Podgrupa charakterystyczna


Podgrupa charakterystyczna w encyklopedii

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Spis treści

Podgrupa charakterystycznapodgrupa niezmiennicza ze względu na działanie automorfizmów.

Definicja formalna | edytuj kod

Niech G {\displaystyle G} będzie grupą. Podgrupę H G {\displaystyle H\leqslant G} nazywa się charakterystyczną, jeżeli dla każdego automorfizmu (bijektywnego homomorfizmu) φ {\displaystyle \varphi } grupy G {\displaystyle G} i dla każdego elementu h H {\displaystyle h\in H} zachodzi φ ( h ) H {\displaystyle \varphi (h)\in H} lub równoważnie φ ( H ) H . {\displaystyle \varphi (H)\subseteq H.}

Ta właściwość podgrupy H {\displaystyle H} grupy G {\displaystyle G} oznaczana jest symbolem H G {\displaystyle H\blacktriangleleft G} lub H char G . {\displaystyle H\;\operatorname {char} \;G.}

Uwagi | edytuj kod

  • Podgrupy charakterystyczne są w szczególności niezmiennicze ze względu na automorfizmy wewnętrzne, zatem są one podgrupami normalnymi. Sformułowanie odwrotne nie jest prawdziwe, w czwórkowej grupie Kleina V 4 {\displaystyle V_{4}} każda podgrupa jest normalna, ale wszystkie sześć permutacji trzech nieneutralnych elementów jest automorfizmami, stąd trzy podgrupy rzędu 2 nie są charakterystyczne.
  • Jednakże jeśli H G {\displaystyle H\vartriangleleft G} i grupa G {\displaystyle G} nie zawiera innych podgrup o tym samym rzędzie, to H {\displaystyle H} musi być charakterystyczna, ponieważ automorfizmy zachowują rząd.

Podgrupa ściśle charakterystyczna | edytuj kod

Podgrupa H {\displaystyle H} nazwana zostanie ściśle charakterystyczną w G , {\displaystyle G,} jeśli jest niezmiennicza ze względu na suriektywne endomorfizmy. Ponieważ w grupach skończonych suriektywność implikuje iniektywność, to pojęcie jest wówczas równoważne pojęciu podgrupy charakterystycznej, jednak w grupach nieskończonych suriektywny endomorfizm nie musi być automorfizmem.

Podgrupa całkowicie charakterystyczna | edytuj kod

Jeżeli H G {\displaystyle H\leqslant G} jest podgrupą niezmienniczą ze względu na dowolny endomorfizm grupy G , {\displaystyle G,} to nazywa się ją podgrupą całkowicie charakterystyczną (CC-podgupą, również całkowicie niezmienniczą albo w pełni charakterystyczną bądź w pełni niezmienniczą). Innymi słowy, jeżeli φ : G G {\displaystyle \varphi \colon G\to G} jest dowolnym homomorfizmem, to φ ( H ) H . {\displaystyle \varphi (H)\leqslant H.}

W każdej grupie zawierają się dwie całkowicie charakterystyczne grupy niewłaściwe: cała grupa oraz podgrupa trywialna. Każda całkowicie charakterystyczna grupa jest grupą ściśle charakterystyczną, a więc podgrupą charakterystyczną. Komutant grupy zawsze jest grupą całkowicie charakterystyczną. Ogólniej, każda podgrupa werbalna jest zawsze całkowicie charakterystyczna. Dla dowolnej zredukowanej grupy wolnej, a w szczególności dla każdej grupy wolnej, zachodzi też twierdzenie odwrotne – każda podgrupa całkowicie charakterystyczna jest werbalna.

Grupa elementarna | edytuj kod

 Osobny artykuł: grupa charakterystycznie prosta.

Grupę, której jedynymi podgrupami normalnymi są podgrupa trywialna i cała grupa nazywa się grupą prostą. Analogicznie grupę, której jedynymi podgrupami charakterystycznymi są podgrupa trywialna i cała grupa nazywa się grupą elementarną bądź grupą charakterystycznie prostą.

Własności | edytuj kod

  • Każda podgrupa charakterystyczna jest normalna.
  • Każda podgrupa całkowicie charakterystyczna jest ściśle charakterystyczna, więc i charakterystyczna. Łatwo sprawdzić, że centrum jest zawsze podgrupą ściśle charakterystyczną, jednak nie zawsze całkowicie charakterystyczną.
  • Jeśli G {\displaystyle G} jest grupą skończoną, H {\displaystyle H} jest jej podgrupą normalną oraz NWD ( | H | , | G / H | ) = 1 , {\displaystyle \operatorname {NWD} (|H|,|G/H|)=1,} to H G . {\displaystyle H\blacktriangleleft G.}

Przechodniość | edytuj kod

Własności charakterystyczności lub całkowitej charakterystyczności podgrupy są przechodnie. Otóż jeśli H {\displaystyle H} jest (całkowicie) charakterystyczną podgrupą G , {\displaystyle G,} a G {\displaystyle G} (całkowicie) charakterystyczną podgrupą E , {\displaystyle E,} to H {\displaystyle H} jest (całkowicie) charakterystyczną podgrupą E . {\displaystyle E.}

Co więcej, choć nie jest prawdą, że każda podgrupa normalna podgrupy normalnej danej grupy jest normalna w tej grupie, to jest prawdą, iż każda charakterystyczna podgrupa podgrupy normalnej jest w niej normalna, czyli:

H G E H E , {\displaystyle H\blacktriangleleft G\vartriangleleft E\implies H\vartriangleleft E,} w szczególności zaś H G . {\displaystyle H\vartriangleleft G.}

Podobnie nie jest prawdą, iż każda ściśle charakterystyczna podgrupa podgrupy ściśle charakterystycznej danej grupy jest w niej ściśle charakterystyczna, to jest prawdą, że każda całkowicie charakterystyczna podgrupa ściśle charakterystycznej jest ściśle charakterystyczna w całej grupie.

Relacja między tymi własnościami może być zobrazowana za pomocą następującego diagramu:

podgrupapodgrupa normalna ← podgrupa charakterystyczna ← podgrupa ściśle charakterystyczna ← podgrupa całkowicie charakterystyczna.

Przykłady | edytuj kod

  • Każda podgrupa grupy cyklicznej jest charakterystyczna.
  • Jeżeli G {\displaystyle G} jest grupą, wówczas grupy generowane odpowiednio przez zbiory: G k = { a G : a k = 1 } {\displaystyle G_{k}=\{a\in G\colon a^{k}=1\}} oraz G k = { a k G : a G } , k N {\displaystyle G^{k}=\{a^{k}\in G\colon a\in G\},\;k\in \mathbb {N} } są podgrupami charakterystycznymi grupy G . {\displaystyle G.}
  • Niech dana będzie grupa G = S 3 × Z 2 {\displaystyle G=S_{3}\times \mathbb {Z} _{2}} (rzędu 12 będącą produktem prostym grupy symetrycznej rzędu 6 i grupy cyklicznej rzędu 2). Centrum G {\displaystyle G} jest jej drugi czynnik, Z 2 . {\displaystyle \mathbb {Z} _{2}.} Pierwszy czynnik S 3 {\displaystyle S_{3}} zawiera podgrupę izomorficzną z Z 2 , {\displaystyle \mathbb {Z} _{2},} np. { id , ( 12 ) } . {\displaystyle \{\operatorname {id} ,(12)\}.} Niech φ : Z 2 S 3 {\displaystyle \varphi \colon \mathbb {Z} _{2}\to S_{3}} będzie homomorfizmem we wskazaną podgrupę. Wówczas złożenie rzutu G {\displaystyle G} na jej drugi współczynnik Z 2 {\displaystyle \mathbb {Z} _{2}} z φ {\displaystyle \varphi } oraz włożeniem S 3 {\displaystyle S_{3}} w G {\displaystyle G} (jako pierwszy współczynnik) daje endomorfizm G {\displaystyle G} w którym obraz centrum Z 2 {\displaystyle \mathbb {Z} _{2}} nie zawiera się w centrum, a zatem centrum nie jest całkowicie charakterystyczną podgrupą grupy G . {\displaystyle G.}
  • Komutant dowolnej grupy G {\displaystyle G} jest jej podgrupą całkowicie charakterystyczną, gdyż jest on podgrupą werbalną (generowaną przez wszystkie wyrażenia określonej postaci – komutatory). Dla każdego automorfizmu σ Aut ( G ) {\displaystyle \sigma \in \operatorname {Aut} (G)} i dla każdego x , y G {\displaystyle x,y\in G} zachodzi σ ( x , y ) = σ ( x ) , σ ( y ) . {\displaystyle \sigma ([x,y])=[\sigma (x),\sigma (y)].}
  • Część torsyjna (największa podgrupa torsyjna) grupy abelowej jest podgrupą całkowicie charakterystyczną.
  • Przykładami grup elementarnych są grupy addytywne przestrzeni wektorowych nad ciałami skończonymi.

Przekształcenia grupy auto- i endomorfizmów | edytuj kod

Jeżeli H G , {\displaystyle H\blacktriangleleft G,} to każdy automorfizm G {\displaystyle G} indukuje automorfizm na grupie ilorazowej G / H , {\displaystyle G/H,} istnieje stąd przekształcenie Aut G Aut G / H . {\displaystyle \operatorname {Aut} \,G\to \operatorname {Aut} \,G/H.}

Jeżeli H {\displaystyle H} jest podgrupą całkowicie charakterystyczną w G , {\displaystyle G,} to analogicznie: każdy endomorfizm G {\displaystyle G} indukuje endomorfizm G / H , {\displaystyle G/H,} który daje przekształcenie End G End G / H . {\displaystyle \operatorname {End} \,G\to \operatorname {End} \,G/H.}

Zobacz też | edytuj kod

Bibliografia | edytuj kod

  • A. Bojanowska, P. Traczyk: Algebra I. skrypt WMIM, 2005.
  • Cz. Bagiński: Wstęp do teorii grup. SCRIPT, 2005. ISBN 83-904564-9-4.
  • M.I. Kargapołow, J.I. Mierzliakow: Podstawy teorii grup. PWN, 1976.
  • W.R. Scott: Group Theory. Dover, 1987, s. 45–46. ISBN 0-486-65377-3.
  • W. Magnus, A. Karrass, D. Solitar: Combinatorial Group Theory. Dover, 2004, s. 74–85. ISBN 0-486-43830-9.
Na podstawie artykułu: "Podgrupa charakterystyczna" pochodzącego z Wikipedii
OryginałEdytujHistoria i autorzy