Ortogonalność


Ortogonalność w encyklopedii

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Spis treści

Ortogonalność (z gr. ortho – prosto, prosty, gonia – kąt) – uogólnienie pojęcia prostopadłości znanego z geometrii euklidesowej na abstrakcyjne przestrzenie z określonym iloczynem skalarnym, jak np. przestrzenie unitarne (w tym przestrzenie Hilberta) czy przestrzenie ortogonalne. Pojęcie ortogonalności bywa uogólnianie również na przestrzenie unormowane w których nie ma naturalnej struktury iloczynu skalarnego (ortogonalność w sensie Pitagorasa, ortogonalność w sensie Jamesa, ortogonalność w sensie Birkhoffa, T-ortogonalność)[1].

Definicja | edytuj kod

Elementy x {\displaystyle x} i y {\displaystyle y} przestrzeni unitarnej X {\displaystyle X} z iloczynem skalarnym , {\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle } nazywa się ortogonalnymi, gdy

x , y = 0. {\displaystyle \langle x,y\rangle =0.}

Relację x , y = 0 {\displaystyle \langle x,y\rangle =0} zapisuje się symbolicznie x y . {\displaystyle x\perp y.} Podzbiór A {\displaystyle A} przestrzeni unitarnej X {\displaystyle X} nazywa się układem ortogonalnym, gdy każde dwa różne jego elementy są ortogonalne.

Ortogonalność wektorów w przestrzeni trójwymiarowej | edytuj kod

Długość wektora a = a x , a y , a z {\displaystyle a=[a_{x},a_{y},a_{z}]} w trójwymiarowej przestrzeni euklidesowej wyraża się wzorem

| a | = a x 2 + a y 2 + a z 2 . {\displaystyle |a|={\sqrt {a_{x}^{2}+a_{y}^{2}+a_{z}^{2}}}.}

Jeżeli a = a x , a y , a z {\displaystyle a=[a_{x},a_{y},a_{z}]} i b = b x , b y , b z {\displaystyle b=[b_{x},b_{y},b_{z}]} są wektorami z przestrzeni trójwymiarowej, to długość wektora c = b a {\displaystyle c=b-a} wynosi

| c | = | b a | = ( b x a x ) 2 + ( b y a y ) 2 + ( b z a z ) 2 . {\displaystyle |c|=|b-a|={\sqrt {(b_{x}-a_{x})^{2}+(b_{y}-a_{y})^{2}+(b_{z}-a_{z})^{2}}}.}

Liczby | a | , | b | , | c | {\displaystyle |a|,|b|,|c|} są długościami boków trójkąta o a b , {\displaystyle oab,} gdzie o = ( 0 , 0 , 0 ) . {\displaystyle o=(0,0,0).}

Trójkąt prostokątny o bokach a , b , c . {\displaystyle \mathbf {a} ,\mathbf {b} ,\mathbf {c} .}

Wektory a , b {\displaystyle a,b} są prostopadłe wtedy i tylko wtedy, gdy trójkąt o a b {\displaystyle oab} jest prostokątny, a to jest równoważne na mocy prostego i odwrotnego twierdzenia Pitagorasa zależności:

| c | 2 = | a | 2 + | b | 2 , {\displaystyle |c|^{2}=|a|^{2}+|b|^{2},}

tzn.

( b x a x ) 2 + ( b y a y ) 2 + ( b z a z ) 2 = a x 2 + a y 2 + a z 2 + b x 2 + b y 2 + b z 2 . {\displaystyle (b_{x}-a_{x})^{2}+(b_{y}-a_{y})^{2}+(b_{z}-a_{z})^{2}=a_{x}^{2}+a_{y}^{2}+a_{z}^{2}+b_{x}^{2}+b_{y}^{2}+b_{z}^{2}.}

Zastosowanie wzoru na kwadrat różnicy do powyższej równości implikuje równość

2 a x b x 2 a y b y 2 a z b z = 0 , {\displaystyle -2a_{x}b_{x}-2a_{y}b_{y}-2a_{z}b_{z}=0,}

która upraszcza się do wyrażenia

a x b x + a y b y + a z b z = 0. {\displaystyle a_{x}b_{x}+a_{y}b_{y}+a_{z}b_{z}=0.}

Lewa strona powyższej równości pokrywa się ze wzorem na iloczyn skalarny wektorów a {\displaystyle a} i b {\displaystyle b} w przestrzeni trójwymiarowej.

Przykłady | edytuj kod

Przestrzenie euklidesowe
 Zobacz też: przestrzeń euklidesowa.

Wektory 1 , 3 {\displaystyle [-1,3]} i 3 , 1 {\displaystyle [3,1]} na płaszczyźnie są ortogonalne (prostopadłe), ponieważ

1 , 3 3 1 = 1 3 + 3 1 = 0. {\displaystyle [-1,3]\cdot {\begin{bmatrix}3\\1\end{bmatrix}}=-1\cdot 3+3\cdot 1=0.}

Wektor zerowy jest ortogonalny do każdego wektora.

Przestrzenie funkcyjne

Ortogonalność pojawia się również w kontekście przestrzeni funkcyjnych, w których określony jest pewien iloczyn skalarny. Z tego powodu mówi się często o funkcjach ortogonalnych, czy wielomianach ortogonalnych. Klasycznym przykładem jest przestrzeń L 2 a , b {\displaystyle L^{2}[a,b]} , tj. przestrzeń wszystkich funkcji, określonych na przedziale a , b {\displaystyle [a,b]} o wartościach zespolonych, całkowalnych w drugiej potędze. Iloczyn skalarny elementów f {\displaystyle f} i g {\displaystyle g} tej przestrzeni definiuje się wzorem

f , g = a b f ( t ) g ( t ) ¯ d t . {\displaystyle \langle f,g\rangle =\int \limits _{a}^{b}f(t){\overline {g(t)}}\mathrm {d} t.}

W przypadku, gdy a , b = π , π , {\displaystyle [a,b]=[-\pi ,\pi ],} to rodzina funkcji

{ 1 2 π , sin n x π , cos n x π : n N } {\displaystyle \left\{{\frac {1}{\sqrt {2\pi }}},{\frac {\sin nx}{\sqrt {\pi }}},{\frac {\cos nx}{\sqrt {\pi }}}:n\in \mathbb {N} \right\}}

jest przykładem układu ortogonalnego. Inne przykłady ortogonalnych układów funkcji to np. wielomiany Legendre’a czy wielomiany Czebyszewa.

Zobacz też | edytuj kod

Przypisy | edytuj kod

  1. Roman Ger: Orthogonalities in linear spaces and difference operators, Aequationes Mathematicae Volume 60, Number 3, 268-282, DOI:10.1007/s000100050153.
Na podstawie artykułu: "Ortogonalność" pochodzącego z Wikipedii
OryginałEdytujHistoria i autorzy