Pięciokąt


Pięciokąt w encyklopedii

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania Pięciokąt foremny

Pięciokąt (pięciobok) – wielokąt o pięciu bokach. Każdy pięciokąt ma pięć przekątnych. Szczególnym przypadkiem pięciokąta jest pięciokąt foremny.

Spis treści

Pięciokąt foremny | edytuj kod

Pięciokąt foremnywielokąt foremny o pięciu bokach. Pięciokąty foremne są ścianami takich wielościanów jak m.in. dwunastościan foremny i dwudziestościan ścięty.

Własności | edytuj kod

Kąty w pięciokącie foremnym

Pięciokąt foremny o boku długości a {\displaystyle a} ma następujące własności:

3 5 π = 108 {\displaystyle {\frac {3}{5}}\pi =108^{\circ }} 2 5 π = 72 {\displaystyle {\frac {2}{5}}\pi =72^{\circ }} P = 5 a 2 4 ctg π 5 = a 2 4 25 + 10 5 1,720 48 a 2 {\displaystyle P={\frac {5a^{2}}{4}}\operatorname {ctg} {\frac {\pi }{5}}={\frac {a^{2}}{4}}{\sqrt {25+10{\sqrt {5}}}}\approx 1{,}72048\cdot a^{2}}
  • promień okręgu opisanego na pięciokącie foremnym ma długość
R = a 50 + 10 5 10 = a 1 3 φ {\displaystyle R=a{\frac {\sqrt {50+10{\sqrt {5}}}}{10}}=a{\frac {1}{\sqrt {3-\varphi }}}} r = a 25 + 10 5 10 = φ R 2 {\displaystyle r={\frac {a{\sqrt {25+10{\sqrt {5}}}}}{10}}={\frac {\varphi R}{2}}}
  • przekątna ma długość
d = 5 + 1 2 a = φ a , {\displaystyle d={\frac {{\sqrt {5}}+1}{2}}a=\varphi a,} gdzie φ {\displaystyle \varphi } oznacza złotą liczbę

Konstruowalność | edytuj kod

Możliwość skonstruowania przy użyciu cyrkla i linijki pięciokąta foremnego wynika z twierdzenia Gaussa-Wantzela (liczba 5 jest liczbą pierwszą Fermata). Poniżej przedstawiono cztery przykładowe algorytmy; opierają się głównie na własności, że bok pięciokąta foremnego jest złotą częścią jego przekątnej.

Konstrukcja 1. | edytuj kod

Konstrukcja 1

Poniższą konstrukcję przedstawił H. W. Richmond w 1893 roku[1].

  1. Narysuj okrąg o środku S.
  2. Narysuj średnicę AB.
  3. Narysuj promień CS prostopadły do średnicy AB.
  4. Znajdź środek D odcinka CS i narysuj odcinek AD.
  5. Narysuj dwusieczną kąta ∠ADS, punkt jej przecięcia ze średnicą AB oznacz E.
  6. Narysuj prostą prostopadłą do AB przechodzącą przez E, punkt jej przecięcia z okręgiem oznacz F.
  7. Odcinek AF jest bokiem pięciokąta wpisanego w wyjściowy okrąg.

Konstrukcja 2. | edytuj kod

Konstrukcja 2

Ptolemeusz w swoim dziele Almagest[2][3] opisuje sposób znalezienia długości boku pięciokąta wpisanego w zadany okrąg.

  1. Narysuj okrąg o środku S.
  2. Narysuj średnicę okręgu i prostopadły do niej promień BS.
  3. Znajdź środek A jednego z promieni zawierających się w średnicy.
  4. Narysuj łuk o środku A i promieniu AB, punkt jego przecięcia ze średnicą oznacz C.
  5. Odcinek BC ma długość boku pięciokąta wpisanego w wyjściowy okrąg.

Konstrukcja 3. | edytuj kod

Konstrukcja 3

Metodę Ptolemeusza można rozbudować, uzyskując algorytm znalezienia wszystkich pięciu wierzchołków na okręgu.

  1. Narysuj okrąg o środku S.
  2. Narysuj prostą przechodzącą przez S i przecinającą okrąg w punktach A i B.
  3. Narysuj promień CS prostopadły do średnicy AB.
  4. Znajdź środek odcinka BS i oznacz go D.
  5. Narysuj łuk o środku D i promieniu CD, punkty jego przecięcia z prostą AB oznacz E i F.
  6. Narysuj łuk o środku C i promieniu CE, punkty jego przecięcia z okręgiem oznacz G i H.
  7. Narysuj łuk o środku C i promieniu CF, punkty jego przecięcia z okręgiem oznacz I i J.
  8. Punkty C, G, H, I, J są wierzchołkami pięciokąta foremnego.

Konstrukcja 4. | edytuj kod

Konstrukcja 4

W poniższej konstrukcji wykorzystano okrąg Carlyle’a[2].

  1. Narysuj okrąg o środku O.
  2. Przez punkt O poprowadź prostą k, punkty jej przecięcia z okręgiem oznacz Q i P.
  3. Narysuj promień OA prostopadły do średnicy QP.
  4. Znajdź środek M promienia OQ.
  5. Narysuj okrąg o środku M przechodzący przez A; punkty jego przecięcia z prostą k oznacz V i W.
  6. Zakreśl łuk o środku W i promieniu OP, punkty jego przecięcia z wyjściowym okręgiem oznacz P1 i P4.
  7. Zakreśl łuk o środku V i promieniu OP, punkty jego przecięcia z wyjściowym okręgiem oznacz P2 i P3.
  8. Punkty P, P1, P2, P3, P4 są wierzchołkami pięciokąta foremnego.

Zobacz też | edytuj kod

Przypisy | edytuj kod

  1. Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Pentagon, [w:] MathWorld [online], Wolfram Research  (ang.).
  2. a b DeTemple, D.W. Carlyle circles and Lemoine simplicity of polygon constructions.
  3. Ptolemy’s Construction for the Side of a Pentagon as a Formula.
Wielokąty
Na podstawie artykułu: "Pięciokąt" pochodzącego z Wikipedii
OryginałEdytujHistoria i autorzy