Operator delta


Operator delta w encyklopedii

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Operator delta – pewien wariant operatora równoważny przekształceniu liniowemu Q : K x K x {\displaystyle Q:\mathbb {K} [x]\longrightarrow \mathbb {K} [x]} w przestrzeni wektorowej wielomianów ze zmienną x , {\displaystyle x,} nad ciałem K , {\displaystyle \mathbb {K} ,} które redukuje stopnie o jeden.

Spis treści

Wstęp | edytuj kod

Stwierdzenie, że Q {\displaystyle Q} jest pewnym wariantem operatora równoważnego operatorowi przesunięcia znaczy, że jeśli g ( x ) = f ( x + a ) , {\displaystyle g(x)=f(x+a),} to wówczas

( Q g ) ( x ) = ( Q f ) ( x + a ) . {\displaystyle (Qg)(x)=(Qf)(x+a).}

Innymi słowy, jeśli f {\displaystyle f} jest „przesunięciem” g , {\displaystyle g,} wówczas Q f {\displaystyle Qf} jest także przesunięciem Q g , {\displaystyle Qg,} i ma taki sam „wektor przesunięcia” a . {\displaystyle a.}

Stwierdzenie, że operator redukuje stopień o jeden oznacza, że jeśli f {\displaystyle f} jest wielomianem stopnia n , {\displaystyle n,} wówczas Q f {\displaystyle Qf} jest albo wielomianem stopnia n 1 {\displaystyle n-1} albo, w przypadku n = 0 , {\displaystyle n=0,} Q f {\displaystyle Qf} jest równy 0. {\displaystyle 0.}

Czasami operator delta jest definiowany jako wariant operatora równoważnego operatorowi przesunięcia w zmiennej x , {\displaystyle x,} która przekształca x {\displaystyle x} do stałej niezerowej. Można pokazać, że taka charakterystyka, wyraźnie słabsza niż definicja dana powyżej, jest jej równoważna jako, że wariantowość operatora równoważnego operatorowi przesunięcia stanowi silny warunek.

Przykłady | edytuj kod

( Δ f ) ( x ) = f ( x + 1 ) f ( x ) {\displaystyle (\Delta f)(x)=f(x+1)-f(x)}

jest operatorem delta.

  • Różniczkowanie względem x , {\displaystyle x,} zapisywane jako D , {\displaystyle D,} także jest operatorem delta.
  • Każdy operator w formie
k = 1 c k D k , {\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }c_{k}D^{k},}

gdzie ( D n ( f ) = f ( n ) {\displaystyle D^{n}(f)=f^{(n)}} jest n-tą pochodną) z c 1 0 {\displaystyle c_{1}\neq 0} jest operatorem delta. Można wykazać, że wszystkie operatory delta można zapisać w tej formie. Na przykład operator różnicowy dany powyżej można rozwinąć do postaci:

Δ = e D 1 = k = 1 D k k ! . {\displaystyle \Delta =e^{D}-1=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {D^{k}}{k!}}.}
  • Uogólniona pochodna przestrzeni czasowej, która unifikuje operator różnicowy w przód z pochodną standardowego rachunku jest operatorem delta.
  • W informatyce i cybernetyce termin dyskretnoczasowy operator delta δ {\displaystyle \delta } zwykle oznacza operator różnicowy:
( δ f ) ( x ) = f ( x + Δ t ) f ( x ) Δ t , {\displaystyle (\delta f)(x)={\frac {f(x+\Delta t)-f(x)}{\Delta t}},} aproksymację Eulera zwyczajnej pochodnej z dyskretnym czasem próbkowania Δ t . {\displaystyle \Delta t.} Przy szybkim próbkowaniu sformułowanie oparte na operatorze delta posiada znaczącą ilość numerycznych zalet w porównaniu do operatora przesunięcia.

Operator delta w teorii sterowania | edytuj kod

Posługując się zmienną płaszczyzny z ( z = e s T ) {\displaystyle (z=e^{sT})} operator delta można wyrazić jako

δ = z 1 T , {\displaystyle \delta ={\frac {z-1}{T}},}

co korzystając z jednokrokowego operatora przesunięcia można też zapisać

δ = q 1 Δ , {\displaystyle \delta ={\frac {q-1}{\Delta }},}

gdzie q {\displaystyle q} to jednokrokowy operator przesunięcia określony zależnością q x k = x k + 1 , {\displaystyle qx_{k}=x_{k+1},} a Δ {\displaystyle \Delta } oznacza okres próbkowania, stąd:

δ x k = ( q 1 ) x k Δ = x k + 1 x k Δ . {\displaystyle \delta x_{k}={\frac {(q-1)x_{k}}{\Delta }}={\frac {x_{k+1}-x_{k}}{\Delta }}.}

Operator ten znany był na polu analiz numerycznych jako pierwszy dzielony operator różnicowy. Z powyższego widać, ze operator ten aproksymuje pochodną:

δ x k d x d t | x = x ( k Δ ) {\displaystyle \delta x_{k}\approx {\frac {dx}{dt}}|_{x=x(k\Delta )}}

i aproksymacja staje się coraz lepsza jak okres próbkowania zmierza do zera. Dlatego, z uwagi na to, że operator δ {\displaystyle \delta } ma swój czasowy odpowiednik ρ = d d t , {\displaystyle \rho ={\frac {d}{dt}},} modele wyrażone za pomocą operatora δ {\displaystyle \delta } są bardzo podobne do modeli wyrażonych za pomocą operatora ρ , {\displaystyle \rho ,} lub zmiennej s (transformaty Laplace’a). Z tego też względu korzystanie z operatora δ {\displaystyle \delta } pozwala przy pracy z układami czasu dyskretnego na wykorzystanie wglądu i intuicji znanych z układów dziedziny czasu ciągłego.

Chociaż ρ {\displaystyle \rho } używa się do reprezentowania różniczkowania w dziedzinie czasu ciągłego, może też reprezentować operator δ . {\displaystyle \delta .} Każde sformułowanie uzyskane z wykorzystaniem wyrazeń ρ {\displaystyle \rho } może zostać zinterpretowane jako wyrażenia czasu dyskretnego poprzez zastąpienie ρ {\displaystyle \rho } przez δ {\displaystyle \delta } :

ρ = { d d t Δ = 0 δ Δ 0 . {\displaystyle \rho =\left\{{\begin{matrix}{\frac {d}{dt}}&\Delta =0\\\delta &\Delta \neq 0\end{matrix}}\right..}

Powyższa zależność definiuje tak zwaną pochodną uogólnioną. Podobnie można zdefiniować uogólnienie całki Riemanna. Istotnie występuje bliski związek pomiędzy wynikami sformułowanymi dla czasu ciągłego z wynikami formułowanymi dla czasu dyskretnego – używając operatora δ {\displaystyle \delta } w dziedzinie czasu dyskretnego można przyjąć dla niego Δ = 0 {\displaystyle \Delta =0} co daje odpowiadające wyniki czasu ciągłego.

Dla operatora δ {\displaystyle \delta } definiuje się też odpowiednik transformaty Fouriera dokonującej przekształcenia opisu do dziedziny częstotliwości jest to tzw. transformata Γ {\displaystyle \Gamma } z nową zmienną γ {\displaystyle \gamma } jako:

F Δ ( γ ) = F ( z ) | z = Δ γ + 1 = k = 0 k = f k ( 1 + Δ γ ) k . {\displaystyle F_{\Delta }(\gamma )=F(z)|_{z=\Delta _{\gamma +1}}=\sum _{k=0}^{k=\infty }f_{k}(1+\Delta \gamma )^{-k}.}

Operator delta posiada też szereg własności pozytywnie wpływających na obliczenia numeryczne. W wielu przypadkach parametryzacja algorytmów czasu dyskretnego za pomocą operatora δ {\displaystyle \delta } daje lepsze efekty niż parametryzacja za pomocą jednokrokowego operatora przesunięcia q . {\displaystyle q.} Dotyczy to w szczególności

Operator δ {\displaystyle \delta } ma duże znaczenie przy analizie (i syntezie) układów dyskretnych, gdyż jednokrokowy operator przesunięcia i transformata Z, które stanowią podstawę takich analiz są nieodpowiednie dla dużych częstotliwości próbkowania i nie mają odpowiedników czasu ciągłego.

Przy korzystaniu z operatora δ {\displaystyle \delta } staje się jasne, że teoria układów czasu dyskretnego zbieżna jest łagodnie do teorii układów ciągłych wraz ze wzrostem częstotliwości próbkowania.

Bibliografia | edytuj kod

  • Brett M. Ninness, Graham C. Goodwin The Relationship Between Discrete Time and Continuous Time Linear Estimation, [w:] N.K. Sinha i G.P. Rao Identification of Continuous-Time Systems, 1991, Kluwer Academic Publishers, ​ISBN 0-7923-1336-4​.
  • Richard H. Middleton, Graham C. Goodwin Digital Control and Estimation. A Unified Approach, 1990, Prentice-Hall International, ​ISBN 0-13-211798-3​.
Na podstawie artykułu: "Operator delta" pochodzącego z Wikipedii
OryginałEdytujHistoria i autorzy