Otoczenie (matematyka)


Otoczenie (matematyka) w encyklopedii

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania  Zobacz też: Kula.

Otoczenie punktu – dowolny zbiór, który zawiera zbiór otwarty zawierający dany punkt.

Spis treści

Definicja otoczenia punktu | edytuj kod

Zbiór V {\displaystyle V} na płaszczyźnie jest otoczeniem punktu p {\displaystyle p} jeżeli istnieje koło (bez brzegu) zawierające p {\displaystyle p} i zawarte w V . {\displaystyle V.}

Niech x {\displaystyle x} będzie elementem przestrzeni topologicznej ( X , τ ) . {\displaystyle (X,\tau ).} Zbiór V X {\displaystyle V\subseteq X} jest otoczeniem punktu x , {\displaystyle x,} gdy istnieje zbiór otwarty U τ , {\displaystyle U\in \tau ,} dla którego

x U V . {\displaystyle x\in U\subseteq V.}

Innymi słowy, zbiór V {\displaystyle V} jest otoczeniem punktu x , {\displaystyle x,} jeśli x Int V , {\displaystyle x\in {\text{Int}}V,} gdzie Int V {\displaystyle {\text{Int}}V} oznacza wnętrze zbioru V {\displaystyle V} [1].

Uwaga 1: Otoczenie punktu nie musi być zbiorem otwartym – wystarczy, że zawiera zbiór otwarty zawierający dany punkt. W szczególności, otoczenie może być zbiorem domkniętym, zwartym itd. Otoczenia takie nazywamy odpowiednio otoczeniem otwartym, domkniętym, zwartym itp.

Uwaga 2: Należy zwracać uwagę na konwencje stosowane przez różnych autorów. Niektórzy z nich za otoczenia punktu przyjmują wyłącznie zbiory otwarte zawierające dany punkt[2]. W stosowanej tu terminologii otoczenia takie nazywamy otoczeniami otwartymi.

Definicja otoczenia zbioru | edytuj kod

Niech S {\displaystyle S} jest podzbiorem X . {\displaystyle X.} Otoczeniem zbioru S {\displaystyle S} jest zbiór zawierający zbiór otwarty, który zawiera S . {\displaystyle S.} W szczególności, otoczenie zbioru jest otoczeniem każdego punktu tego zbioru

Inaczej mówiąc suma otoczeń wszystkich punktów zbioru jest jego otoczeniem.

Otoczenia w przestrzeniach metrycznych | edytuj kod

W przestrzeni metrycznej X {\displaystyle X} z metryką d {\displaystyle d} otoczenie punktu można określić za pomocą kul otwartych.

Definicja otoczenia punktu | edytuj kod

V {\displaystyle V} jest otoczeniem punktu p {\displaystyle p} jeśli istnieje kula otwarta o środku w punkcie p {\displaystyle p} i promieniu r > 0 , {\displaystyle r>0,} tj.

B r ( p ) = { x X : d ( x , p ) < r } , {\displaystyle B_{r}(p)=\{x\in X\colon d(x,p)<r\},}

która jest zawarta w zbiorze V . {\displaystyle V.}

Definicja otoczenia jednostajnego zbioru | edytuj kod

Zbiór S {\displaystyle S} na płaszczyźnie i jednostajne otoczenie V {\displaystyle V} zbioru S . {\displaystyle S.}

Otoczeniem jednostajnym zbioru S {\displaystyle S} w przestrzeni metrycznej nazwiemy zbiór V {\displaystyle V} o tej własności, że istnieje taka liczba r > 0 , {\displaystyle r>0,} że dla każdego p S {\displaystyle p\in S} kula otwarta o środku w punkcie p {\displaystyle p} i promieniu r , {\displaystyle r,} tj.

B r ( p ) = { x X : d ( x , p ) < r } , {\displaystyle B_{r}(p)=\{x\in X\colon d(x,p)<r\},}

jest zawarta w zbiorze V . {\displaystyle V.}

Innymi słowy, zbiór V {\displaystyle V} jest sumą wszystkich kul o ustalonym promieniu i środkach w punktach zbioru S . {\displaystyle S.}

System otoczeń a topologia | edytuj kod

Jeżeli dla każdego punktu x {\displaystyle x} zbioru X {\displaystyle X} dana jest pewna rodzina B ( x ) {\displaystyle B(x)} podzbiorów U {\displaystyle U} zbioru X {\displaystyle X} spełniająca warunki:

  1. dla każdego U B ( x ) {\displaystyle U\in B(x)} mamy, że x U , {\displaystyle x\in U,}
  2. dla dowolnego U B ( x ) {\displaystyle U\in B(x)} istnieje takie V B ( x ) , {\displaystyle V\in B(x),} że U B ( y ) {\displaystyle U\in B(y)} dla wszelkich y V , {\displaystyle y\in V,}

to fakt ten można wykorzystać do określenia topologii w zbiorze X : {\displaystyle X{:}} zbiór otwarty definiuje się jako zbiór, który wraz z każdym swoim punktem x {\displaystyle x} zawiera również pewien zbiór z rodziny B ( x ) . {\displaystyle B(x).}

Otoczenie jako pojęcie pierwotne aksjomatyki | edytuj kod

Pierwsza aksjomatyka przestrzeni topologicznej, podana przez Hausdorffa, była oparta na pojęciu otoczenia.

Definicja. Przestrzenią topologiczną nazywamy parę ( X , τ ) {\displaystyle (X,\tau )} złożoną ze zbioru X {\displaystyle X} oraz rodziny

τ = { τ x } x X {\displaystyle \tau =\{\tau _{x}\}_{x\in X}}

zbiorów τ x , {\displaystyle \tau _{x},} których elementami są podzbiory (zwane otoczeniami elementu x {\displaystyle x} ) zbioru X {\displaystyle X} spełniające następujące aksjomaty:

  1. Każde otoczenie x {\displaystyle x} zawiera x {\displaystyle x} oraz zbiór X {\displaystyle X} jest otoczeniem każdego swojego punktu.
  2. Każdy zbiór zawierający jakieś otoczenie x {\displaystyle x} jest także otoczeniem x . {\displaystyle x.}
  3. Przecięcie dowolnej pary otoczeń x {\displaystyle x} jest także otoczeniem x . {\displaystyle x.}
  4. W każdym otoczeniu x {\displaystyle x} zawarte jest takie otoczenie x , {\displaystyle x,} które jest zarazem otoczeniem każdego swojego punktu[3].

Otoczenie a sąsiedztwo | edytuj kod

W klasycznej analizie matematycznej korzysta się czasem z pojęcia sąsiedztwa punktu, które oznacza otoczenie punktu z wyłączeniem jego samego. Zatem jeżeli V {\displaystyle V} jest otoczeniem punktu x , {\displaystyle x,} to zbiór

V x = V { x } {\displaystyle V_{x}=V\setminus \{x\}}

jest sąsiedztwem punktu x . {\displaystyle x.}

Przykłady otoczeń otwartych | edytuj kod

  • Na prostej rzeczywistej R {\displaystyle \mathbb {R} } z topologią euklidesową otoczeniem otwartym punktu x {\displaystyle x} jest np. dowolny przedział otwarty ( a , b ) {\displaystyle (a,b)} zawierający ten punkt (niekoniecznie umieszczony w środku koła), tj. a < x < b . {\displaystyle a<x<b.} Sąsiedztwem punktu x {\displaystyle x} jest ten przedział bez punktu x , {\displaystyle x,} tj. ( a , b ) { x } = ( a , x ) ( x , b ) . {\displaystyle (a,b)\setminus \{x\}=(a,x)\cup (x,b).}
  • Na płaszczyźnie euklidesowej R 2 {\displaystyle \mathbb {R} ^{2}} otoczeniem otwartym punktu x {\displaystyle x} jest np. dowolne koło bez brzegu zawierające ten punkt (niekoniecznie umieszczony w środku koła), zaś jego sąsiedztwem jest to koło bez tego punktu.
  • W przestrzeni euklidesowej R 3 {\displaystyle \mathbb {R} ^{3}} otoczeniem otwartym punktu x {\displaystyle x} jest np. dowolna kula bez brzegu zawierająca ten punkt (niekoniecznie umieszczony w środku kuli), zaś jego sąsiedztwem jest kula bez tego punktu.

Przypisy | edytuj kod

  1. Kazimierz Kuratowski: Wstęp do teorii mnogości i topologii. Warszawa: PWN, 1962, s. 109.
  2. W. Kołodziej, Analiza matematyczna, PWN, Warszawa 2009, s. 73.
  3. Klaus Jänich: Topologia (tłum. z jęz. niem.). Warszawa: PWN, 1991, s. 14, 15.
Na podstawie artykułu: "Otoczenie (matematyka)" pochodzącego z Wikipedii
OryginałEdytujHistoria i autorzy