Pierścień ilorazowy


Pierścień ilorazowy w encyklopedii

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Pierścień ilorazowy to pojęcie teorii pierścieni analogiczne do pojęcia grupy ilorazowej w teorii grup.

Niech Q {\displaystyle Q} będzie ideałem pierścienia S {\displaystyle S} . Relacja R Q S × S {\displaystyle \mathrm {R} _{Q}\subset S\times S} określona: a R Q b a b Q {\displaystyle a\mathrm {R} _{Q}b\iff a-b\in Q} jest relacją równoważności zgodną z działaniami w pierścieniu S {\displaystyle S} . Zbiór ilorazowy S / R Q {\displaystyle S/\mathrm {R} _{Q}} z określonymi w nim działaniami:

  • a + b = a + b {\displaystyle [a]+[b]=[a+b]}
  • a b = a b {\displaystyle [a][b]=[ab]}

jest pierścieniem. Pierścień ten oznaczamy przez S / Q {\displaystyle S/Q} i nazywamy pierścieniem ilorazowym pierścienia S {\displaystyle S} przez ideał Q {\displaystyle Q} .

Można wykazać, że dowolna relacja R S × S {\displaystyle \mathrm {R} \subset S\times S} jest relacją równoważności zgodną z działaniami w pierścieniu S {\displaystyle S} wtedy i tylko wtedy, gdy jest identyczna z wyżej określoną relacją R Q {\displaystyle \mathrm {R} _{Q}} dla pewnego ideału Q {\displaystyle Q} .

Własności | edytuj kod

Niech S będzie dowolnym pierścieniem, zaś Q dowolnym jego ideałem.

Na podstawie artykułu: "Pierścień ilorazowy" pochodzącego z Wikipedii
OryginałEdytujHistoria i autorzy