PFA (aksjomat)


PFA (aksjomat) w encyklopedii

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Spis treści

PFA (z ang. proper forcing axiom) – aksjomat forsingowy używany w teorii mnogości, topologii i pokrewnych dziedzinach matematyki. Jest to zdanie postulujące szczególną własność pewnych porządków częściowych.

Definicje formalne | edytuj kod

Pojęcia wstępne | edytuj kod

Niech P = ( P , ) {\displaystyle \mathbb {P} =(\mathbb {P} ,\leqslant )} będzie pojęciem forsingu.

  • Powiemy, że zbiór G P {\displaystyle G\subseteq \mathbb {P} } jest filtrem w P {\displaystyle \mathbb {P} } jeśli następujące warunki są spełnione:
(i) G , {\displaystyle G\neq \varnothing ,} (ii) jeśli p , q P , {\displaystyle p,q\in \mathbb {P} ,} q p {\displaystyle q\leqslant p} oraz q G , {\displaystyle q\in G,} to również p G , {\displaystyle p\in G,} (iii) jeśli p , q G , {\displaystyle p,q\in G,} to można znaleźć r G {\displaystyle r\in G} taki że r p {\displaystyle r\leqslant p} oraz r q . {\displaystyle r\leqslant q.}
  • Zbiór I P {\displaystyle I\subseteq \mathbb {P} } jest gęstym podzbiorem P {\displaystyle \mathbb {P} } jeśli ( p P ) ( q I ) ( q p ) . {\displaystyle (\forall p\in \mathbb {P} )(\exists q\in I)(q\leqslant p).}
  • Niech χ {\displaystyle \chi } będzie regularną liczbą kardynalną a H ( χ ) {\displaystyle {\mathcal {H}}(\chi )} będzie rodziną wszystkich zbiorów dziedzicznie mocy mniejszej niż χ . {\displaystyle \chi .} Przypuśćmy, że N {\displaystyle N} jest przeliczalnym elementarnym podmodelem ( H ( χ ) , ) {\displaystyle ({\mathcal {H}}(\chi ),\in )} takim, że P N . {\displaystyle \mathbb {P} \in N.} Powiemy, że warunek q P {\displaystyle q\in \mathbb {P} } jest warunkiem ( N , P ) {\displaystyle (N,\mathbb {P} )} -generycznym jeśli dla każdego maksymalnego antyłańcucha A P , {\displaystyle A\subseteq \mathbb {P} ,} który należy do modelu N {\displaystyle N} mamy:
dla każdego r A , {\displaystyle r\in A,} jeśli r , q {\displaystyle r,q} są niesprzeczne, to r N . {\displaystyle r\in N.} (Przypomnijmy, że warunki r , q {\displaystyle r,q} są niesprzeczne, jeśli istnieje warunek s P {\displaystyle s\in \mathbb {P} } silniejszy niż oba te warunki.)
  • Pojęcie forsingu P {\displaystyle \mathbb {P} } jest proper, jeśli dla każdej dostatecznie dużej regularnej liczby kardynalnej χ {\displaystyle \chi } istnieje x H ( χ ) {\displaystyle x\in {\mathcal {H}}(\chi )} taki, że:
jeśli N {\displaystyle N} jest przeliczalnym elementarnym podmodelem ( H ( χ ) , ) , {\displaystyle ({\mathcal {H}}(\chi ),\in ),} P , x N {\displaystyle \mathbb {P} ,x\in N} oraz p P N , {\displaystyle p\in \mathbb {P} \cap N,} to istnieje warunek q p {\displaystyle q\leqslant p} który jest ( N , P ) {\displaystyle (N,\mathbb {P} )} -generyczny.

PFA i BPFA | edytuj kod

PFA oznacza następujące zdanie:

jeśli pojęcie forsingu P {\displaystyle \mathbb {P} } jest proper, I {\displaystyle {\mathcal {I}}} jest rodziną gęstych podzbiorów P {\displaystyle \mathbb {P} } oraz | I | 1 , {\displaystyle |{\mathcal {I}}|\leqslant \aleph _{1},} to istnieje filtr G P , {\displaystyle G\subseteq \mathbb {P} ,} który ma niepusty przekrój z każdym zbiorem z I {\displaystyle {\mathcal {I}}} (tzn. ( D I ) ( D G ) {\displaystyle (\forall D\in {\mathcal {I}})(D\cap G\neq \varnothing )} ).

BPFA jest następującym zdaniem:

jeśli pojęcie forsingu P {\displaystyle \mathbb {P} } jest proper, A {\displaystyle {\mathcal {A}}} jest rodziną maksymalnych antyłańcuchów w zupełnej algebrze Boole’a R O ( P ) {\displaystyle \mathrm {RO} (\mathbb {P} )} wyznaczonej przez to pojęcie forsingu oraz zarówno | A | 1 , {\displaystyle |{\mathcal {A}}|\leqslant \aleph _{1},} jak i każdy antyłańcuch w rodzinie A {\displaystyle {\mathcal {A}}} jest mocy co najwyżej 1 , {\displaystyle \aleph _{1},} to istnieje filtr G R O ( P ) , {\displaystyle G\subseteq \mathrm {RO} (\mathbb {P} ),} który ma niepusty przekrój z każdym antyłańcuchem z A {\displaystyle {\mathcal {A}}} (tzn. ( A A ) ( A G ) {\displaystyle (\forall A\in {\mathcal {A}})(A\cap G\neq \varnothing )} ).

Nazwa BPFA jest skrótem angielskiego zwrotu Bounded Proper Forcing Axiom.

Historia i niesprzeczność | edytuj kod

  • Idea forsingów proper i związanego z nimi aksjomatu forsingowego była stworzona przez izraelskiego matematyka Saharona Szelacha w drugiej połowie lat 70. XX wieku. W 1978 w czasie wykładów w Berkeley przedstawił on po raz pierwszy ten koncept, w druku ukazał się on w 1980[1].
  • W 1982, Szelach opublikował monografię[2] przedstawiającą pierwsze systematyczne badania forsingów proper, związanych z nimi aksjomatów forsingowych i twierdzeń zachowawczych.
  • W 1995, Martin Goldstern i Saharon Szelach wprowadzają BPFA[3] który zyskał sporą popularność w ostatnich latach (ze względu na słabsze założenia potrzebne aby wykazać jego niesprzeczność).

Podstawą do wykazania niesprzeczności PFA (czy też BPFA) jest twierdzenie Szelacha mówiące, że iteracja z przeliczalnym nośnikiem forsingów proper jest forsingiem proper (a więc nie kolapsuje ω 1 {\displaystyle \omega _{1}} )[4][5][6] Niestety, w iteracjach tego typu liczby kardynalne powyżej 1 {\displaystyle \aleph _{1}} mogą być kolapsowane, jeśli więc chcemy przeiterować wszystkie możliwe forsingi proper to potrzebujemy dodatkowego narzędzia aby złapać swój własny ogon. Narzędziem tym jest zwykle diament Lavera związany z liczbą super-zwartą.

Twierdzenie [Szelach]: Jeśli teoria „ZFC+istnieje liczba super-zwarta” jest niesprzeczna, to również teoria „ZFC+PFA” jest niesprzeczna.

Aksjomat BPFA wymaga znacznie słabszych założeń:

Twierdzenie [Goldstern-Szelach]: Jeśli teoria „ZFC+istnieje liczba Mahlo” jest niesprzeczna, to również teoria „ZFC+BPFA” jest niesprzeczna.

(W tym ostatnim twierdzeniu trochę mniej niż istnienie liczby Mahlo jest wymagane; co więcej Goldstern i Szelach podali dokładną siłę niesprzeczności BPFA.)

Przykłady forsingów proper | edytuj kod

  • Wszystkie przeliczalnie domknięte pojęcia forsingu, jak też i wszystkie ccc pojęcia forsingu są proper.
  • Pojęcia forsingu Lavera, Mathiasa i Sacksa (zdefiniowane w artykule o pojęciach forsingu) są proper.
  • Pojęcia forsingu zbudowane zgodnie z metodą norm na możliwościach są proper przy naturalnych warunkach[7].

Przykłady konsekwencji | edytuj kod

Załóżmy PFA. Wówczas:

  • 2 0 = 2 1 = 2 , {\displaystyle 2^{\aleph _{0}}=2^{\aleph _{1}}=\aleph _{2},}
  • MA,
  • SCH,
  • nie istnieją drzewa Kurepy,
  • suma 1 {\displaystyle \aleph _{1}} (s0)-zbiorów Marczewskiego jest ( s 0 ) {\displaystyle (s_{0})} -zbiorem.

Aby przedstawić kolejną konsekwencję PFA musimy wprowadzić następującą definicję. Powiemy, że podzbiór A R {\displaystyle A\subseteq \mathbb {R} } prostej rzeczywistej jest 1 {\displaystyle \aleph _{1}} -gęsty w R {\displaystyle \mathbb {R} } jeśli dla każdego niepustego przedziału otwartego P R {\displaystyle P\subseteq \mathbb {R} } mamy, że | A P | = 1 . {\displaystyle |A\cap P|=\aleph _{1}.}

  • Zakładając PFA, każde dwa 1 {\displaystyle \aleph _{1}} -gęste podzbiory prostej są porządkowo izomorficzne[8].

Zobacz też | edytuj kod

Przypisy | edytuj kod

  1. Szelach, Saharon: Independence results. „J. Symbolic Logic” 45 (1980), s. 563–573.
  2. Szelach, Saharon: Proper forcing. „Lecture Notes in Mathematics”, 940. Springer-Verlag, Berlin-New York, 1982. ​ISBN 3-540-11593-5​.
  3. Goldstern, Martin; Szelach, Saharon: The bounded proper forcing axiom. „J. Symbolic Logic” 60 (1995), s. 58–73.
  4. Szelach, Saharon: Proper and improper forcing. „Perspectives in Mathematical Logic”. Springer-Verlag, Berlin, 1998. ​ISBN 3-540-51700-6​.
  5. Goldstern, Martin: Tools for your forcing construction. Set theory of the reals (Ramat Gan, 1991). „Israel Math. Conf. Proc.”, 6, Bar-Ilan Univ., Ramat Gan, 1993, s. 305–360.
  6. Abraham, Uri: Proper forcing. w: Handbook of Set Theory pod red. M. Foremana, A. Kanamoriego i M. Magidora, w druku. Dostępne w formacie dvi na stronie autora.
  7. Rosłanowski, Andrzej; Szelach, Saharon: Norms on possibilities. I. Forcing with trees and creatures. „Mem. Amer. Math. Soc.” 141 (1999), no. 671, ​ISBN 0-8218-1180-0​.
  8. Baumgartner, James: Applications of the proper forcing axiom, w: Handbook of set-theoretic topology, s. 913–959. North-Holland, Amsterdam, 1984.
Na podstawie artykułu: "PFA (aksjomat)" pochodzącego z Wikipedii
OryginałEdytujHistoria i autorzy