Płaty Béziera


Płaty Béziera w encyklopedii

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Płaty Béziera – powierzchnie parametryczne stosowane w modelowaniu geometrycznym, uogólnienie krzywych Béziera.

Prostokątne płaty powierzchni Béziera | edytuj kod

Prostokątne płaty powierzchni Béziera (rzadziej płaty tensorowe) są funkcjami dwóch zmiennych u , v {\displaystyle u,v} odwzorowującymi kwadrat jednostkowy w przestrzeń k-wymiarową (3, 4, rzadziej więcej wymiarów):

0 , 1 × 0 , 1 R k . {\displaystyle [0,1]\times [0,1]\to \mathbb {R} ^{k}.}

Płat jest stopnia n {\displaystyle n} względem parametru u {\displaystyle u} i stopnia m {\displaystyle m} względem parametru v . {\displaystyle v.}

Kształt powierzchni, podobnie jak w przypadku krzywych Béziera, kontroluje się za pomocą punktów kontrolnych; aby opisać płat stopnia ( n , m ) {\displaystyle (n,m)} potrzebne jest ( n + 1 ) ( m + 1 ) {\displaystyle (n+1)\cdot (m+1)} punktów kontrolnych dla wygody zapisanych w tablicy dwuwymiarowej – p i j {\displaystyle p_{ij}} to punkt w i {\displaystyle i} -tym wierszu i j {\displaystyle j} -tej kolumnie tej tablicy.

Analogicznie do łamanej kontrolnej krzywej, dla płatów używa się określenia siatki kontrolnej, którą jest zbiór linii łączących sąsiednie punkty kontrolne (sąsiednie, czyli p i j {\displaystyle p_{ij}} p i ( j + 1 ) , {\displaystyle p_{i(j+1)},} albo p i j {\displaystyle p_{ij}} p ( i + 1 ) j {\displaystyle p_{(i+1)j}} ).

Łamana, której wierzchołkami są punkty kontrolne o stałym indeksie i {\displaystyle i} nazywana jest wierszem, o stałym indeksie j {\displaystyle j} kolumną.

Płat Beziera

Dowolny punkt na powierzchni oblicza się zgodnie ze wzorem:

p ( u , v ) = i = 0 n j = 0 m p i j B i n ( u ) B j m ( v ) {\displaystyle p(u,v)=\sum _{i=0}^{n}\sum _{j=0}^{m}p_{ij}B_{i}^{n}(u)B_{j}^{m}(v)} dla u , v 0 , 1 , {\displaystyle u,v\in [0,1],}

gdzie:

B i n , {\displaystyle B_{i}^{n},} B j m {\displaystyle B_{j}^{m}} wielomiany bazowe Bernsteina.

W praktyce obliczenie punktu p ( u , v ) {\displaystyle p(u,v)} przeprowadza się zgodnie z jednym ze schematów:

  • p ( u , v ) = i = 0 n ( j = 0 m p i j B j m ( v ) ) B i n ( u ) , {\displaystyle p(u,v)=\sum _{i=0}^{n}\left(\sum _{j=0}^{m}p_{ij}B_{j}^{m}(v)\right)B_{i}^{n}(u),}
  • p ( u , v ) = j = 0 m ( i = 0 n p i j B i n ( u ) ) B j m ( v ) . {\displaystyle p(u,v)=\sum _{j=0}^{m}\left(\sum _{i=0}^{n}p_{ij}B_{i}^{n}(u)\right)B_{j}^{m}(v).}

Najpierw wyznaczane są punkty leżące na krzywych Béziera określonych na wierszach (kolumnach) siatki dla parametru u {\displaystyle u} ( v ) . {\displaystyle (v).} Te punkty są z kolei brane jako ciąg punktów kontrolnych krzywej Béziera, na której dla parametru v {\displaystyle v} ( u ) {\displaystyle (u)} znajduje się szukany punkt.

Można również użyć wariantu dwu- lub więcej wymiarowego algorytmu de Casteljau.

Trójkątne płaty Béziera | edytuj kod

Trójkątne płaty Béziera to funkcje odwzorowujące trójkątny obszar w przestrzeń R n . {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}.} Wykorzystuje się tutaj wielomiany bazowe Bernsteina trzech zmiennych B i j k n ( r , s , t ) . {\displaystyle B_{ijk}^{n}(r,s,t).}

Zmienne r , s , t {\displaystyle r,s,t} przy założeniu, że r + s + t = 1 {\displaystyle r+s+t=1} ( r , s , t 0 , 1 ) {\displaystyle (r,s,t\in [0,1])} współrzędnymi barycentrycznymi na płaszczyźnie – te trzy liczby jednoznacznie określają punkt w trójkącie, którego wierzchołkami są punkty ( r = 1 , s = 0 , t = 0 ) , ( r = 0 , s = 1 , t = 0 ) , ( r = 0 , s = 0 , t = 1 ) . {\displaystyle (r=1,s=0,t=0),(r=0,s=1,t=0),(r=0,s=0,t=1).}

Punkt płata trójkątnego stopnia n {\displaystyle n} dany jest wzorem:

p ( r , s , t ) = p i j k B i j k n ( r , s , t ) , {\displaystyle p(r,s,t)=\sum p_{ijk}B_{ijk}^{n}(r,s,t),}

gdzie:

i , j , k 0 , {\displaystyle i,j,k\geqslant 0,} i , j , k = 0 , 1 , 2 , , {\displaystyle i,j,k=0,1,2,\dots ,} i + j + k = n . {\displaystyle i+j+k=n.}

Sumowanie przebiega po wszystkich i , j , k {\displaystyle i,j,k} spełniających warunek i + j + k = n . {\displaystyle i+j+k=n.}

Do określenia płata stopnia n {\displaystyle n} potrzebne jest ( n + 1 ) ( n + 2 ) 2 {\displaystyle {\frac {(n+1)(n+2)}{2}}} punktów kontrolnych.

Analogicznie jak w przypadku płatów prostokątnych tutaj również mamy do czynienia z siatką kontrolną. Wierszem w siatce nazywamy łamaną, której wierzchołkami są punkty kontrolne o jednym stałym indeksie.

Również dla płatów trójkątnych istnieje wariant algorytmu de Casteljau.

Zobacz też | edytuj kod

Na podstawie artykułu: "Płaty Béziera" pochodzącego z Wikipedii
OryginałEdytujHistoria i autorzy