Paradoks Banacha-Tarskiego


Paradoks Banacha-Tarskiego w encyklopedii

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania Paradoks Banacha-Tarskiego: Kula może być pocięta na skończenie wiele kawałków, z których można złożyć dwie kule identyczne z kulą wyjściową

Paradoks Banacha-Tarskiego (paradoks Hausdorffa-Banacha-Tarskiego, paradoksalny rozkład kuli) – paradoksalne twierdzenie teorii miary sformułowane i udowodnione przez Stefana Banacha i Alfreda Tarskiego w 1924 roku.

Twierdzenie głosi, że trójwymiarową kulę można „rozciąć” na skończoną liczbę części (wystarczy ich sześć), a następnie używając wyłącznie przesunięć i obrotów można złożyć z tych części dwie kule o takich samych promieniach jak promień kuli wyjściowej.

Paradoksalne jest to, że z jednej strony w wyniku operacji rozcinania, przesunięcia, obracania i składania następuje podwojenie objętości kuli, z drugiej użyte operacje przesunięcia i obrotu są izometriami i zachowują objętość brył.

Źródło paradoksu tkwi w tym, że części, na które dzielona jest kula, są zbiorami niemierzalnymi (w sensie Lebesgue’a) tj. nie mają objętości i nie stosuje się do nich addytywność miary, zgodnie z którą suma miar rozłącznych zbiorów mierzalnych jest miarą sumy mnogościowej tych zbiorów.

Twierdzenie Banacha-Tarskiego i pokrewne wyniki uświadamiają ograniczenia możliwych rozszerzeń miary Lebesgue’a, które miałyby pozostać niezmiennicze względem pewnych przekształceń przestrzeni euklidesowych[1].

Paradoks Banacha-Tarskiego ma swoją popularną wersję: ziarnko grochu może być podzielone na skończenie wiele części, z których (przez izometrie) można złożyć kulę wielkości Słońca.

W jednej z książek dotyczących paradoksu Banacha-Tarskiego zamieszczone jest motto[1] wskazujące jeden ze sposobów rozwiązania problemu delijskiego:

Delijczycy: W jaki sposób możemy uwolnić się od zarazy? Wyrocznia delficka: Powiększcie dwukrotnie objętość ołtarza Apolla zachowując jego kształt sześcianu! Banach i Tarski: Czy możemy użyć aksjomatu wyboru?

Spis treści

Rys historyczny | edytuj kod

Wstępne przykłady | edytuj kod

  • W zasadzie już Galileusz[8] zauważył, że zbiór liczb naturalnych N = { 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , } {\displaystyle \mathbb {N} =\{0,1,2,3,4,5,\dots \}} może być podzielony na dwie części z których każda może być odwzorowana w sposób wzajemnie jednoznaczny na cały zbiór N . {\displaystyle \mathbb {N} .} Rozważmy na przykład zbiór liczb parzystych P = { 0 , 2 , 4 , 6 , } {\displaystyle P=\{0,2,4,6,\dots \}} i jego dopełnienie, czyli zbiór liczb nieparzystych N = { 1 , 3 , 5 , } . {\displaystyle N=\{1,3,5,\dots \}.} Funkcja f P : P N : k k / 2 {\displaystyle f_{P}:P\to {\mathbb {N} }:k\mapsto k/2} jest bijekcją z P {\displaystyle P} na N {\displaystyle \mathbb {N} } oraz funkcja f N : N N : k ( k 1 ) / 2 {\displaystyle f_{N}:N\to {\mathbb {N} }:k\mapsto (k-1)/2} jest bijekcją z N {\displaystyle N} na N . {\displaystyle \mathbb {N} .}
  • Każde dwa nietrywialne odcinki na prostej rzeczywistejrównoliczne (w ZF) i funkcja ustalająca równoliczność jest bardzo porządna (np. w przypadku dwóch przedziałów otwartych może to być funkcja liniowa). Zatem każdy nietrywialny odcinek może być podzielony na dwie rozłączne części (odcinki) i każda z tych części może być odwzorowana w sposób wzajemnie jednoznaczny na odcinek wyjściowy. Podobna obserwacja ma miejsce w odniesieniu do prostokątów, prostopadłościanów i wielu innych figur geometrycznych.
  • Rozważmy zbiór Vitalego na okręgu jednostkowym. Najwygodniej jest ten zbiór opisać, jeśli zinterpretujemy punkty płaszczyzny jako liczby zespolone. Nasz okrąg to zbiór O = { e 2 π r i : r R } = { e 2 π r i : r 0 , 1 ) } . {\displaystyle O=\{e^{2\pi ri}:r\in {\mathbb {R} }\}=\{e^{2\pi ri}:r\in [0,1)\}.} Określmy na tym zbiorze relację równoważności {\displaystyle \cong } przez warunek
e 2 π r i e 2 π s i {\displaystyle e^{2\pi ri}\cong e^{2\pi si}} wtedy i tylko wtedy gdy r s {\displaystyle r-s} jest liczbą wymierną. Zakładając aksjomat wyboru, możemy znaleźć zbiór M O , {\displaystyle M\subseteq O,} który jest selektorem klas abstrakcji relacji . {\displaystyle \cong .} Zatem zbiór M {\displaystyle M} spełnia następujące dwa warunki: (a) ( s , t M ) ( s t     s t ) {\displaystyle (\forall s,t\in M)(s\neq t\ \Rightarrow \ s\not \cong t)} oraz (b) ( s O ) ( t M ) ( s t ) . {\displaystyle (\forall s\in O)(\exists t\in M)(s\cong t).} Przedstawmy zbiór liczb wymiernych w przedziale 0 , 1 ) {\displaystyle [0,1)} jako sumę Q 0 , 1 ) = A B {\displaystyle {\mathbb {Q} }\cap [0,1)=A\cup B} dwóch zbiorów nieskończonych. Wówczas każdy ze zbiorów A , {\displaystyle A,} B {\displaystyle B} jest równoliczny ze zbiorem Q 0 , 1 ) , {\displaystyle {\mathbb {Q} }\cap [0,1),} a więc możemy wybrać funkcje wzajemnie jednoznaczne f A : A Q 0 , 1 ) {\displaystyle f_{A}:A\to {\mathbb {Q} }\cap [0,1)} i f B : B Q 0 , 1 ) . {\displaystyle f_{B}:B\to {\mathbb {Q} }\cap [0,1).} Rozważmy zbiory M A = { e 2 π q i t : t M     q A } {\displaystyle M_{A}=\{e^{2\pi qi}\cdot t:t\in M\ \wedge \ q\in A\}} i M B = { e 2 π q i t : t M     q B } . {\displaystyle M_{B}=\{e^{2\pi qi}\cdot t:t\in M\ \wedge \ q\in B\}.} Wówczas O = M A M B , {\displaystyle O=M_{A}\cup M_{B},} M A M B = {\displaystyle M_{A}\cap M_{B}=\emptyset } oraz funkcje φ A : M A O : e 2 π q i t e 2 π f A ( q ) i t {\displaystyle \varphi _{A}:M_{A}\to O:e^{2\pi qi}\cdot t\mapsto e^{2\pi f_{A}(q)i}\cdot t} i φ B : M B O : e 2 π q i t e 2 π f B ( q ) i t {\displaystyle \varphi _{B}:M_{B}\to O:e^{2\pi qi}\cdot t\mapsto e^{2\pi f_{B}(q)i}\cdot t} są bijekcjami.

W powyższych przykładach użyte funkcje wzajemnie jednoznaczne, nawet jeśli są bardzo porządne, jednak nie zachowują odległości punktów (czyli nie są izometriami). Zatem przykłady te nie wzbudzają żadnego zdziwienia: odpowiednie zbiory są powiększone/rozdmuchane przez odpowiadające im funkcje. Można jednak zapytać, czy istnieją podobne rozkłady z dodatkową własnością, taką że funkcje ustalające równoliczność kawałków z wyjściowym zbiorem są izometriami (ze względu na metryki naturalne).

  • Zbiór Vitalego, dyskutowany wcześniej, pozwala zbudować przykład podziału na przeliczalnie wiele części, tak że z dowolnych nieskończenie wielu kawałków można złożyć okrąg wyjściowy, używając tylko obrotów. Niech zbiór M {\displaystyle M} będzie wybrany jak powyżej. Dla q Q 0 , 1 ) {\displaystyle q\in {\mathbb {Q} }\cap [0,1)} połóżmy M q = { e 2 π q i t : t M } . {\displaystyle M^{q}=\{e^{2\pi qi}\cdot t:t\in M\}.} Wówczas { M q : q Q 0 , 1 ) } {\displaystyle \{M^{q}:q\in {\mathbb {Q} }\cap [0,1)\}} jest przeliczalną rodziną parami rozłącznych podzbiorów okręgu O . {\displaystyle O.} Przypuśćmy, że A Q 0 , 1 ) {\displaystyle A\subseteq {\mathbb {Q} }\cap [0,1)} jest zbiorem nieskończonym. Ustalmy bijekcję f A : A Q 0 , 1 ) {\displaystyle f_{A}:A\to {\mathbb {Q} }\cap [0,1)} i zauważmy że
O = q A F q M q , {\displaystyle O=\bigcup \limits _{q\in A}F_{q}[M^{q}],} gdzie F q : O O : e 2 π r i e 2 π ( r + f A ( q ) q ) i {\displaystyle F_{q}:O\to O:e^{2\pi ri}\mapsto e^{2\pi (r+f_{A}(q)-q)i}} jest obrotem o kąt ( f A ( q ) q ) 2 π . {\displaystyle (f_{A}(q)-q)\cdot 2\pi .}
  • Mazurkiewicz i Sierpiński podali w 1914 następujący przykład paradoksalnego (ze względu na izometrie) podzbioru płaszczyzny. Jak wcześniej, utożsamiamy płaszczyznę ze zbiorem liczb zespolonych. Niech
Z = { a 0 + a 1 e i + a 2 e 2 i + + a k e k i : k N     a 0 , , a k N } , {\displaystyle Z=\{a_{0}+a_{1}e^{i}+a_{2}e^{2i}+\ldots +a_{k}e^{ki}:k\in {\mathbb {N} }\ \wedge \ a_{0},\dots ,a_{k}\in {\mathbb {N} }\},} Z 0 = { a 1 e i + a 2 e 2 i + + a k e k i : k N { 0 }   a 1 , , a k N } , {\displaystyle Z_{0}=\{a_{1}e^{i}+a_{2}e^{2i}+\ldots +a_{k}e^{ki}:k\in {\mathbb {N} }\setminus \{0\}\wedge \ a_{1},\dots ,a_{k}\in {\mathbb {N} }\},} Z + = { a 0 + a 1 e i + a 2 e 2 i + + a k e k i : k N     a 0 , , a k N     a 0 > 0 } . {\displaystyle Z_{+}=\{a_{0}+a_{1}e^{i}+a_{2}e^{2i}+\ldots +a_{k}e^{ki}:k\in {\mathbb {N} }\ \wedge \ a_{0},\dots ,a_{k}\in {\mathbb {N} }\ \wedge \ a_{0}>0\}.} Można łatwo sprawdzić, że Z = Z 0 Z + , {\displaystyle Z=Z_{0}\cup Z_{+},} Z 0 Z + = {\displaystyle Z_{0}\cap Z_{+}=\emptyset } (przypomnijmy, że e i {\displaystyle e^{i}} jest liczbą przestępną) oraz F 0 Z 0 = Z {\displaystyle F_{0}[Z_{0}]=Z} gdzie F 0 : z e i z {\displaystyle F_{0}:z\mapsto e^{-i}\cdot z} jest obrotem, a F + Z + = Z {\displaystyle F_{+}[Z_{+}]=Z} gdzie F + : z z 1 {\displaystyle F_{+}:z\mapsto z-1} jest przesunięciem.

Rozkłady paradoksalne | edytuj kod

Definicje | edytuj kod

Przypuśćmy, że grupa G {\displaystyle G} działa na zbiorze X . {\displaystyle X.}

  • Powiemy, że zbiór A X {\displaystyle A\subseteq X} jest paradoksalny ze względu na działanie grupy G, jeśli można znaleźć parami rozłączne zbiory B 0 , , B n , C 0 , , C m A {\displaystyle B_{0},\dots ,B_{n},C_{0},\dots ,C_{m}\subseteq A} (gdzie n , m N {\displaystyle n,m\in {\mathbb {N} }} ) oraz elementy g 0 , , g n , h 0 , , h m {\displaystyle g_{0},\dots ,g_{n},h_{0},\dots ,h_{m}} grupy G , {\displaystyle G,} takie że
A = i = 0 n g i B i {\displaystyle A=\bigcup \limits _{i=0}^{n}g_{i}[B_{i}]} oraz A = j = 0 m h j C j . {\displaystyle A=\bigcup \limits _{j=0}^{m}h_{j}[C_{j}].}

Intuicyjnie, A {\displaystyle A} jest paradoksalny ze względu na działanie grupy G , {\displaystyle G,} jeśli można podzielić zbiór A {\displaystyle A} na skończenie wiele kawałków, z których można złożyć dwie kopie zbioru A , {\displaystyle A,} używając bijekcji wyznaczonych przez elementy grupy G . {\displaystyle G.}

  • Zbiór A X {\displaystyle A\subseteq X} jest σ-paradoksalny ze względu na działanie grupy G, jeśli można znaleźć parami rozłączne zbiory B 0 , B 1 , C 0 , C 1 A {\displaystyle B_{0},B_{1}\dots ,C_{0},C_{1}\ldots \subseteq A} oraz elementy g 0 , g 1 , , h 0 , h 1 {\displaystyle g_{0},g_{1},\dots ,h_{0},h_{1}\ldots } grupy G , {\displaystyle G,} takie że
A = i = 0 g i B i {\displaystyle A=\bigcup \limits _{i=0}^{\infty }g_{i}[B_{i}]} oraz A = j = 0 h j C j . {\displaystyle A=\bigcup \limits _{j=0}^{\infty }h_{j}[C_{j}].}
  • Niech A , B X . {\displaystyle A,B\subseteq X.} Powiemy, że zbiory A {\displaystyle A} i B {\displaystyle B} kawałkami G {\displaystyle G} -równoważne, jeśli można wybrać A 0 , A 1 , , A n A , {\displaystyle A_{0},A_{1},\dots ,A_{n}\subseteq A,} B 0 , B 1 , , B n B , {\displaystyle B_{0},B_{1},\dots ,B_{n}\subseteq B,} n N , {\displaystyle n\in {\mathbb {N} },} oraz g 0 , g 1 , , g n G , {\displaystyle g_{0},g_{1},\dots ,g_{n}\in G,} tak że
(a) A i A j = = B i B j {\displaystyle A_{i}\cap A_{j}=\emptyset =B_{i}\cap B_{j}} dla i < j n , {\displaystyle i<j\leqslant n,} (b) A = i = 0 n A i , {\displaystyle A=\bigcup _{i=0}^{n}A_{i},} B = i = 0 n B i {\displaystyle B=\bigcup _{i=0}^{n}B_{i}} (c) g i ( A i ) = B i {\displaystyle g_{i}(A_{i})=B_{i}} dla każdego i n . {\displaystyle i\leqslant n.}

Przykłady | edytuj kod

  • Zakładając aksjomat wyboru, okrąg jednostkowy jest σ-paradoksalny ze względu na grupę obrotów S O 2 {\displaystyle SO_{2}} okręgu. (Zobacz dyskusję zbioru Vitalego wcześniej.)
  • Zbiór Z {\displaystyle Z} podany przez Mazurkiewicza i Sierpińskiego (dyskutowany wcześniej) jest paradoksalny ze względu na grupę izometrii płaszczyzny.
Zbiory S ( a 1 ) {\displaystyle S(a^{-1})} i a S ( a 1 ) {\displaystyle aS(a^{-1})} zaznaczone na grafie Cayleya grupy wolnej F 2 {\displaystyle F_{2}} Animacja dowodu twierdzenia Banacha-Tarskiego za pomocą grafu Cayleya opartego na fraktalu
  • Rozważmy grupę wolną F 2 {\displaystyle F_{2}} o dwóch generatorach a {\displaystyle a} i b {\displaystyle b} działającą na sobie przez mnożenie z lewej strony. (Tak więc elementowi g F 2 {\displaystyle g\in F_{2}} odpowiada bijekcja F 2 h g h F 2 . {\displaystyle F_{2}\ni h\mapsto gh\in F_{2}.} ) Dla x { a , a 1 , b , b 1 } {\displaystyle x\in \{a,a^{-1},b,b^{-1}\}} niech S ( x ) {\displaystyle S(x)} będzie zbiorem wszystkich elementów grupy F 2 {\displaystyle F_{2}} (słów w formie nieskracalnej) które zaczynają się od x . {\displaystyle x.} Zauważmy, że
F 2 = { e } S ( a ) S ( a 1 ) S ( b ) S ( b 1 ) {\displaystyle F_{2}=\{e\}\cup S(a)\cup S(a^{-1})\cup S(b)\cup S(b^{-1})} i zbiory występujące w tej sumie są rozłączne, oraz F 2 = a S ( a 1 ) S ( a ) {\displaystyle F_{2}=aS(a^{-1})\cup S(a)} i F 2 = b S ( b 1 ) S ( b ) . {\displaystyle F_{2}=bS(b^{-1})\cup S(b).} Zatem F 2 {\displaystyle F_{2}} jest zbiorem paradoksalnym ze względu na działanie grupy F 2 . {\displaystyle F_{2}.}

Twierdzenia | edytuj kod

W poniższych stwierdzeniach zakładamy aksjomat wyboru (tzn. są to twierdzenia ZFC).

  • Przypuśćmy, że
(a) grupa G {\displaystyle G} działa na zbiorze X {\displaystyle X} w taki sposób że żadne z odwzorowań X x g ( x ) X {\displaystyle X\ni x\mapsto g(x)\in X} nie ma punktów stałych (dla g G {\displaystyle g\in G} ), (b) G {\displaystyle G} jest zbiorem paradoksalnym ze względu na działanie grupy G {\displaystyle G} (przez mnożenie z lewej strony). Wówczas zbiór X {\displaystyle X} jest paradoksalny ze względu na działanie grupy G . {\displaystyle G.}
  • Z powyższego twierdzenia wynika, że jeśli grupa wolna F 2 {\displaystyle F_{2}} działa na zbiorze X {\displaystyle X} w taki sposób, że żadne z odwzorowań X x g ( x ) X {\displaystyle X\ni x\mapsto g(x)\in X} nie ma punktów stałych (dla g F 2 {\displaystyle g\in F_{2}} ), to zbiór X {\displaystyle X} jest paradoksalny ze względu na działanie grupy F 2 . {\displaystyle F_{2}.}
  • Istnieje przeliczalny podzbiór D {\displaystyle D} sfery jednostkowej S 2 {\displaystyle S_{2}} taki, że zbiór S 2 D {\displaystyle S_{2}\setminus D} jest paradoksalny ze względu na działanie grupy obrotów S O 3 . {\displaystyle SO_{3}.}
  • Jeśli D S 2 {\displaystyle D\subseteq S_{2}} jest przeliczalny, to zbiory S 2 {\displaystyle S_{2}} i S 2 D {\displaystyle S_{2}\setminus D} kawałkami S O 3 {\displaystyle SO_{3}} -równoważne.

Bezpośrednio z dwóch powyższych twierdzeń możemy wywnioskować twierdzenie Banacha-Tarskiego:

  • Sfera jednostkowa S 2 {\displaystyle S_{2}} jest paradoksalna ze względu na działanie grupy obrotów S O 3 . {\displaystyle SO_{3}.}

Kolejne wyniki są wnioskami z powyższego twierdzenia. Niech I 3 {\displaystyle I_{3}} będzie grupą izometrii przestrzeni R 3 . {\displaystyle {\mathbb {R} }^{3}.}

  • Każda kula w R 3 {\displaystyle {\mathbb {R} }^{3}} jest paradoksalna ze względu na działanie grupy I 3 . {\displaystyle I_{3}.} Również sama przestrzeń R 3 {\displaystyle {\mathbb {R} }^{3}} jest paradoksalna ze względu na działanie tej grupy.
  • Jeśli A , B R 3 {\displaystyle A,B\subseteq {\mathbb {R} }^{3}} zbiorami ograniczonymi o niepustych wnętrzach, to zbiory A , {\displaystyle A,} B {\displaystyle B} są kawałkami I 3 {\displaystyle I_{3}} -równoważne.

Zobacz też | edytuj kod

Przypisy | edytuj kod

  1. a b Wagon, Stan: The Banach-Tarski paradox, w: „Encyclopedia of Mathematics and its Applications”, 24. Cambridge University Press, Cambridge, 1985. ​ISBN 0-521-30244-7​.
  2. Vitali, Giuseppe: Sul problema della misura dei gruppi di punti di una retta. Bologna: Gamberini e Parmeggiani, 1905.
  3. Mazurkiewicz, Stefan; Sierpiński, Wacław: Sur un ensemble superposable avec chacune de ses deux parties. „C. R. Acad. Sci. Paris”. 158 (1914), s. 618–619.
  4. Hausdorff, Felix: Bemerkung über den Inhalt von Punktmengen. „Math. Ann.” 75 (1915), s. 428–433.
  5. Banach, Stefan; Tarski, Alfred: Sur la décomposition des ensembles de points en parties respectivement congruentes, „Fundamenta Mathematicae” 6 (1924), s. 244–277. Dostępna w formacie pdf tutaj.
  6. Pawlikowski, Janusz: The Hahn-Banach theorem implies the Banach-Tarski paradox. „Fundamenta Mathematicae” 138 (1991), s. 21–22.
  7. Dougherty, Randall; Foreman, Matthew. Banach-Tarski decompositions using sets with the property of Baire. „J. Amer. Math. Soc.” 7 (1994), s. 75–124.
  8. Galileo Galilei. Discorsi e dimostrazioni matematiche, intorno à due nuove scienze, 1638.

Linki zewnętrzne | edytuj kod

Kontrola autorytatywna (twierdzenie):
Na podstawie artykułu: "Paradoks Banacha-Tarskiego" pochodzącego z Wikipedii
OryginałEdytujHistoria i autorzy