Pierścień topologiczny


Pierścień topologiczny w encyklopedii

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Pierścień topologicznypierścień R {\displaystyle R} w którym określona jest topologia o tej własności, że

dodawanie ( x , y ) x + y {\displaystyle (x,y)\mapsto x+y} jest ciągłe jako funkcja R × R R , {\displaystyle R\times R\to R,} mnożenie ( x , y ) x y {\displaystyle (x,y)\mapsto x\cdot y} jest ciągłe jako funkcja R × R R , {\displaystyle R\times R\to R,} działanie x x {\displaystyle x\mapsto -x} jest ciągłe jako funkcja R R . {\displaystyle R\to R.}

Z definicji pierścienia topologicznego wynika, że grupa addytywna pierścienia ( R , + ) {\displaystyle (R,+)} jest grupą topologiczną. Jeżeli pierścień topologiczny jest ciałem oraz

działanie x x 1 {\displaystyle x\mapsto x^{-1}} jest ciągłe jako funkcja R × R × , {\displaystyle R^{\times }\to R^{\times },}

gdzie R × = R { 0 } {\displaystyle R^{\times }=R\setminus \{0\}} jest zbiorem elementów odwracalnych, to używa się w odniesieniu do niego nazwy ciało topologiczne.

Przykłady | edytuj kod

Naturalnymi przykładami pierścieni topologicznych są pierścienie (ciała) liczb rzeczywistych, zespolonych czy p-adycznych (z topologiami wprowadzonymi przez ich naturalne metryki). Pierścienie topologiczne pojawiają się w naturalny sposób w analizie. Do klasycznych przykładów można zaliczyć:

  • pierścień wszystkich rzeczywistych (bądź zespolonych) funkcji ograniczonych określonych na pewnym zbiorze X {\displaystyle X} (z działaniami określonymi punktowo),
  • pierścień C 0 ( X ) {\displaystyle C_{0}(X)} wszystkich rzeczywistych funkcji ciągłych znikających w nieskończoności, określonych na przestrzeni lokalnie zwartej X {\displaystyle X} z topologią zbieżności niemal jednostajnej,
  • pierścień wszystkich funkcji analitycznych określonych na pewnym obszarze płaszczyzny zespolonej z topologią zbieżności niemal jednostajnej.

W szczególności, każda algebra topologiczna (a więc każda algebra Banacha) jest pierścieniem topologicznym.

Własności | edytuj kod

  • Produkt dowolnej rodziny pierścieni topologicznych jest pierścieniem topologicznym (z topologią Tichonowa). Ogólniej: Niech { R i : i I } {\displaystyle \{R_{i}\colon i\in I\}} będzie rodziną pierścieni topologicznych oraz niech R {\displaystyle R} będzie dowolnym pierścieniem. Jeżeli { f i : i I } {\displaystyle \{f_{i}\colon i\in I\}} jest taką rodziną funkcji, że dla każdego i {\displaystyle i} funkcja f i {\displaystyle f_{i}} jest homomorfizmem R i R , {\displaystyle R_{i}\to R,} to pierścień R {\displaystyle R} wyposażony w topologię wprowadzoną przez rodzinę przekształceń { f i : i I } {\displaystyle \{f_{i}\colon i\in I\}} jest pierścieniem topologicznym.
  • Składowa spójności C {\displaystyle C} zera pierścienia topologicznego R {\displaystyle R} jest domkniętym ideałem w R {\displaystyle R} oraz zbiór x + C {\displaystyle x+C} jest składową spójności elementu x {\displaystyle x} tego pierścienia. Wynika z powyższego, że topologia pierścienia topologicznego, który nie ma właściwych domkniętych ideałów jest albo Hausdorffa i spójna albo Hausdorffa i totalnie niespójna albo antydyskretna. W szczególności, własność tę mają topologie pierścieni topologicznych z dzieleniem.
  • W lokalnie zwartym i totalnie niespójnym pierścieniu topologicznym wszystkie zwarte i otwarte podpierścienie tworzą układ fundamentalny otoczeń zera.

Bibliografia | edytuj kod

Na podstawie artykułu: "Pierścień topologiczny" pochodzącego z Wikipedii
OryginałEdytujHistoria i autorzy