Operator liczby cząstek


Operator liczby cząstek w encyklopedii

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Operator liczby cząstek – dla układów, w których liczba rozpatrywanych cząstek nie jest znana, operator liniowy (obserwabla) „zliczający” ich liczbę.

Formalnie, jeżeli H {\displaystyle {\mathcal {H}}} jest przestrzenią Hilberta, to operatorem liczby cząstek N {\displaystyle N} na przestrzeni Foka Γ ( H ) {\displaystyle \Gamma ({\mathcal {H}})} nazywa się operator

N : dom N Γ ( H ) Γ ( H ) ,     N u = ( n u n ) n = 0 , {\displaystyle N\colon {\mbox{dom}}\,N\subset \Gamma ({\mathcal {H}})\to \Gamma ({\mathcal {H}}),\ \ Nu=(nu_{n})_{n=0}^{\infty },}

którego dziedziną dom N jest podprzestrzeń liniowa

{ u Γ ( H ) : n = 0 n 2 u n 2 < } . {\displaystyle \left\{u\in \Gamma ({\mathcal {H}})\colon \sum _{n=0}^{\infty }n^{2}\|u_{n}\|^{2}<\infty \right\}.}

Operator liczby cząstek jest operatorem dodatnim (w szczególności, jest on operatorem samosprzężonym) na Γ ( H ) . {\displaystyle \Gamma ({\mathcal {H}}).} Z dodatniości wynika, że można w sposób jednoznaczny określić jego pierwiastek N . {\displaystyle {\sqrt {N}}.}

Zbiór Γ 00 ( H ) {\displaystyle \Gamma _{00}({\mathcal {H}})} (zob. przestrzeń skończonej liczby cząstek w artykule przestrzeń Foka) jest dziedziną istotną tego operatora, tzn. operator liczby cząstek jest domknięciem obcięcia operatora N {\displaystyle N} do zbioru Γ 00 ( H ) . {\displaystyle \Gamma _{00}({\mathcal {H}}).} W szczególności, dla dowolnej funkcji f : N C , {\displaystyle f\colon \mathbb {N} \to \mathbb {C} ,} operator f ( N ) {\displaystyle f(N)} jest zdefiniowany poprzez rachunek funkcyjny dla operatorów samosprzężonych:

f ( N ) u = ( f ( n ) u n ) n = 0 , {\displaystyle f(N)u=(f(n)u_{n})_{n=0}^{\infty },}

gdzie:

dom   f ( N ) = { u Γ ( H ) : n = 0 n 2 | f ( n ) | 2 u n 2 < } . {\displaystyle {\mbox{dom}}~f(N)=\left\{u\in \Gamma ({\mathcal {H}})\colon \sum _{n=0}^{\infty }n^{2}|f(n)|^{2}\|u_{n}\|^{2}<\infty \right\}.}

Średnią operatora liczby cząstek ‹ N › opisują rozkłady statystyczne w mechanice kwantowej:

W przypadku stanów Foka operatory kreacji i anihilacji odpowiednio zwiększają i zmniejszają liczbę cząstek (tzn. wartość średnią operatora liczby cząstek) o jeden. Jednak w przypadku superpozycji stanów Focka absorpcja bozonu może zwiększyć liczbę cząstek, w tym o liczbę niecałkowitą. To samo tyczy się kreacji bozonu. W ogólności absorpcja bozonu, a następnie kreacja bozonu powoduje, że liczba cząstek jest inna, niż przed absorpcją. Co więcej liczba cząstek po kreacji bozonu i następnej absorpcji będzie inna niż po absorpcji bozonu i następnej kreacji[1][2].

Przypisy | edytuj kod

  1. MarcoM. Bellini MarcoM. i inni, Probing Quantum Commutation Rules by Addition and Subtraction of Single Photons to/from a Light Field, „Science”, 317 (5846), 2007, s. 1890–1893, DOI10.1126/science.1146204, ISSN 1095-9203, PMID17901326 [dostęp 2019-01-11]  (ang.).
  2. K.G.K.G. Katamadze K.G.K.G. i inni, The direct test of the absence of the „quantum vampire’s” shadow with use of thermal light, „arXiv [physics, physics:quant-ph]”, 10 stycznia 2019, arXiv:1901.03093 [dostęp 2019-01-11] .

Bibliografia | edytuj kod

  • Kalyanapuram Rangachari Parthasarathy: An Introduction to Quantum Stochastic Calculus. Berlin: Springer, 1992. ISBN 3-7643-2697-2. (ang.)
  • J. Martin Lindsay: Quantum Stochastic Analysis in Quantum Independent Increment Processes I: From Classical Probability to Quantum Stochastic Calculus (Lecture Notes in Mathematics) (v. 1). Berlin: Springer-Verlag, 2005. ISBN 978-3540244066. (ang.)
Na podstawie artykułu: "Operator liczby cząstek" pochodzącego z Wikipedii
OryginałEdytujHistoria i autorzy