Operator samosprzężony


Operator samosprzężony w encyklopedii

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Operator samosprzężony (hermitowski) – odwzorowanie liniowe A {\displaystyle A} działające na skończenie wymiarowej, zespolonej przestrzeni wektorowej V , {\displaystyle V,} takie że

A v | w = v | A w , {\displaystyle \langle Av|w\rangle =\langle v|Aw\rangle ,}

gdzie:

| {\displaystyle \langle \cdot |\cdot \rangle } iloczyn skalarny wektorów w przestrzeni V {\displaystyle V} | A w A | w {\displaystyle |Aw\rangle \equiv A|w\rangle } – wektor powstały w wyniku działania operatora A {\displaystyle A} na wektor | w {\displaystyle |w\rangle } A v | ( A | v ) {\displaystyle \langle Av|\equiv (A|v\rangle )^{\dagger }} sprzężenie hermitowskie wektora A | v {\displaystyle A|v\rangle }

Operatory samosprzężone używane są w analizie funkcjonalnej.

W mechanice kwantowej operatory samosprzężone reprezentują wielkości mierzone – nazywa się je obserwablami. Przydatność operatorów hermitowskich wynika stąd, że ich wartości własne są liczbami rzeczywistymi i z tej racji mogą określać wyniki pomiarów fizycznych.

Operator samosprzężony skończenie wymiarowy można reprezentować za pomocą macierzy hermitowskiej (samosprzężonej).

Spis treści

Macierz operatora hermitowskiego | edytuj kod

Jeżeli V {\displaystyle V} jest przestrzenią skończenie wymiarową i ma bazę ortogonalną, to macierz operatora A {\displaystyle A} jest macierzą hermitowską (tj. równą swojemu sprzężeniu hermitowskiemu).

Dowód: Niech A {\displaystyle A} oznacza teraz macierz. Obliczanie sprzężenia hermitowskiego wektora A | v {\displaystyle A|v\rangle } oznacza obliczanie tego sprzężenia dla iloczynu macierzy i wektora. Ponieważ sprzężenie hermitowskie iloczynu jest iloczynem sprzężeń wziętych w odwrotnej kolejności

( A | v ) = v | A {\displaystyle (A|v\rangle )^{\dagger }=\langle v|A^{\dagger }}

to wstawiając do definicji operatora hermitowskiego wielkości | A w = A | w {\displaystyle |Aw\rangle =A|w\rangle } oraz A v | = v | A {\displaystyle \langle Av|=\langle v|A^{\dagger }} otrzyma się

v | A | w = v | A | w {\displaystyle \langle v|A^{\dagger }|w\rangle =\langle v|A|w\rangle }

co implikuje

A = A {\displaystyle A^{\dagger }=A}

czyli macierz operatora musi być samosprzężona (hermitowska)

Z twierdzenia spektralnego dla przestrzeni skończenie wymiarowych wynika, że istnieje w przestrzeni V {\displaystyle V} bazę ortonormalną, taka że macierz operatora A {\displaystyle A} wyrażonego w tej bazie jest macierzą diagonalną, przy czym jej elementy są liczbami rzeczywistymi.

Rozważa się uogólnienie powyższej idei na operatory działające w przestrzeni Hilberta dowolnego wymiaru.

Operatory samosprzężone w mechanice kwantowej | edytuj kod

Operatory samosprzężone występują w sformułowaniu mechaniki kwantowej podanym przez Diraca–von Neumanna: wielkości fizyczne, takie jak energia, położenie, pęd, moment pędu czy spin są wartościami własnymi operatorów, przypisanym tym wielkościom. To, w jakich stanach energii, pędu itp. można znaleźć dany układ kwantowy w wyniku wykonania pomiaru, oblicza się działając odpowiednim operatorem na wektor stanu | ψ {\displaystyle |\psi \rangle } układu (wektor ten należy do przestrzeni Hilberta skonstruowanej dla tego układu).

1. Szczególne znaczenie ma operator energii (operator Hamiltona) H ^ . {\displaystyle {\hat {H}}.} Np. dla pojedynczej cząstki ma on postać

H ^ = 2 2 m 2 + U {\displaystyle {\hat {H}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}+U}

Wartości własne tego operatora przedstawiają energie całkowite (tj. sumy energii kinetycznej i potencjalnej), jakie może posiadać cząstka o masie m {\displaystyle m} oddziałująca z polem potencjalnym U . {\displaystyle U.} Przykładem jest np. elektron w atomie wodoru. Rozwiązanie zagadnienia własnego prowadzi do wyznaczenia poziomów energetycznych elektronu w atomie.

2. Macierze Pauliego występują w zapisie operatorów pomiaru spinu cząstek układu kwantowego, np.

A σ 2 = 0 i i 0 {\displaystyle A\equiv \sigma _{2}=\left[{\begin{matrix}0&&-i\\i&&0\end{matrix}}\right]}

– macierze te są samosprzężone.

Operatory przestrzeni nieskończenie wymiarowej | edytuj kod

Operatory samosprzężone zdefiniowane na nieskończenie wymiarowej przestrzeni Hilberta mają strukturę podobną do operatorów przestrzeni skończenie wymiarowych. Tzn. operatorem samosprzężonym jest taki i tylko taki operator, że jest on unitarnie równoważny operatorowi mnożenia o wartościach rzeczywistych. Pojęcie to może być z małymi modyfikacjami rozszerzone na przestrzenie nieskończenie wielowymiarowe.

Zobacz też | edytuj kod

Bibliografia | edytuj kod

Na podstawie artykułu: "Operator samosprzężony" pochodzącego z Wikipedii
OryginałEdytujHistoria i autorzy