P-grupa


p-grupa w encyklopedii

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Spis treści

p {\displaystyle p} -grupa (także grupa pierwsza, grupa p {\displaystyle p} -pierwsza) – grupa, której rząd jest postaci p n , {\displaystyle p^{n},} gdzie p {\displaystyle p} jest liczbą pierwszą a n {\displaystyle n} jest dodatnią liczbą całkowitą.

Konkretne wartości p {\displaystyle p} podstawia się do nazwy, np. dla p = 11 {\displaystyle p=11} mówi się o 11-grupie.

Podgrupę grupy G {\displaystyle G} nazywa się p {\displaystyle p} -podgrupą, jeżeli jest ona p {\displaystyle p} -grupą. Podgrupę H {\displaystyle H} grupy skończonego rzędu G {\displaystyle G} nazywa się p {\displaystyle p} -podgrupą Sylowa, jeśli jest największego możliwego rzędu. Z twierdzenia Sylowa wynika, że jeśli | G | = p k r , {\displaystyle |G|=p^{k}\cdot r,} gdzie p | r , {\displaystyle p\not |r,} to | H | = p k . {\displaystyle |H|=p^{k}.}

Własności | edytuj kod

  • Niech G {\displaystyle G} będzie grupą skończoną oraz | G | = p q , {\displaystyle |G|=pq,} gdzie p , q {\displaystyle p,q} są pewnymi liczbami pierwszymi. Jeżeli G {\displaystyle G} nie zawiera elementu rzędu p q , {\displaystyle pq,} to prawdziwe jest jedno z poniższych stwierdzeń:
  1. p {\displaystyle p} -podgrupy Sylowa lub q {\displaystyle q} -podgrupy Sylowa grupy G {\displaystyle G} abelowe.
  2. G / O { p , q } ( G ) = M {\displaystyle G/O_{\{p,q\}'}(G)=M} oraz { p , q } = { 5 , 13 } {\displaystyle \{p,q\}=\{5,13\}} lub { p , q } = { 7 , 13 } , {\displaystyle \{p,q\}=\{7,13\},} gdzie M {\displaystyle M} jest grupą monstrum.

Twierdzenie o centrum p-grupy | edytuj kod

Centrum p {\displaystyle p} -grupy jest nietrywialne, to znaczy, że Z ( G ) { e } , {\displaystyle Z(G)\neq \{e\},} gdzie e {\displaystyle e} jest elementem neutralnym p {\displaystyle p} -grupy (jak wiadomo, e Z ( G ) {\displaystyle e\in Z(G)} ).

Dowód. Niech G {\displaystyle G} będzie p {\displaystyle p} -grupą, tj. | G | = p k {\displaystyle |G|=p^{k}} dla pewnej liczby k {\displaystyle k} oraz niech funkcja

ϕ : G × G G {\displaystyle \phi \colon G\times G\to G}

dane wzorem

ϕ ( g , x ) = g x g 1 . {\displaystyle \phi (g,x)=gxg^{-1}.}

Odwzorowanie ϕ {\displaystyle \phi } jest działaniem grupy G {\displaystyle G} na sobie (czyli na zbiorze G {\displaystyle G} ).

Ponieważ

x Z ( G ) g G g x g 1 = x g G ϕ ( g , x ) = x , {\displaystyle x\in Z(G)\iff \forall _{g\in G}gxg^{-1}=x\iff \forall _{g\in G}\phi (g,x)=x,}

więc orbita G ( x ) {\displaystyle G(x)} elementu x {\displaystyle x} jest jednoelementowa wtedy i tylko wtedy, gdy x {\displaystyle x} jest elementem centrum Z ( G ) . {\displaystyle Z(G).}

Jeśli orbita p {\displaystyle p} -grupy G {\displaystyle G} ma więcej niż jeden element, to liczba jej elementów jest podzielna przez p : {\displaystyle p{:}}

x G | G ( x ) | > 1 p | | G ( x ) | . {\displaystyle \forall _{x\in G}|G(x)|>1\Rightarrow p||G(x)|.}

Istotnie, stabilizator G x {\displaystyle G_{x}} jest wtedy pogrupą G {\displaystyle G} i jego rząd dzieli rząd G (wniosek z twierdzenia Lagrange’a), czyli | G x | = p n , {\displaystyle |G_{x}|=p^{n},} gdzie n < k {\displaystyle n<k} (bo gdyby n = k , {\displaystyle n=k,} to orbita byłaby jednoelementowa). Wówczas

| G ( x ) | = | G : G x | = | G | | G x | = p k p n = p k n = p t , {\displaystyle |G(x)|=|G:G_{x}|={\frac {|G|}{|G_{x}|}}={\frac {p^{k}}{p^{n}}}=p^{k-n}=p^{t},} gdzie t = k n > 0 , {\displaystyle t=k-n>0,} czyli p | | G ( x ) | . {\displaystyle p||G(x)|.}

G {\displaystyle G} jest sumą wszystkich orbit, więc:

G = G ( x ) = | G ( x ) | = 1 G ( x ) | G ( x ) | > 1 G ( x ) . {\displaystyle G=\bigcup G(x)=\bigcup _{|G(x)|=1}G(x)\cup \bigcup _{|G(x)|>1}G(x).}

Stąd

p k = | G | = | G ( x ) | = 1 | G ( x ) | + | G ( x ) | > 1 | G ( x ) | = | Z ( G ) | + p s {\displaystyle p^{k}=|G|=\sum \limits _{|G(x)|=1}|G(x)|+\sum \limits _{|G(x)|>1}|G(x)|=|Z(G)|+p\cdot s}

dla pewnego s. Stąd p | | Z ( G ) | , {\displaystyle p||Z(G)|,} ale | Z ( G ) | > 0 , {\displaystyle |Z(G)|>0,} bo e Z ( G ) , {\displaystyle e\in Z(G),} więc | Z ( G ) | p . {\displaystyle |Z(G)|\geqslant p.}

Zobacz też | edytuj kod

Bibliografia | edytuj kod

  • A. Bojanowska, P. Traczyk, Algebra I, Skrypt WMIM, 2005.
  • Cz. Bagiński, Wstęp do teorii grup, SCRIPT, 2005, ​ISBN 83-904564-9-4​.
  • G. Malle, A. Moret’o, G. Navarro, Element orders and Sylow structure of finite groups, Math. Z. 252, No.1, 223-230 (2006); ISSN 0025-5874, ISSN 1432-1823.
Na podstawie artykułu: "P-grupa" pochodzącego z Wikipedii
OryginałEdytujHistoria i autorzy