Pochodna cząstkowa


Pochodna cząstkowa w encyklopedii

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii To jest najnowsza wersja przejrzana, która została oznaczona 2 kwi 2021. Od tego czasu wykonano 1 zmianę, która oczekuje na przejrzenie. Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Pochodna cząstkowa – dla danej funkcji wielu zmiennych pochodna względem jednej z jej zmiennych przy ustaleniu pozostałych (w przeciwieństwie do pochodnej zupełnej, w której zmieniać się mogą wszystkie zmienne). Pochodne cząstkowe znajdują zastosowanie np. w rachunku wektorowym oraz geometrii różniczkowej.

Pochodne cząstkowe funkcji f {\displaystyle f} względem zmiennej x {\displaystyle x} oznacza się symbolami

f x , f x , f x  lub  x f . {\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x}},\;f'_{x},\;f_{x}{\text{ lub }}\partial _{x}f.}

Symbol pochodnej cząstkowej [a] ma wygląd zaokrąglonej litery „d”. Notacja ta, użyta po raz pierwszy przez Adriena-Marie Legendre’a, stała się powszechna po jej ponownym wprowadzeniu przez Carla Gustava Jakoba Jacobiego; z tej przyczyny bywa określana jako „delta Jacobiego”[1].

Tradycyjnie mówi się, że notacja f x {\displaystyle {\tfrac {\partial f}{\partial x}}} pochodzi od Gottfrieda Wilhelma Leibniza, zaś f x {\displaystyle f'_{x}} to symbolika zaczerpnięta od Josepha Louisa Lagrange’a.

Spis treści

Wprowadzenie | edytuj kod

Wykres funkcji z = f ( x , y ) = x 2 + x y + y 2 {\displaystyle z=f(x,y)=x^{2}+xy+y^{2}} Wartość z w zależności od x, dla y=1 ( z = f ( x ) = x 2 + x + 1 ) {\displaystyle (z=f(x)=x^{2}+x+1)}

Niech f {\displaystyle f} będzie funkcją więcej niż jednej zmiennej. Przykładowo

z = f ( x , y ) = x 2 + x y + y 2 . {\displaystyle z=f(x,y)=x^{2}+xy+y^{2}.}

Wykres tej funkcji określa powierzchnię w przestrzeni euklidesowej. Istnieje nieskończenie wiele stycznych do każdego punktu tej powierzchni. Różniczkowanie cząstkowe polega na wybraniu jednej z tych prostych i uzyskaniu jej nachylenia. Zwykle najbardziej interesujące są proste, które są równoległe do płaszczyzny x z {\displaystyle xz} czy y z . {\displaystyle yz.}

Aby znaleźć nachylenie prostej stycznej do funkcji w ( 1 , 1 , 3 ) , {\displaystyle (1,1,3),} która jest równoległa do płaszczyzny x z {\displaystyle xz} należy traktować zmienną y {\displaystyle y} jak stałą. Wykres i wspomnianą płaszczyznę przedstawiono na rys. 1. Z kolei rys. 2. przedstawia wykres funkcji na płaszczyźnie y = 1. {\displaystyle y=1.} Szukając pochodnej wspomnianego równania przy założeniu, że y {\displaystyle y} jest stała, uzyskuje się nachylenie funkcji f {\displaystyle f} w punkcie ( x , y , z ) , {\displaystyle (x,y,z),} którym jest

z x = 2 x + y . {\displaystyle {\frac {\partial z}{\partial x}}=2x+y.}

W ten sposób okazuje się, poprzez podstawienie, że nachylenie w punkcie ( 1 , 1 , 3 ) {\displaystyle (1,1,3)} wynosi 3. {\displaystyle 3.} Dlatego

z x = 3 {\displaystyle {\frac {\partial z}{\partial x}}=3}

w punkcie ( 1 , 1 , 3 ) . {\displaystyle (1,1,3).} Innymi słowy pochodna cząstkowa z {\displaystyle z} względem x {\displaystyle x} w punkcie ( 1 , 1 , 3 ) {\displaystyle (1,1,3)} jest równa 3. {\displaystyle 3.}

Definicja | edytuj kod

Niech U {\displaystyle U} będzie otwartym podzbiorem przestrzeni euklidesowej R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} i dane będą punkt a = ( a 1 , , a n ) {\displaystyle \mathrm {a} =(a_{1},\dots ,a_{n})} oraz funkcja f : U R . {\displaystyle f\colon U\to \mathbb {R} .}

Jeżeli istnieje skończona granica

lim h 0 f ( a 1 , , a k + h , , a n ) f ( a 1 , , a k , , a n ) h , {\displaystyle \lim _{h\to 0}{\frac {f(a_{1},\dots ,a_{k}+h,\dots ,a_{n})-f(a_{1},\dots ,a_{k},\dots ,a_{n})}{h}},}

to nazywa się ją pochodną cząstkową funkcji f {\displaystyle f} w punkcie a {\displaystyle \mathrm {a} } względem zmiennej a k {\displaystyle a_{k}} i oznacza jednym z wyżej wymienionych symboli.

Związek z pochodną zupełną | edytuj kod

Jeżeli oznaczyć g ( a k ) = f ( a 1 , , a k , , a n ) , {\displaystyle g(a_{k})=f(a_{1},\dots ,a_{k},\dots ,a_{n}),} to

f x ( a 1 , , a k , , a n ) = lim h 0 g ( a k + h ) g ( a k ) h {\displaystyle f'_{x}(a_{1},\dots ,a_{k},\dots ,a_{n})=\lim _{h\to 0}{\frac {g(a_{k}+h)-g(a_{k})}{h}}}

jest po prostu pochodną g ( a k ) {\displaystyle g'(a_{k})} funkcji g . {\displaystyle g.}

Na przykład dla funkcji

f ( x , y ) = x 3 + 3 x y y 2 {\displaystyle f(x,y)=x^{3}+3xy-y^{2}}

można obliczyć pochodne cząstkowe względem zmiennych x i y:

f x ( x , y ) = f x ( x , y ) = 3 x 2 + 3 y {\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x}}(x,y)=f'_{x}(x,y)=3x^{2}+3y} f y ( x , y ) = f y ( x , y ) = 3 x 2 y {\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial y}}(x,y)=f'_{y}(x,y)=3x-2y}

Pochodne wyższych rzędów | edytuj kod

Pochodne wyższych rzędów oblicza się różniczkując znów po dowolnych zmiennych. Pochodne wyższych rzędów obliczane względem zmiennych różnych niż wybrana początkowo nazywamy mieszanymi.

Pochodne czyste

2 f x 2 ( x , y ) = f x x ( x , y ) = x ( 3 x 2 + 3 y ) = 6 x {\displaystyle {\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}(x,y)=f''_{xx}(x,y)={\frac {\partial }{\partial x}}(3x^{2}+3y)=6x} 2 f y 2 ( x , y ) = f y y ( x , y ) = y ( 3 x 2 y ) = 2 {\displaystyle {\frac {\partial ^{2}f}{\partial y^{2}}}(x,y)=f''_{yy}(x,y)={\frac {\partial }{\partial y}}(3x-2y)=-2}

i pochodne mieszane (różniczkowania zależnie od umowy należy wykonywać, tak jak w tym artykule, od lewej strony do prawej; bądź też, podobnie jak przy składaniu funkcji, od prawej do lewej)

2 f x y ( x , y ) = f y x ( x , y ) = x ( 3 x 2 y ) = 3 {\displaystyle {\frac {\partial ^{2}f}{\partial x\partial y}}(x,y)=f''_{yx}(x,y)={\frac {\partial }{\partial x}}(3x-2y)=3} 2 f y x ( x , y ) = f x y ( x , y ) = y ( 3 x 2 + 3 y ) = 3 {\displaystyle {\frac {\partial ^{2}f}{\partial y\partial x}}(x,y)=f''_{xy}(x,y)={\frac {\partial }{\partial y}}(3x^{2}+3y)=3}

Uogólnione twierdzenie Schwarza mówi, że jeśli wszystkie pochodne mieszane względem pewnych zmiennych są ciągłe w danym punkcie, ich wartość zależy wyłącznie od tego, względem których zmiennych różniczkujemy i ile-krotnie, natomiast nie zależy od kolejności w jakiej przeprowadza się różniczkowania.

Liczbę zastosowanych różniczkowań nazywamy rzędem pochodnej cząstkowej. Na przykład

2 f x y ( x , y ) {\displaystyle {\frac {\partial ^{2}f}{\partial x{}\partial y}}{(x,y)}}

jest pochodną rzędu 2. {\displaystyle 2.}

Zobacz też | edytuj kod

Uwagi | edytuj kod

  1. Kod HTML: ∂ lub ∂, unikod: U+2202.

Przypisy | edytuj kod

  1. Jeff Miller: Earliest Uses of Symbols of Calculus (ang.). jeff560.tripod.com, 2009-06-14. [dostęp 2016-02-09].

Bibliografia | edytuj kod

  • Witold Pogorzelski: Analiza matematyczna. T. II. Warszawa: PWN, 1953, s. 10.
Na podstawie artykułu: "Pochodna cząstkowa" pochodzącego z Wikipedii
OryginałEdytujHistoria i autorzy