Pierścień (matematyka)


Pierścień (matematyka) w encyklopedii

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Spis treści

Pierścieństruktura formalizująca własności algebraiczne liczb całkowitych oraz arytmetyki modularnej; intuicyjnie zbiór, którego elementy mogą być bez przeszkód dodawane, odejmowane i mnożone, lecz niekoniecznie dzielone. Badanie pierścieni umożliwiło uogólnienie innych pojęć matematycznych takich, jak np. liczby pierwsze (przez ideały pierwsze), wielomiany, ułamki oraz rozwinięcie teorii podzielności i wskazania przy tym najogólniejszej struktury, w której możliwe jest stosowanie algorytmu Euklidesa (tzw. pierścień Euklidesa). Dział matematyki opisujący te struktury nazywa się teorią pierścieni.

W literaturze spotyka się rozmaite definicje pierścieni różniące się stopniem uogólnienia. W artykule tym za najogólniejszą przyjmowana jest definicja tzw. pierścienia łącznego. Wnioskom płynącym z zawężenia definicji poprzez wymaganie elementu neutralnego mnożenia bądź warunku przemienności mnożenia również poświęcono osobne artykuły: pierścień z jedynką, pierścień przemienny.

Definicja | edytuj kod

Niech ( R , + , , 0 ) {\displaystyle (R,+,\cdot ,0)} będzie algebrą, w której R {\displaystyle R} jest pewnym niepustym zbiorem, symbole + , {\displaystyle +,\cdot } oznaczają dwa działania dwuargumentowe określone w tym zbiorze, a 0 {\displaystyle 0} jest pewnym wyróżnionym elementem. Algebra ta nazwana jest pierścieniem (łącznym), jeśli:

  • struktura R + = ( R , + , 0 ) {\displaystyle R^{+}=(R,+,0)} jest grupą abelową, nazywaną grupą addytywną, z działaniem + {\displaystyle +} nazywanym dodawaniem i elementem neutralnym 0 {\displaystyle 0} nazywanym zerem: a , b , c R a + ( b + c ) = ( a + b ) + c , {\displaystyle \forall _{a,b,c\in R}\;a+(b+c)=(a+b)+c,} a R a + 0 = a , {\displaystyle \forall _{a\in R}\;a+0=a,} a R b R a + b = 0 , {\displaystyle \forall _{a\in R}\;\exists _{b\in R}\;a+b=0,} a , b R a + b = b + a ; {\displaystyle \forall _{a,b\in R}\;a+b=b+a;}
  • struktura ( R , ) {\displaystyle (R,\cdot )} jest półgrupą z działaniem {\displaystyle \cdot } nazywanym mnożeniem: a , b , c R a ( b c ) = ( a b ) c ; {\displaystyle \forall _{a,b,c\in R}\;a\cdot (b\cdot c)=(a\cdot b)\cdot c;}
  • oba działania powiązane są ze sobą prawami rozdzielności: a , b , c R a ( b + c ) = ( a b ) + ( a c ) , {\displaystyle \forall _{a,b,c\in R}\;a\cdot (b+c)=(a\cdot b)+(a\cdot c),} a , b , c R ( b + c ) a = ( b a ) + ( c a ) . {\displaystyle \forall _{a,b,c\in R}\;(b+c)\cdot a=(b\cdot a)+(c\cdot a).}

Ponieważ R + {\displaystyle R^{+}} jest grupą, to pierścień ma dokładnie jedno zero, a element odwrotny do a {\displaystyle a} względem dodawania (element b {\displaystyle b} z trzeciego aksjomatu), nazywany w tym kontekście elementem przeciwnym, jest wyznaczony jednoznacznie i oznaczany a . {\displaystyle -a.}

Warianty | edytuj kod

Na działanie mnożenia nakłada się często dodatkowe warunki regularności, precyzując nazwę nowej struktury:

  • pierścień z jedynką – istnienie elementu neutralnego mnożenia nazywanego jedynką[1]: 1 R a R a 1 = 1 a = a , {\displaystyle \exists _{1\in R}\;\forall _{a\in R}\;a\cdot 1=1\cdot a=a,}
  • pierścień przemienny – przemienność mnożenia (wówczas prawa rozdzielności stają się sobie równoważne): a , b R a b = b a . {\displaystyle \forall _{a,b\in R}\;a\cdot b=b\cdot a.}
Uwaga
W pierścieniu z jedynką struktura ( R , , 1 ) {\displaystyle (R,\cdot ,1)} jest monoidem (przemiennym, jeśli pierścień jest przemienny), wynika stąd, że pierścień może mieć co najwyżej jedną jedynkę.

W praktyce najczęściej rozpatruje się (niezerowe) pierścienie z jedynką; ich atutem jest, gdy są one dodatkowo przemienne.

Rodzaje | edytuj kod

Podstawowa definicja pierścienia, bywa rozwijana w wielu różnych kierunkach:

  • pierścień bez dzielników zera – brak właściwych dzielników zera (zob. dalej): a , b R { 0 } a b 0 {\displaystyle \forall _{a,b\in R\setminus \{0\}}\;a\cdot b\neq 0}
  • pierścień z dzieleniem – dowolny niezerowy element ma element odwrotny (zakłada się, że pierścień ma jedynkę): a R { 0 } b R a b = 1 , {\displaystyle \forall _{a\in R\setminus \{0\}}\;\exists _{b\in R}\;a\cdot b=1,}

Element odwrotny do a {\displaystyle a} (względem mnożenia; b {\displaystyle b} w powyższym aksjomacie) oznacza się zwykle symbolami a 1 {\displaystyle a^{-1}} lub 1 a . {\displaystyle {\tfrac {1}{a}}.} Zbiór R {\displaystyle R^{*}} elementów odwracalnych pierścienia tworzy grupę ze względu na mnożenie (z jedynką jako elementem neutralnym; przemienną, jeśli pierścień jest przemienny) nazywaną także grupą multiplikatywną. W pierścieniu z dzieleniem jest R = R { 0 } . {\displaystyle R^{*}=R\setminus \{0\}.}

Pierścień z jedynką bez dzielników zera nazywa się dziedziną. Ponieważ własność dzielenia pociąga za sobą brak dzielników zera[2], to każdy pierścień z dzieleniem jest pierścieniem bez dzielników zera, a więc dziedziną. Dziedziny przemienne określa się nazwą dziedzina całkowitości (także: pierścień całkowity; niekiedy nie wyróżnia się nieprzemiennych dziedzin całkowitości, wówczas często skraca się nazwę tej struktury do: dziedzina). Pierścień przemienny z dzieleniem (lub z powyższej obserwacji: dziedzinę całkowitości z dzieleniem) nazywa się ciałem.

Przykłady | edytuj kod

Do najprostszych uniwersalnych przykładów należą:

Innymi ważnymi przykładami pierścieni są:

Osobnym przykładem są pierścienie wielomianów R X {\displaystyle R[X]} jednej zmiennej X {\displaystyle X} o współczynnikach z pierścienia R . {\displaystyle R.} W R X {\displaystyle R[X]} zachowywane są następujące własności pierścienia R : {\displaystyle R{:}} przemienność, istnienie jedynki, brak dzielników zera, całkowitość (tzn. bycie dziedziną całkowitości), jednoznaczność rozkładu (twierdzenie Gaussa), noetherowskość (twierdzenie Hilberta o bazie). Jeżeli R {\displaystyle R} jest ciałem, to R X {\displaystyle R[X]} jest pierścieniem euklidesowym.

Dobrze znane struktury liczb wymiernych, liczb rzeczywistych, czy liczb zespolonych z działaniami arytmetycznymi są przykładami pierścieni, jako że wszystkie są ciałami. Z kolei liczby naturalne (z działaniami arytmetycznymi) nie tworzą pierścienia, ponieważ wraz z działaniem dodawania nie tworzą nawet grupy; oktoniony również nie są pierścieniem, ponieważ mnożenie w nich określone nie jest łączne, lecz tylko alternatywne.

Składowe | edytuj kod

Podpierścienie | edytuj kod

 Osobny artykuł: podpierścień.

Podzbiór S {\displaystyle S} pierścienia ( R , + , ) {\displaystyle (R,+,\cdot )} nazywa się podpierścieniem, jeżeli jest on zamknięty na działania pierścienia R , {\displaystyle R,} czyli sam tworzy pierścień z działaniami odziedziczonymi z R : {\displaystyle R{:}}

  • a , b S a b S , {\displaystyle \forall _{a,b\in S}\;a-b\in S,}
  • a , b S a b S . {\displaystyle \forall _{a,b\in S}\;a\cdot b\in S.}

Pierwszy warunek oznacza, że ( S , + ) {\displaystyle (S,+)} musi być grupą (przemienną), drugi gwarantuje, że wynik mnożenia elementów z S {\displaystyle S} będzie zawierał się w tym samym zbiorze (tzn. mnożenie jest tam poprawnie określonym działaniem wewnętrznym).

Ideały | edytuj kod

 Osobny artykuł: ideał (teoria pierścieni).

Podgrupę I {\displaystyle I} grupy addytywnej pierścienia R {\displaystyle R} nazywa się ideałem lewostronnym, jeżeli dla dowolnych dwóch elementów i I {\displaystyle i\in I} oraz r R {\displaystyle r\in R} spełniony jest warunek

r i I . {\displaystyle r\cdot i\in I.}

Jeżeli I {\displaystyle I} spełnia w zamian warunek

i r I , {\displaystyle i\cdot r\in I,}

to nazywa się ją ideałem prawostronnym. Ideał będący zarazem lewo- jak i prawostronny nazywa się krótko ideałem; pojęcia te pokrywają się w pierścieniach przemiennych. Każdy ideał jest podpierścieniem.

W dowolnym nietrywialnym pierścieniu R {\displaystyle R} istnieją co najmniej dwa różne ideały: cały pierścień R {\displaystyle R} i podpierścień trywialny { 0 } , {\displaystyle \{0\},} nazywa się je ideałami trywialnymi lub niewłaściwymi, wszystkie pozostałe nazywa się ideałami właściwymi.

Ze względu na inne własności wyróżnia się m.in. następujące rodzaje ideałów pierścienia R : {\displaystyle R{:}}

  • ideał główny – generowany przez jeden element pierścienia,
  • ideał maksymalny – zawarty wyłącznie w ideale niewłaściwym R , {\displaystyle R,}
  • ideał pierwszy – taki, że jeśli dany element ideału jest iloczynem dwóch innych, to przynajmniej jeden z nich również należy do ideału.

Elementy wyróżnione | edytuj kod

Element a {\displaystyle a} pierścienia R {\displaystyle R} nazywa się

  • dzielnikiem zera, gdy istnieje taki niezerowy element b R , {\displaystyle b\in R,} że a b = 0. {\displaystyle a\cdot b=0.}
  • idempotentnym, gdy a a = a . {\displaystyle a\cdot a=a.}
  • nilpotentnym, gdy istnieje n N , {\displaystyle n\in \mathbb {N} ,} dla którego a n = 0. {\displaystyle a^{n}=0.}

W pierścieniu skończonym (mającym skończenie wiele elementów) każdy element jest odwracalny albo jest dzielnikiem zera.

Homomorfizmy | edytuj kod

 Zobacz też: homomorfizm pierścienicharakterystyka (algebra).

Przekształcenie f : R 1 R 2 {\displaystyle f:R_{1}\to R_{2}} między dwoma pierścieniami zachowujące ich działania, tzn. dla dowolnych elementów a , b R 1 {\displaystyle a,b\in R_{1}} spełnione są warunki:

  • f ( a + b ) = f ( a ) + f ( b ) , {\displaystyle f(a+b)=f(a)+f(b),}
  • f ( a b ) = f ( a ) f ( b ) , {\displaystyle f(a\cdot b)=f(a)\cdot f(b),}

nazywa się homomorfizmem pierścieni. Inaczej: jest to homomorfizm grup addytywnych, a przy tym homomorfizm półgrup multiplikatywnych tych pierścieni.

Przekształcenie f : R 1 R 2 {\displaystyle f:R_{1}\to R_{2}} między dwoma pierścieniami z jedynką zachowujące ich działania i jedynkę, tzn. dla dowolnych elementów a , b R 1 {\displaystyle a,b\in R_{1}} spełnione są warunki:

  • f ( a + b ) = f ( a ) + f ( b ) , {\displaystyle f(a+b)=f(a)+f(b),}
  • f ( a b ) = f ( a ) f ( b ) , {\displaystyle f(a\cdot b)=f(a)\cdot f(b),}
  • f ( 1 R 1 ) = 1 R 2 , {\displaystyle f(1_{R_{1}})=1_{R_{2}},}

nazywa się homomorfizmem pierścieni z jedynką. Inaczej: jest to homomorfizm grup addytywnych, a przy tym homomorfizm monoidów multiplikatywnych.

Pierścień ilorazowy | edytuj kod

 Osobny artykuł: pierścień ilorazowy.

W dowolnym pierścieniu ( R , + , ) {\displaystyle (R,+,\cdot )} grupa ilorazowa R / I , {\displaystyle R/I,} gdzie I R {\displaystyle I\subseteq R} jest dowolnym ideałem (dwustronnym), jest pierścieniem z dobrze określonymi działaniami dodawania i mnożenia na warstwach:

  • ( a + I ) + ( b + I ) = ( a + b ) + I , {\displaystyle (a+I)+(b+I)=(a+b)+I,}
  • ( a + I ) ( b + I ) = ( a b ) + I . {\displaystyle (a+I)\cdot (b+I)=(a\cdot b)+I.}

Pierścień ten nazywa się pierścieniem ilorazowym pierścienia R {\displaystyle R} przez ideał I {\displaystyle I} i również oznacza się symbolem R / I . {\displaystyle R/I.}

Dodawanie jest dobrze określone z definicji grupy ilorazowej. Wystarczy więc dowieść, że iloczyn warstw nie zależy od wyboru reprezentanta mnożonych warstw. Niech dane będą dwie warstwy, każda z nich reprezentowana przez dwa różne elementy: a + I = a + I {\displaystyle a+I=a'+I} oraz b + I = b + I . {\displaystyle b+I=b'+I.} Równość

( a b ) + I = ( a + I ) ( b + I ) = ( a + I ) ( b + I ) = ( a b ) + I {\displaystyle (a\cdot b)+I=(a+I)\cdot (b+I)=(a'+I)\cdot (b'+I)=(a'\cdot b')+I}

dowodzi, że zmiana reprezentantów nie wpływa na wynik mnożenia, gdyż otrzymuje się tę samą, choć reprezentowaną przez inny element, warstwę.

Uogólnienia i przypadki szczególne | edytuj kod

Wyróżnia się wiele rodzajów pierścieni, na które nakłada się dodatkowe warunki:

Zobacz też | edytuj kod

Przypisy | edytuj kod

  1. Niekiedy wymaga się, aby był on różny od elementu neutralnego dodawania, wykluczając przy tym przypadek pierścienia zerowego, przybliżając definicję pierścienia do określenia ciała.
  2. Z aksjomatu istnienia elementu odwrotnego wynika, że dla każdego a 0 {\displaystyle a\neq 0} istnieje element odwrotny a 1 . {\displaystyle a^{-1}.} Gdyby pierścień miał dzielniki zera, to istniałyby takie a , b 0 , {\displaystyle a,b\neq 0,} że a b = 0. {\displaystyle ab=0.} Lewostronne mnożenie stronami przez a 1 {\displaystyle a^{-1}} daje a 1 a b = 0 ; {\displaystyle a^{-1}ab=0;} z istnienia elementu neutralnego mnożenia otrzymuje się sprzeczność z założeniem b = 0. {\displaystyle b=0.}

Bibliografia | edytuj kod

  • Andrzej Białynicki-Birula, Algebra.
  • Jerzy Browkin, Teoria ciał.
Na podstawie artykułu: "Pierścień (matematyka)" pochodzącego z Wikipedii
OryginałEdytujHistoria i autorzy