Pierścień przemienny


Pierścień przemienny w encyklopedii

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Pierścień przemienny (lub komutatywny) – pierścień R , {\displaystyle R,} w którym mnożenie jest przemienne, czyli dla dowolnych elementów a , b R {\displaystyle a,b\in R} zachodzi a b = b a . {\displaystyle a\cdot b=b\cdot a.}

Badaniem pierścieni przemiennych zajmuje się algebra przemienna. Często zakłada się dodatkowo istnienie w takim pierścieniu jedynki (elementu neutralnego mnożenia)[1].

Przykłady | edytuj kod

  • Najważniejszym przykładem pierścienia przemiennego (z jedynką) jest pierścień liczb całkowitych wraz z naturalnymi działaniami dodawania i mnożenia, który oznacza się literą Z {\displaystyle \mathbb {Z} } (od niem. Zahlen, liczby).
  • Dowolne ciało, jak np. ciała liczb wymiernych, rzeczywistych i zespolonych, jest pierścieniem przemiennym.
  • Jednym z prostszych przykładów pierścienia, który nie jest przemienny, jest zbiór wszystkich rzeczywistych macierzy kwadratowych stopnia 2 , {\displaystyle 2,} z działaniami dodawania i mnożenia macierzy, gdyż na przykład:
1 1 0 1 1 1 1 0 = 2 1 1 0 1 2 1 1 = 1 1 1 0 1 1 0 1 . {\displaystyle {\begin{bmatrix}1&1\\0&1\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}1&1\\1&0\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}2&1\\1&0\end{bmatrix}}\neq {\begin{bmatrix}1&2\\1&1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&1\\1&0\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}1&1\\0&1\end{bmatrix}}.}
  • Pierścienie klas reszt modulo n {\displaystyle n} są przemienne dla dowolnego n N . {\displaystyle n\in \mathbb {N} .}
  • Jeżeli R {\displaystyle R} jest pierścieniem przemiennym, to zbiór wszystkich wielomianów zmiennej X {\displaystyle X} o współczynnikach z R {\displaystyle R} wraz z naturalnymi działaniami dodawania i mnożenia wielomianów tworzy pierścień przemienny R X {\displaystyle R[X]} nazywany pierścieniem wielomianów.
  • Zbiór wszystkich liczb postaci a + b 5 , {\displaystyle a+b{\sqrt {5}},} gdzie a {\displaystyle a} i b {\displaystyle b} są dowolnymi liczbami całkowitymi.
  • Twierdzenie Wedderburna[2]: Każdy skończony pierścień z dzieleniem, tj. taki w którym każdy niezerowy element jest odwracalny, jest ciałem (tzn. działanie mnożenia jest przemienne).

Przypisy | edytuj kod

  1. Atiyah M.F., Macdonald I.G.: Introduction to commutative algebra. Addison-Wesley, 1969.
  2. J.H.M. Wedderburn. A theorem on finite algebras. „Trans. Amer. Math. Soc.”. 6, s. 349–352, 1905. Amer. math. Soc.. 
Kontrola autorytatywna (pierścień):
Na podstawie artykułu: "Pierścień przemienny" pochodzącego z Wikipedii
OryginałEdytujHistoria i autorzy