Obraz (matematyka)


Obraz i przeciwobraz w encyklopedii

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii (Przekierowano z Obraz (matematyka)) Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania Funkcje matematyczne ElementarneSpecjalne Teorioliczbowe Własności Przebieg zmienności Inne

Obrazzbiór wszystkich wartości (należących do przeciwdziedziny) przyjmowanych przez funkcję dla każdego elementu danego podzbioru jej dziedziny. Przeciwobraz – zbiór wszystkich elementów dziedziny, które są odwzorowywane na elementy danego podzbioru przeciwdziedziny.

Obraz i przeciwobraz można zdefiniować nie tylko dla funkcji, ale ogólnie dla wszystkich relacji dwuargumentowych.

Spis treści

Definicja | edytuj kod

Słowo „obraz” może oznaczać jedno z trzech poniższych, powiązanych ze sobą, pojęć. Dalej f : X Y {\displaystyle f\colon X\to Y} oznacza funkcję (w szczególności, np. w algebrze liniowej, operator) ze zbioru X {\displaystyle X} w zbiór Y . {\displaystyle Y.}

Obraz elementu | edytuj kod

Jeżeli x {\displaystyle x} jest elementem X , {\displaystyle X,} to f ( x ) = y , {\displaystyle f(x)=y,} czyli wartość funkcji f {\displaystyle f} na elemencie x , {\displaystyle x,} nazywa się obrazem x {\displaystyle x} poprzez f . {\displaystyle f.}

Obraz zbioru | edytuj kod

Obrazem zbioru A X {\displaystyle A\subseteq X} w funkcji f {\displaystyle f} nazywa się podzbiór f A Y {\displaystyle f[A]\subseteq Y} wszystkich obrazów elementów tego zbioru, tzn. zbiór { y Y : f ( x ) = y  dla pewnego  x A } = { f ( x ) Y : x A } . {\displaystyle \left\{y\in Y\colon f(x)=y{\text{ dla pewnego }}x\in A\right\}=\left\{f(x)\in Y\colon x\in A\right\}.} Jeżeli nie istnieje ryzyko pomyłki, to zamiast f A {\displaystyle f[A]} pisze się f ( A ) . {\displaystyle f(A).} Zapis ten pozwala na interpretację obrazu poprzez f {\displaystyle f} jako funkcji, której dziedziną jest zbiór potęgowy (wszystkie podzbiory) zbioru X , {\displaystyle X,} a przeciwdziedziną zbiór potęgowy zbioru Y . {\displaystyle Y.}

Obraz funkcji | edytuj kod

f jest funkcją o dziedzinie X i przeciwdziedzinie Y. Żółty owal w Y jest obrazem funkcji f. Obraz f X {\displaystyle f[X]} całej dziedziny X {\displaystyle X} nazywa się zwykle obrazem funkcji f . {\displaystyle f.} Do innych oznaczeń należą również f ( X ) {\displaystyle f(X)} (j.w.), im ( f ) {\displaystyle \operatorname {im} (f)} (ang. image – obraz).

Przeciwobraz | edytuj kod

Przeciwobrazem zbioru B Y {\displaystyle B\subseteq Y} względem f {\displaystyle f} nazywa się podzbiór zbioru X {\displaystyle X} określony wzorem f 1 B = { x X : f ( x ) B } . {\displaystyle f^{-1}[B]=\{x\in X\colon f(x)\in B\}.} Przeciwobraz zbioru jednoelementowego, oznaczany symbolem f 1 { y } {\displaystyle f^{-1}[\scriptstyle \{y\}]} lub f 1 y , {\displaystyle f^{-1}[y],} nazywa się włóknem nad y {\displaystyle y} lub poziomicą lub warstwicą y . {\displaystyle y.} Zbiór wszystkich włókien nad elementami Y {\displaystyle Y} tworzy rodzinę zbiorów indeksowaną przez Y . {\displaystyle Y.} Prowadzi to do pojęcia kategorii rozwłóknień. Jeśli nie ma ryzyka pomyłki, to f 1 B {\displaystyle f^{-1}[B]} można oznaczać symbolem f 1 ( B ) {\displaystyle f^{-1}(B)} i myśleć o f 1 {\displaystyle f^{-1}} jako o funkcji ze zbioru potęgowego Y {\displaystyle Y} w zbiór potęgowy X . {\displaystyle X.} Oznaczenie f 1 {\displaystyle f^{-1}} może przywodzić na myśl notację odrębnego pojęcia funkcji odwrotnej, które pokrywa się z pojęciem przeciwobrazu wtedy i tylko wtedy, gdy f {\displaystyle f} jest bijekcją.

Notacja | edytuj kod

Tradycyjne sposoby zapisu przedstawione w wyżej mogą prowadzić do nieścisłości. Alternatywą[1] może być wyodrębnienie oddzielnych nazw dla obrazu i przeciwobrazu jako funkcji między zbiorami potęgowymi:

Notacja strzałkowa
f : P ( X ) P ( Y ) , {\displaystyle f^{\to }\colon {\mathcal {P}}(X)\to {\mathcal {P}}(Y),} gdzie f ( A ) = { f ( a ) : a A } , {\displaystyle f^{\to }(A)=\{f(a)\colon a\in A\},} f : P ( Y ) P ( X ) , {\displaystyle f^{\leftarrow }\colon {\mathcal {P}}(Y)\to {\mathcal {P}}(X),} gdzie f ( B ) = { a X : f ( a ) B } . {\displaystyle f^{\leftarrow }(B)=\{a\in X\colon f(a)\in B\}.}
Notacja gwiazdkowa
f : P ( X ) P ( Y ) {\displaystyle f_{\star }\colon {\mathcal {P}}(X)\to {\mathcal {P}}(Y)} zamiast f , {\displaystyle f^{\to },} f : P ( Y ) P ( X ) {\displaystyle f^{\star }\colon {\mathcal {P}}(Y)\to {\mathcal {P}}(X)} zamiast f . {\displaystyle f^{\leftarrow }.}
Inne
Alternatywną notacją f A {\displaystyle f[A]} wykorzystywaną m.in. w logice matematycznej i teorii mnogości jest f A . {\displaystyle f''A.} W niektórych pracach obraz f {\displaystyle f} nazywa się także „zbiorem wartości”, jednak w ogólności powinno unikać się tego wyrażenia, ponieważ niekiedy terminem tym określa się jednak całą przeciwdziedzinę. Podobny problem istnieje w języku angielskim, z którego zapożyczono oznaczenia obrazu funkcji f {\displaystyle f} postaci rg ( f ) {\displaystyle \operatorname {rg} (f)} bądź ran ( f ) {\displaystyle \operatorname {ran} (f)} (ang. range – zbiór wartości, przeciwdziedzina; dosł. zakres).

Przykłady | edytuj kod

Brzeg zbioru Mandelbrota jako obraz okręgu jednostkowego względem odwzorowania Ψ M . {\displaystyle \Psi _{M}.} Kardioida jako obraz okręgu jednostkowego. Krzywa sercowa jako obraz okręgu jednostkowego.
  • f : { 1 , 2 , 3 } { a , b , c , d } {\displaystyle f\colon \{1,2,3\}\to \{a,b,c,d\}} określona wzorem f ( x ) = { a dla  x = 1 , 2 c dla  x = 3. {\displaystyle f(x)={\begin{cases}a&{\text{dla }}x=1,2\\c&{\text{dla }}x=3.\end{cases}}} Obrazem zbioru { 2 , 3 } {\displaystyle \{2,3\}} poprzez f {\displaystyle f} jest f { 2 , 3 } = { a , c } . {\displaystyle f[\{2,3\}]=\{a,c\}.} Obrazem funkcji jest { a , c } . {\displaystyle \{a,c\}.} Przeciwobrazem a {\displaystyle a} jest f 1 a = { 1 , 2 } . {\displaystyle f^{-1}[a]=\{1,2\}.} Przeciwobrazem { a , b } {\displaystyle \{a,b\}} również jest { 1 , 2 } . {\displaystyle \{1,2\}.} Przeciwobrazem { b , d } {\displaystyle \{b,d\}} jest zbiór pusty { } . {\displaystyle \{\}.}
  • f : R R {\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} } dana wzorem f ( x ) = x 2 . {\displaystyle f(x)=x^{2}.} Obrazem { 2 , 3 } {\displaystyle \{-2,3\}} w f {\displaystyle f} jest f { 2 , 3 } = { 4 , 9 } , {\displaystyle f[\{-2,3\}]=\{4,9\},} a obrazem f {\displaystyle f} jest R + . {\displaystyle \mathbb {R} ^{+}.} Przeciwobraz { 4 , 9 } {\displaystyle \{4,9\}} w f {\displaystyle f} to f 1 { 4 , 9 } = { 3 , 2 , 2 , 3 } . {\displaystyle f^{-1}[\{4,9\}]=\{-3,-2,2,3\}.} Przeciwobrazem zbioru N = { n R : n < 0 } {\displaystyle N=\{n\in \mathbb {R} \colon n<0\}} w f {\displaystyle f} jest zbiór pusty, ponieważ liczby ujemne nie mają pierwiastków kwadratowych w zbiorze liczb rzeczywistych.
  • f : R 2 R {\displaystyle f\colon \mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} } dana wzorem f ( x , y ) = x 2 + y 2 . {\displaystyle f(x,y)=x^{2}+y^{2}.} Włóknami (poziomicami) f 1 a {\displaystyle f^{-1}[a]} okręgi o wspólnym środku w początku układu współrzędnych, sam początek i zbiór pusty, w zależności od wartości parametru a , {\displaystyle a,} odpowiednio: a > 0 , {\displaystyle a>0,} a = 0 {\displaystyle a=0} oraz a < 0. {\displaystyle a<0.}
  • Jeżeli M {\displaystyle M} jest rozmaitością, a π : T M M {\displaystyle \pi \colon \operatorname {T} M\to M} jest rzutem kanonicznym wiązki stycznej T M {\displaystyle \operatorname {T} M} na M , {\displaystyle M,} to przestrzenie styczne T x ( M ) {\displaystyle \operatorname {T} _{x}(M)} dla x M . {\displaystyle x\in M.} Jest to przykład wiązki włóknistej.

Własności | edytuj kod

Niech dana będzie funkcja f : X Y . {\displaystyle f\colon X\to Y.} Dla wszystkich podzbiorów A , A 1 , A 2 X {\displaystyle A,A_{1},A_{2}\subseteq X} oraz B , B 1 , B 2 Y {\displaystyle B,B_{1},B_{2}\subseteq Y} zachodzą następujące własności:

  • obraz jest podzbiorem przeciwdziedziny, a przeciwobraz – dziedziny, f A Y {\displaystyle f[A]\subseteq Y} oraz f 1 B X ; {\displaystyle f^{-1}[B]\subseteq X;}
  • działania brania obrazu i przeciwobrazu związane są ze sobą następującymi relacjami: f f 1 B B {\displaystyle f[f^{-1}[B]]\subseteq B} (równość dla funkcji „na”), f 1 f A A {\displaystyle f^{-1}[f[A]]\supseteq A} (równość dla funkcji różnowartościowej), f A B A f 1 B ; {\displaystyle f[A]\subseteq B\Leftrightarrow A\subseteq f^{-1}[B];}
  • operacje obrazu i przeciwobrazu są monotoniczne, tzn. A 1 A 2 f A 1 f A 2 {\displaystyle A_{1}\subseteq A_{2}\Rightarrow f\left[A_{1}\right]\subseteq f\left[A_{2}\right]} oraz B 1 B 2 f 1 B 1 f 1 B 2 ; {\displaystyle B_{1}\subseteq B_{2}\Rightarrow f^{-1}\left[B_{1}\right]\subseteq f^{-1}\left[B_{2}\right];}
  • prawdziwe są także poniższe związki z działaniami brania sumy i przekroju zbiorów: f A B = f A f B , {\displaystyle f[A\cup B]=f[A]\cup f[B],} f A B f A f B {\displaystyle f[A\cap B]\subseteq f[A]\cap f[B]} (równość, gdy funkcja jest różnowartościowa), f 1 A B = f 1 A f 1 B , {\displaystyle f^{-1}[A\cup B]=f^{-1}[A]\cup f^{-1}[B],} f 1 A B = f 1 A f 1 B ; {\displaystyle f^{-1}[A\cap B]=f^{-1}[A]\cap f^{-1}[B];}
  • zachodzi również następujący związek z braniem dopełnienia zbioru: f 1 B c = ( f 1 B ) c , {\displaystyle f^{-1}\left[B^{\operatorname {c} }\right]=(f^{-1}[B])^{\operatorname {c} },}
  • z powyższych wynikają w szczególności te oto relacje z różnicą zbiorów: f A B f A f B , {\displaystyle f\left[A\setminus B\right]\supseteq f[A]\setminus f[B],} f 1 A B = f 1 A f 1 B , {\displaystyle f^{-1}\left[A\setminus B\right]=f^{-1}[A]\setminus f^{-1}[B],}
  • istnieje też tożsamość wiążąca przeciwobraz z zawężeniem funkcji: ( f | A ) 1 B = A f 1 B . {\displaystyle (f|_{A})^{-1}[B]=A\cap f^{-1}[B].}

Wyżej przedstawione stosunki łączące obrazy i przeciwobrazy z algebrą (Boole’a) przekrojów i sum zachodzą nie tylko dla par zbiorów (a przez indukcję – skończonej ich liczby), ale także dla dowolnej rodziny podzbiorów (także nieprzeliczalnej). Niech ( A i ) i I {\displaystyle (A_{i})_{i\in I}} będzie rodziną indeksowaną podzbiorów X , {\displaystyle X,} a ( B j ) j J {\displaystyle (B_{j})_{j\in J}} będzie rodziną indeksowaną podzbiorów Y . {\displaystyle Y.} Wówczas

  • f A i = f A i , {\displaystyle f\left[\bigcup A_{i}\right]=\bigcup f\left[A_{i}\right],}
  • f A i f A i {\displaystyle f\left[\bigcap A_{i}\right]\subseteq \bigcap f\left[A_{i}\right]}

oraz

  • f 1 B j = f 1 B j , {\displaystyle f^{-1}\left[\bigcup B_{j}\right]=\bigcup f^{-1}\left[B_{j}\right],}
  • f 1 B j = f 1 B j . {\displaystyle f^{-1}\left[\bigcap B_{j}\right]=\bigcap f^{-1}\left[B_{j}\right].}

W języku algebry podzbiorów powyższe obserwacje oznaczają, że funkcja brania przeciwobrazu jest homomorfizmem krat, zaś funkcja obrazu jest tylko homomorfizmem półkrat (ponieważ nie zawsze zachowuje przekroje).

Przeciwobraz zbioru B Y {\displaystyle B\subset Y} względem złożenia g f : X Z {\displaystyle g\circ f\colon X\to Z} dwóch funkcji f : X Y {\displaystyle f\colon X\to Y} oraz g : Y Z {\displaystyle g\colon Y\to Z} dany jest wzorem:

  • ( g f ) 1 B = ( f 1 g 1 ) B . {\displaystyle (g\circ f)^{-1}[B]=\left(f^{-1}\circ g^{-1}\right)[B].}

Obraz w ogólności nie zachowuje mocy podzbiorów. | f A | | A | , {\displaystyle |f[A]|\leqslant |A|,} a równość zachodzi tylko dla iniekcji (funkcji różnowartościowych). Analogicznie jest z przeciwobrazem: | f 1 B | | B | {\displaystyle |f^{-1}[B]|\geqslant |B|} i równość zachodzi pod tym samym warunkiem[potrzebny przypis].

Zobacz też | edytuj kod

Przypisy | edytuj kod

  1. Blyth 2005, s. 5.

Bibliografia | edytuj kod

Na podstawie artykułu: "Obraz (matematyka)" pochodzącego z Wikipedii
OryginałEdytujHistoria i autorzy