Pierścień lokalny


Pierścień lokalny w encyklopedii

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Pierścień lokalnypierścień przemienny, który ma dokładnie jeden ideał maksymalny[1][2]. Niektórzy autorzy pierścień przemienny o jedynym ideale maksymalnym nazywają quasi-lokalnym, rezerwując termin pierścień lokalny dla pierścieni quasi-lokalnych i noetherowskich[3].

Spis treści

Własności | edytuj kod

  • Pierścień przemienny jest pierścieniem lokalnym wtedy i tylko wtedy, gdy suma jego każdych dwóch elementów nieodwracalnych jest elementem nieodwracalnym[4].
  • Pierścień R {\displaystyle R} jest lokalny i m {\displaystyle {\mathfrak {m}}} jest jedynym ideałem maksymalnym pierścienia R {\displaystyle R} wtedy i tylko wtedy, gdy każdy element zbioru R m {\displaystyle R\setminus {\mathfrak {m}}} jest odwracalny[5].
  • Jeżeli R {\displaystyle R} jest pierścieniem lokalnym i noetherowskim o ideale maksymalnym m , {\displaystyle {\mathfrak {m}},} to
n = 0 m n = { 0 } . {\displaystyle \bigcap _{n=0}^{\infty }{\mathfrak {m}}^{n}=\{0\}.} Jest to szczególny przypadek twierdzenia Krulla o przekroju[6]. Założenia, że R {\displaystyle R} jest pierścieniem noetherowskim nie można pominąć.

Przykłady | edytuj kod

  • Każde ciało jest pierścieniem lokalnym (jego jedynym ideałem maksymalnym jest { 0 } {\displaystyle \{0\}} ).
  • Pierścień szeregów formalnych o skończonej liczbie zmiennych i o współczynnikach z ciała jest pierścieniem lokalnym.
  • Pierścień lokalny kiełków rzeczywistych funkcji ciągłych. Niech X {\displaystyle X} będzie przestrzenią topologiczną oraz p X . {\displaystyle p\in X.} Rozpatrzmy zbiór par ( V , f ) , {\displaystyle (V,f),} gdzie V {\displaystyle V} jest otoczeniem punktu p {\displaystyle p} i f : V R {\displaystyle f\colon V\to \mathbb {R} } jest funkcją ciągłą. Określmy relację ( V 1 , f 1 ) ( V 2 , f 2 ) f 1 | U = f 2 | U {\displaystyle (V_{1},f_{1})\sim (V_{2},f_{2})\iff f_{1}|_{U}=f_{2}|_{U}} dla pewnego otoczenia U {\displaystyle U} punktu p . {\displaystyle p.} Relacja ta jest relacją równoważności. Klasę abstrakcji zawierającą parę ( V , f ) {\displaystyle (V,f)} oznaczmy V , f . {\displaystyle [V,f].} W zbiorze klas abstrakcji możemy wyróżnić X , 0 {\displaystyle [X,0]} jako element zerowy i X , 1 {\displaystyle [X,1]} jako jedynkę oraz odpowiednio zdefiniować działania dodawania i mnożenia. Pierścień ten nazywamy pierścieniem lokalnym kiełków rzeczywistych funkcji ciągłych w punkcie p {\displaystyle p} przestrzeni topologicznej X {\displaystyle X} i oznaczamy przez O X , p . {\displaystyle {\mathcal {O}}_{X,p}.} Pierścień ten jest lokalny, gdyż jego jedynym ideałem maksymalnym jest ideał m X , p {\displaystyle {\mathfrak {m}}_{X,p}} złożony z wszystkich klas abstrakcji V , f , {\displaystyle [V,f],} że f ( p ) = 0. {\displaystyle f(p)=0.} Podobnie określa się pierścienie kiełków zespolonych funkcji ciągłych, różniczkowalnych (rzeczywistych bądź zespolonych) funkcji ustalonej klasy C r {\displaystyle C^{r}} w punkcie p {\displaystyle p} rozmaitości różniczkowej X , {\displaystyle X,} a także pierścień kiełków funkcji regularnych w punkcie rozmaitości algebraicznej.
  • Lokalizacja względem ideału pierwszego. Dla dowolnego pierścienia przemiennego R {\displaystyle R} i jego ideału pierwszego P {\displaystyle P} pierścień złożony z elementów postaci a b , {\displaystyle {\frac {a}{b}},} gdzie a R , b R P {\displaystyle a\in R,b\in R\setminus P} jest pierścieniem lokalnym. Jego ideał maksymalny jest złożony z elementów a b , {\displaystyle {\frac {a}{b}},} dla których a P . {\displaystyle a\in P.}
  • Dla nierozkładalnego podzbioru W {\displaystyle W} zbioru algebraicznego V {\displaystyle V} pierścień wszystkich funkcji wymiernych, które są określone na otwartych podzbiorach W {\displaystyle W} jest pierścieniem lokalnym, którego ideałem maksymalnym jest zbiór funkcji wymiernych równych 0 na W . {\displaystyle W.} Dla zbiorów afinicznych jest to lokalizacja pierścienia wielomianów względem ideału radykalnego odpowiadającego podzbiorowi.

Uogólnienie na pierścienie nieprzemienne | edytuj kod

Pojęcie pierścienia lokalnego ma dwa (nierównoważne) uogólnienia w klasie pierścieni nieprzemiennych. I tak pierścień (być może nieprzemienny) P {\displaystyle P} nazywany jest

Ponadto, dla dowolnego pierścienia P {\displaystyle P} następujące warunki są równoważne:

  1. P {\displaystyle P} jest pierścieniem lokalnym;
  2. P {\displaystyle P} ma dokładnie jeden ideał lewostronny;
  3. P {\displaystyle P} ma dokładnie jeden ideał prawostronny;
  4. zbiór wszystkich elementów nieodwracalnych w P {\displaystyle P} jest ideałem;
  5. dla każdej liczby naturalnej n {\displaystyle n} i a 1 , , a n P , {\displaystyle a_{1},\dots ,a_{n}\in P,} o ile tylko element a 1 + + a n {\displaystyle a_{1}+\dots +a_{n}} jest odwracalny, to istnieje takie i n , {\displaystyle i\leqslant n,} że a i {\displaystyle a_{i}} jest odwracalny.

Pierścienie lokalne mają dokładnie jeden ideał maksymalny oraz nie mają elementów idempotentnych innych niż 0 i 1. Przykładem nieprzemiennego pierścienia lokalnego jest pierścień macierzy górnotrójkątnych ustalonego stopnia nad pierścieniem z dzieleniem, których wyrazy na głównej przekątnej są sobie równe.

Przypisy | edytuj kod

  1. Atiyah i MacDonald 1994 ↓, s. 4.
  2. Rutkowski 2006 ↓, s. 183, Definicja 132.
  3. Balcerzyk i Józefiak 1985 ↓, s. 33, 50.
  4. Rutkowski 2006 ↓, s. 183, zad. 721.
  5. Balcerzyk i Józefiak 1985 ↓, s. 33.
  6. Balcerzyk i Józefiak 1985 ↓, s. 74.

Bibliografia | edytuj kod

  • M.F. Atiyah, I.G. MacDonald: Introduction to commutative algebra. Westview Press, 1994, s. 4. ISBN 0-201-40751-5.
  • Andrzej Białynicki-Birula: Zarys algebry. Warszawa: PWN, 1997, s. 142–144.
  • Stanisław Balcerzyk: Wstęp do algebry homologicznej. Warszawa: PWN, 1972, s. 284.
  • Stanisław Balcerzyk, Tadeusz Józefiak: Pierścienie przemienne. PWN, 1985, s. 33, 50. ISBN 83-01-04874-3.
  • Tsit Yuen Lam: A first course in noncommutative rings. Wyd. Second edition. New York: Springer-Verlag, 2001, s. 284, seria: Graduate Texts in Mathematics, 131. ISBN 0-387-95183-0.
  • Jerzy Rutkowski: Algebra abstrakcyjna w zadaniach. Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN, 2006, s. 183. ISBN 978-83-01-14388-6.
Na podstawie artykułu: "Pierścień lokalny" pochodzącego z Wikipedii
OryginałEdytujHistoria i autorzy