Pierścień wielomianów


Pierścień wielomianów w encyklopedii

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Spis treści

Pierścień wielomianówpierścień określony na zbiorze wielomianów jednej lub więcej zmiennych o współczynnikach z ustalonego pierścienia. Pierścienie wielomianów stanowiły inspirację do rozwoju wielu działów matematyki, począwszy od twierdzenia Hilberta o bazie, przez konstrukcję ciał rozdzielczych, po rozumienie operatora liniowego. Wiele ważnych hipotez, takich jak hipoteza Serre'a, wpłynęło na badania nad innymi rodzajami pierścieni, a nawet było źródłem nowych definicji pierścieni, takich jak pierścienie grupowe, czy pierścienie szeregów formalnych.

Wielomiany jednej zmiennej | edytuj kod

Wielomiany | edytuj kod

Wprowadzenie do wielomianów jednej zmiennej można znaleźć w artykule o wielomianach.

Niech dany będzie dowolny pierścień z jedynką R {\displaystyle R} oraz symbol X {\displaystyle X} nazywany zmienną oraz jego potęgi, czyli symbole postaci X k , {\displaystyle X^{k},} gdzie k {\displaystyle k} jest nieujemną liczbą całkowitą. Wielomianem zmiennej X {\displaystyle X} nad R {\displaystyle R} nazywa się wyrażenie postaci

p = k = 0 n a k X k , {\displaystyle \mathrm {p} =\sum _{k=0}^{n}a_{k}X^{k},}

gdzie elementy a k R {\displaystyle a_{k}\in R} nazywa się współczynnikami tego wielomianu.

Przyjmując zwyczajowo X 1 = X {\displaystyle X^{1}=X} oraz X 0 = 1 {\displaystyle X^{0}=1} powyższe można zapisać jako kombinację liniową

p = a n X n + a n 1 X n 1 + + a 1 X + a 0 . {\displaystyle \mathrm {p} =a_{n}X^{n}+a_{n-1}X^{n-1}+\dots +a_{1}X+a_{0}.}

Wyrażenia postaci a k X k {\displaystyle a_{k}X^{k}} nazywa się wyrazami, wyraz a 0 {\displaystyle a_{0}} często określa się mianem wyrazu wolnego. Dowolny wyraz a k X k {\displaystyle a_{k}X^{k}} o zerowym współczynniku, a k = 0 , {\displaystyle a_{k}=0,} zwykle się pomija.

Dwa wielomiany uważa się za równe wtedy i tylko wtedy, gdy odpowiadające sobie współczynniki przy każdej potędze X {\displaystyle X} są sobie równe. Stopniem wielomianu nazywa się największe takie k , {\displaystyle k,} dla którego współczynnik przy X k {\displaystyle X^{k}} jest niezerowy. W przypadku wielomianu zerowego stopień jest niezdefiniowany lub, z racji pożądanych własności algebraicznych tego symbolu, przyjmuje się oznaczenie . {\displaystyle -\infty .}

Pierścień wielomianów | edytuj kod

Sumy powyższej postaci można dodawać i mnożyć zgodnie ze zwykłymi regułami operowania na wyrażeniach algebraicznych takich jak łączność, przemienność (w odpowiednim przypadku), rozdzielność i łączenie wyrazów podobnych z zachowaniem tożsamości X k X l = X k + l {\displaystyle X^{k}X^{l}=X^{k+l}} dla dowolnych nieujemnych liczb całkowitych k , l . {\displaystyle k,l.} Działania dodawania i mnożenia dane explicite odpowiednio wzorami[1]

( i = 0 n a i X i ) + ( i = 0 n b i X i ) = i = 0 n ( a i + b i ) X i {\displaystyle \left(\sum _{i=0}^{n}a_{i}X^{i}\right)+\left(\sum _{i=0}^{n}b_{i}X^{i}\right)=\sum _{i=0}^{n}(a_{i}+b_{i})X^{i}}

oraz

( i = 0 n a i X i ) ( j = 0 m b j X j ) = k = 0 m + n ( i + j = k a i b j ) X k . {\displaystyle \left(\sum _{i=0}^{n}a_{i}X^{i}\right)\cdot \left(\sum _{j=0}^{m}b_{j}X^{j}\right)=\sum _{k=0}^{m+n}\left(\sum _{i+j=k}a_{i}b_{j}\right)X^{k}.}

Ponieważ tylko skończenie wiele współczynników a i {\displaystyle a_{i}} oraz b j {\displaystyle b_{j}} jest niezerowych, to wszystkie sumy mają skończenie wiele wyrazów, przez co reprezentują one wielomiany z R X , {\displaystyle R[X],} co oznacza, że powyższe działania są poprawnie określone.

Zbiór wszystkich wielomianów zmiennej X {\displaystyle X} o współczynnikach z pierścienia R {\displaystyle R} tworzy wraz z wyżej zdefiniowanymi działaniami pierścień przemienny oznaczany symbolem R X {\displaystyle R[X]} nazywany pierścieniem wielomianów zmiennej X {\displaystyle X} nad pierścieniem R . {\displaystyle R.} Terminologia ma swoje źródło w ważnych przypadkach wielomianów o współczynnikach rzeczywistych czy zespolonych, które mogą być postrzegane jako rzeczywiste bądź zespolone funkcje wielomianowe. W ogólności jednak znak X {\displaystyle X} oraz jego potęgi X k {\displaystyle X^{k}} traktuje się jako symbole formalne spoza pierścienia R . {\displaystyle R.} O pierścieniu R X {\displaystyle R[X]} można myśleć jako o pierścieniu powstałym z R {\displaystyle R} przez dodanie do niego nowego, zewnętrznego w stosunku do tego pierścienia, elementu X {\displaystyle X} oraz wszystkich jego potęg, co gwarantuje, że R X {\displaystyle R[X]} będzie tworzyć pierścień; prowadzi to wprost do definicji wielomianów jako kombinacji liniowych potęg X {\displaystyle X} o współczynnikach z R . {\displaystyle R.}

Konstrukcja | edytuj kod

Powyższe spojrzenie wyrosło na bazie klasycznej postaci wielomianów. Formalnie wielomian o współczynnikach z pierścienia R {\displaystyle R} definiuje się jako nieskończony ciąg jego elementów, w którym tylko skończenie wiele wyrazów jest różnych od zera.

Dla ciągów

p = ( a 0 , a 1 , a 2 , , a n , 0 , 0 , ) {\displaystyle \mathrm {p} =(a_{0},a_{1},a_{2},\dots ,a_{n},0,0,\dots )}

oraz

q = ( b 0 , b 1 , b 2 , , b m , 0 , 0 , ) {\displaystyle \mathrm {q} =(b_{0},b_{1},b_{2},\dots ,b_{m},0,0,\dots )}

można określić działanie dodawania po składowych, mnożenie dane jest zaś za pomocą splotu, odpowiednio:

p + q = ( a 0 + b 0 , a 1 + b 1 , a 2 + b 2 , ) , {\displaystyle \mathrm {p} +\mathrm {q} =(a_{0}+b_{0},a_{1}+b_{1},a_{2}+b_{2},\dots ),} p q = ( a 0 b 0 , a 0 b 1 + a 1 b 0 , a 2 b 0 + a 1 b 1 + a 0 b 2 , ) {\displaystyle \mathrm {p} \cdot \mathrm {q} =(a_{0}b_{0},a_{0}b_{1}+a_{1}b_{0},a_{2}b_{0}+a_{1}b_{1}+a_{0}b_{2},\dots )}

co czyni ze zbioru R X {\displaystyle R[X]} wszystkich wielomianów jednej zmiennej nad R {\displaystyle R} pierścień z jedynką nazywany pierścieniem wielomianów.

Wzajemnie jednoznaczna odpowiedniość ciągów z wyrażeniami formalnymi wynika z utożsamień

( 0 , 0 , 0 , 0 , ) = 0 , {\displaystyle (0,0,0,0,\dots )=\mathrm {0} ,} ( 1 , 0 , 0 , 0 , ) = X 0 = 1 , {\displaystyle (1,0,0,0,\dots )=X^{0}=\mathrm {1} ,} ( 0 , 1 , 0 , 0 , ) = X 1 = X , {\displaystyle (0,1,0,0,\dots )=X^{1}=X,} ( 0 , 0 , 1 , 0 , ) = X 2 {\displaystyle (0,0,1,0,\dots )=X^{2}} itd.,

przy czym dwa pierwsze elementy są elementami neutralnymi odpowiednio dodawania i mnożenia.

Własności | edytuj kod

Funkcja wielomianowa | edytuj kod

Wartością wielomianu

p = a n X n + a n 1 X n 1 + + a 1 X + a 0 R X {\displaystyle \mathrm {p} =a_{n}X^{n}+a_{n-1}X^{n-1}+\dots +a_{1}X+a_{0}\in R[X]}

w punkcie r R {\displaystyle r\in R} nazywa się element

p ( r ) = a n r n + a n 1 r n 1 + + a 1 r + a 0 R . {\displaystyle \mathrm {p} (r)=a_{n}r^{n}+a_{n-1}r^{n-1}+\dots +a_{1}r+a_{0}\in R.}

Przyporządkowanie p r {\displaystyle p_{r}} dane wzorem p p ( r ) {\displaystyle \mathrm {p} \mapsto \mathrm {p} (r)} nazywa się ewaluacją wielomianu p {\displaystyle \mathrm {p} } w punkcie r . {\displaystyle r.} Pierwiastkami wielomianu p {\displaystyle \mathrm {p} } nazywa się wszystkie te elementy r , {\displaystyle r,} dla których wartość wielomianu jest równa zeru.

Funkcją wielomianową nazywa się przekształcenie p : R R {\displaystyle p\colon R\to R} dane wzorem r p ( r ) , {\displaystyle r\mapsto \mathrm {p} (r),} które przyporządkowuje każdemu elementowi pierścienia R {\displaystyle R} jego wartość, co można zapisać wzorem

p ( x ) = a n x n + a n 1 x n 1 + + a 1 x + a 0 , {\displaystyle p(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\dots +a_{1}x+a_{0},}

gdzie x R . {\displaystyle x\in R.}

Przekształcenie przyporządkowujące każdemu wielomianowi p {\displaystyle \mathrm {p} } jego funkcję wielomianową p {\displaystyle p} oraz przekształcenie p r {\displaystyle p_{r}} homomorfizmami pierścieni. Jądro homomorfizmu p r {\displaystyle p_{r}} stanowią wielomiany, dla których r {\displaystyle r} jest pierwiastkiem (z twierdzenia Bézouta – podzielne przez X r {\displaystyle X-r} ).

W analizie matematycznej pojęć wielomianu i funkcji wielomianowej używa zamiennie. Jednak w algebrze zwykle jest to niedopuszczalne, gdyż różnym wielomianom mogą odpowiadać te same funkcje wielomianowe, np. w pierścieniu Z2 funkcje x 2 {\displaystyle x^{2}} i x {\displaystyle x} są identyczne, gdyż 0 2 = 0 {\displaystyle 0^{2}=0} oraz 1 2 = 1. {\displaystyle 1^{2}=1.} W pierścieniu nieskończonym bez dzielników zera każda funkcja wielomianowa wyznacza jednoznacznie wielomian.

Pochodna wielomianu | edytuj kod

 Osobny artykuł: pochodna wielomianu.

Pochodną wielomianu określa się wzorem

( k = 0 n a k X k ) = k = 1 n k a k X k 1 . {\displaystyle \left(\sum _{k=0}^{n}a_{k}X^{k}\right)'=\sum _{k=1}^{n}ka_{k}X^{k-1}.}

W szczególności pochodną wielomianu stałego jest wielomian zerowy.

Definicja ta nie zależy od analitycznych własności pierścienia R , {\displaystyle R,} tj. różniczkowanie wielomianów może być określone np. w pierścieniu klas reszt modulo n, gdzie branie granicy nie ma sensu. Tak określona pochodna ma następujące własności:

( f + g ) = f + g , {\displaystyle (f+g)'=f'+g',} ( f g ) = f g + f g . {\displaystyle (f\cdot g)'=f'\cdot g+f\cdot g'.}

Za pomocą indukcji matematycznej można określić k {\displaystyle k} -tą pochodną wielomianu:

{ f ( 0 ) = f , f ( k ) = ( f ( k 1 ) ) . {\displaystyle {\begin{cases}f^{(0)}&=f,\\f^{(k)}&=(f^{(k-1)})'.\end{cases}}}

Teoria podzielności | edytuj kod

Wielomian f R X {\displaystyle f\in R[X]} nazywa się wielomianem nierozkładalnym w R X , {\displaystyle R[X],} gdy nie można przedstawić go w postaci iloczynu wielomianów dodatniego stopnia.

Kryterium Eisensteina pozwala udowodnić nierozkładalność wielomianu o współczynnikach z pierścienia z jednoznacznością rozkładu.

Uogólnienia | edytuj kod

Określone powyżej pojęcie wielomianu można uogólnić:

  • na funkcje wymierne – ciało ułamków pierścienia całkowitego R X {\displaystyle R[X]} oznacza się przez R ( X ) {\displaystyle R(X)} i nazywa ciałem funkcji wymiernych;
  • na większą liczbę zmiennych (patrz niżej);
  • usuwając założenie o skończoności liczby wyrazów; tak określony pierścień nazywa się pierścieniem szeregów formalnych, oznaczany jest R X . {\displaystyle R[\![X]\!].}

Wielomiany wielu zmiennych | edytuj kod

Pierścień wielomianów R X Y {\displaystyle R[X][Y]} nad pierścieniem wielomianów R X {\displaystyle R[X]} nad pierścieniem R {\displaystyle R} nazywa się pierścieniem wielomianów zmiennych X , Y {\displaystyle X,Y} nad pierścieniem R {\displaystyle R} i oznacza R X , Y . {\displaystyle R[X,Y].} Używając indukcji matematycznej można określić pierścień wielomianów n {\displaystyle n} zmiennych[2] wzorem

P X 1 , X 2 , , X n = R X 1 , X 2 , , X n 1 X n . {\displaystyle P[X_{1},X_{2},\dots ,X_{n}]=R[X_{1},X_{2},\dots ,X_{n-1}][X_{n}].}

Wielomian dwóch zmiennych można zapisać w postaci i , j = 0 n a i j X i Y j . {\displaystyle \sum _{i,j=0}^{n}a_{ij}X^{i}Y^{j}.} Ogólniej, każdy wielomian n {\displaystyle n} zmiennych w postaci

( k 1 , k 2 , , k n ) A   a k 1 , k 2 , , k n i = 1 n X i k i , {\displaystyle \sum _{(k_{1},k_{2},\dots ,k_{n})\in A}~a_{k_{1},k_{2},\dots ,k_{n}}\prod _{i=1}^{n}X_{i}^{k_{i}},}

gdzie A N 0 n {\displaystyle A\subset \mathbb {N} _{0}^{n}} jest zbiorem skończonym.

Wielomiany symetryczne | edytuj kod

Mając dany wielomian f R X 1 , X 2 , , X n {\displaystyle \mathrm {f} \in R[X_{1},X_{2},\dots ,X_{n}]} można dokonać na nim permutacji zmiennych π = ( 1 2 n π 1 π 2 π n ) {\displaystyle \pi ={\begin{pmatrix}1&2&\ldots &n\\\pi _{1}&\pi _{2}&\dots &\pi _{n}\end{pmatrix}}} otrzymując nowy wielomian:

g ( X 1 , X 2 , , X n ) = f ( X π 1 , X π 2 , , X π n ) {\displaystyle \mathrm {g} (X_{1},X_{2},\dots ,X_{n})=\mathrm {f} (X_{\pi _{1}},X_{\pi _{2}},\dots ,X_{\pi _{n}})}

Jeżeli wielomian nie zmienia się po tej operacji, to nazywa się go niezmienniczym względem permutacji π {\displaystyle \pi } lub też mówi się, że permutacja nie zmienia wielomianu f . {\displaystyle \mathrm {f} .} Przykład: wielomian x + y z {\displaystyle x+y-z} nie zmienia się po zamianie zmiennych x {\displaystyle x} i y . {\displaystyle y.}

Można udowodnić, że zbiór wszystkich permutacji nie zmieniających wielomianu wraz z działaniem składania permutacji tworzy grupę, zwaną grupą symetrii wielomianu.

Wielomianem symetrycznym nazywa się wielomian, który nie zmienia się po dowolnej permutacji zmiennych; innymi słowy, jest to wielomian którego grupa symetrii jest równa S n . {\displaystyle S_{n}.} Przykładem mogą być wielomiany

X 1 2 + X 2 2 + X 3 2 {\displaystyle X_{1}^{2}+X_{2}^{2}+X_{3}^{2}} X 1 X 2 X 3 + X 1 X 2 X 4 + X 1 X 3 X 4 + X 2 X 3 X 4 . {\displaystyle X_{1}X_{2}X_{3}+X_{1}X_{2}X_{4}+X_{1}X_{3}X_{4}+X_{2}X_{3}X_{4}.}

Wielomianami symetrycznymi podstawowymi n {\displaystyle n} zmiennych nazywa się wielomiany

p 1 = X 1 + X 2 + X 3 + + X n , {\displaystyle \mathrm {p} _{1}=X_{1}+X_{2}+X_{3}+\dots +X_{n},} p 2 = X 1 X 2 + X 1 X 3 + + X n 1 X n , {\displaystyle \mathrm {p} _{2}=X_{1}X_{2}+X_{1}X_{3}+\dots +X_{n-1}X_{n},} {\displaystyle \dots } p n = X 1 X 2 X n . {\displaystyle \mathrm {p} _{n}=X_{1}X_{2}\dots X_{n}.}

Zgodnie z zasadniczym twierdzeniem o wielomianach symetrycznych, każdy wielomian symetryczny n {\displaystyle n} zmiennych można przedstawić w postaci złożenia wielomianu i wielomianów symetrycznych podstawowych, tj. dla każdego wielomianu symetrycznego f {\displaystyle \mathrm {f} } istnieje taki wielomian g , {\displaystyle \mathrm {g} ,} że:

f ( X 1 , X 2 , , X n ) = g ( p 1 , p 2 , , p n ) {\displaystyle \mathrm {f} (X_{1},X_{2},\dots ,X_{n})=\mathrm {g} (\mathrm {p} _{1},\mathrm {p} _{2},\dots ,\mathrm {p} _{n})}

Takie przyporządkowanie jest izomorfizmem pierścienia wielomianów na pierścień wielomianów symetrycznych.

Zobacz też | edytuj kod

Przypisy | edytuj kod

  1. Przy czym w pierwszym przypadku dopisuje się „ślepe” wyrazy o zerowych współczynnikach, aby zagwarantować formalnie ten sam zbiór potęg w obu składnikach; w drugim przypadku sumowanie wewnętrzne po prawej stronie odbywa się wyłącznie po wskaźnikach z zakresu, tzn. 0 i m {\displaystyle 0\leqslant i\leqslant m} oraz 0 j n ; {\displaystyle 0\leqslant j\leqslant n;} uniknięcie tych problemów jest możliwe poprzez przyjęcie wzorów ( i a i X i ) + ( i b i X i ) = i ( a i + b i ) X i {\displaystyle \textstyle \left(\sum _{i}a_{i}X^{i}\right)+\left(\sum _{i}b_{i}X^{i}\right)=\sum _{i}(a_{i}+b_{i})X^{i}} oraz ( i a i X i ) ( j b j X j ) = k ( i , j : i + j = k a i b j ) X k . {\displaystyle \textstyle \left(\sum _{i}a_{i}X^{i}\right)\cdot \left(\sum _{j}b_{j}X^{j}\right)=\sum _{k}\left(\sum _{i,j\colon i+j=k}a_{i}b_{j}\right)X^{k}.}
  2. Możliwe jest także zdefiniowanie pierścienia wielomianów nieskończonej liczbie zmiennych.
Kontrola autorytatywna (pierścień z jednoznacznością rozkładu):
Na podstawie artykułu: "Pierścień wielomianów" pochodzącego z Wikipedii
OryginałEdytujHistoria i autorzy