryła geometryczna ograniczona powierzchnią powstałą z obrotu figury płaskiej dookoła prostej (osi obrotu). Do brył obrotowych zaliczane są m.in.:

Spis treści

Objętość i pole powierzchni bryły obrotowej | edytuj kod

Wykres funkcji zmiennej x | edytuj kod

Bryła powstała wskutek obrotu obszaru pod wykresem funkcji f ( x ) {\displaystyle f(x)} wokół osi OX

Objętość bryły obrotowej powstałej przez obrót wykresu funkcji y = f ( x ) , {\displaystyle y=f(x),} gdzie x a , b , {\displaystyle x\in \langle a,b\rangle ,} dookoła osi OX[1].

V = π a b f ( x ) 2 d x {\displaystyle V=\pi \int \limits _{a}^{b}[f(x)]^{2}\,dx}

Pole powierzchni powstałej przez obrót wykresu funkcji y = f ( x ) , {\displaystyle y=f(x),} gdzie x a , b , {\displaystyle x\in \langle a,b\rangle ,} dookoła osi OX[1].

S = 2 π a b | f ( x ) | 1 + f ( x ) 2 d x {\displaystyle S=2\pi \int \limits _{a}^{b}|f(x)|{\sqrt {1+[f'(x)]^{2}}}\,dx}

Objętość bryły obrotowej powstałej przez obrót wykresu funkcji y = f ( x ) , {\displaystyle y=f(x),} gdzie x a , b , a 0 , {\displaystyle x\in \langle a,b\rangle ,\,a\geqslant 0,} dookoła osi OY[1].

V = 2 π a b x f ( x ) d x {\displaystyle V=2\pi \int \limits _{a}^{b}xf(x)\,dx}

Pole powierzchni powstałej przez obrót wykresu funkcji y = f ( x ) , {\displaystyle y=f(x),} gdzie x a , b , a 0 , {\displaystyle x\in \langle a,b\rangle ,\,a\geqslant 0,} dookoła osi OY[1].

S = 2 π a b x 1 + f ( x ) 2 d x {\displaystyle S=2\pi \int \limits _{a}^{b}x{\sqrt {1+[f'(x)]^{2}}}\,dx}

Krzywa w postaci parametrycznej | edytuj kod

x = x ( t ) ,   y = y ( t ) ;   t α , β {\displaystyle x=x(t),\ y=y(t);\ t\in \langle \alpha ,\,\beta \rangle }

Objętość bryły powstałej przez obrót krzywej wokół osi OX[1].

V = π α β | x ( t ) | y 2 ( t ) d t {\displaystyle V=\pi \int \limits _{\alpha }^{\beta }\left|x'(t)\right|y^{2}(t)\,dt}

Pole powierzchni powstałej przez obrót krzywej wokół osi OX[1].

S = 2 π α β y ( t ) x ( t ) 2 + y ( t ) 2 d t {\displaystyle S=2\pi \int \limits _{\alpha }^{\beta }y(t){\sqrt {[x'(t)]^{2}+[y'(t)]^{2}}}\,dt}

Objętość bryły powstałej przez obrót krzywej wokół osi OY[1].

V = 2 π α β x ( t ) x ( t ) y ( t ) d t {\displaystyle V=2\pi \int \limits _{\alpha }^{\beta }x'(t)x(t)y(t)\,dt}

Pole powierzchni powstałej przez obrót krzywej wokół osi OY[1].

S = 2 π α β x ( t ) x ( t ) 2 + y ( t ) 2 d t {\displaystyle S=2\pi \int \limits _{\alpha }^{\beta }x(t){\sqrt {[x'(t)]^{2}+[y'(t)]^{2}}}\,dt}

W wielu przypadkach obliczanie objętości bryły obrotowej lub pola jej powierzchni ułatwiają twierdzenia Pappusa.

Przypisy | edytuj kod

  1. a b c d e f g h Beata Wysocka: Wykorzystanie całek oznaczonych w geometrii (wzory). www.mif.pg.gda.pl, 2013-03-17. [dostęp 2019-04-08].
Kontrola autorytatywna (bryła geometryczna):
Na podstawie artykułu: "Objętość bryły obrotowej" pochodzącego z Wikipedii
OryginałEdytujHistoria i autorzy