Pojęcie pierwotne


Pojęcie pierwotne w encyklopedii

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania Zbiory oraz relacje pomiędzy nimi są przykładem pojęć pierwotnych.

Pojęcie pierwotne – obiekt w teorii sformalizowanej, o którym mówi ona w swych aksjomatach, konstruując wypowiedzi (twierdzenia) zgodnie z przyjętymi w tej teorii regułami wnioskowania. Terminem pojęcia pierwotnego określa się pojęcia, które uznawane są za fundamentalne, a zarazem trudne do opisania językiem teorii[1]. Pojęć tych nie definiuje się lub definiuje co najwyżej podając definicję znaczeniową; przez podanie informacji (lub wymagań) o relacjach, w których występuje.

W oparciu o pojęcia pierwotne oraz pojęcia określone wcześniej, definiuje się inne pojęcia matematyczne. Każde pojęcie nie będące pojęciem pierwotnym wymaga podania odrębnej definicji[1].

Spis treści

Przykłady | edytuj kod

Punkt widzenia współczesnej logiki matematycznej | edytuj kod

Termin „pojęcie pierwotne” był w powszechnym użyciu w okresie poprzedzającym formalizację logiki matematycznej, jednak we współczesnych badaniach naukowych używa się go bardzo rzadko (jeśli w ogóle). Spowodowane to jest faktem, że w ujęciu formalnym każdemu z potencjalnych pojęć pierwotnych odpowiada element pewnego alfabetu τ {\displaystyle \tau } (tzn. zbioru symboli relacyjnych, symboli funkcyjnych, symboli dla stałych itp). Zamiast mówić, że pojęciami pierwotnymi naszej teorii T {\displaystyle T} są..., stwierdzamy, iż T {\displaystyle T} jest teorią w języku L ( τ ) {\displaystyle {\mathcal {L}}(\tau )} . Na przykład o teorii mnogości ZFC mówimy, że jest to teoria w języku pierwszego rzędu L ( ) . {\displaystyle {\mathcal {L}}(\in ).} W starym podejściu powiedzielibyśmy że {\displaystyle \in } jest pojęciem pierwotnym. (Zwróćmy uwagę, że w ZFC każdy obiekt jest zbiorem, więc w alfabecie tej teorii nie ma specjalnego predykatu na x {\displaystyle x} jest zbiorem.)

Warto zauważyć, że czasami jest wygodnie użyć terminu pojęcie pierwotne, szczególnie gdy używamy logik wielosortowych albo gdy rozważana teoria jest związana w pewnym sensie z inną powszechnie znaną. I tak:

  • Możemy formalizować geometrię euklidesową na gruncie logiki dwusortowej i zamiast mówić, iż mamy dwa rodzaje obiektów, możemy stwierdzić, że mamy dwa pojęcia pierwotne (punkty i proste).
  • Wprowadzając teorię mnogości Morse’a-Kelleya, możemy stwierdzić, że pojęcia pierwotne tej teorii to relacja należenia i klasa, podkreślając tym samym, że zbiory są tutaj obiektami wtórnymi (tzn. zdefiniowanymi). Ale, podobnie jak ZFC, jest to teoria w języku L ( ) . {\displaystyle {\mathcal {L}}(\in ).}

W kontekście logiki matematycznej należy zwrócić uwagę, że gdy podajemy modele danej teorii, to interpretujemy wszystkie symbole z alfabetu danej teorii, czyli w pewnym sensie określamy je. Absolutnie nie powinno to być rozumiane jako definiowanie pojęć pierwotnych, jest to całkowicie inna procedura. Ma ona zwykle na celu albo praktyczne wyjaśnienie pojęć (jak np. w geometrii) albo dowód niesprzeczności teorii.

Warto też zauważyć, że pojęcia pierwotne w ramach jednej teorii mogą być pojęciami definiowalnymi w innej (na innym poziomie logicznym). Na przykład prosta jest pojęciem pierwotnym w geometrii euklidesowej, ale w geometrii analitycznej jest ona definiowana jako zbiór punktów spełniających pewne równanie. Podobnie w teorii liczb uważamy liczby za pojęcia pierwotne, ale w teorii mnogości liczby definiuje się za pomocą zbiorów (ogólnie taka jest też „ostateczna” definicja liczby).

Zobacz też | edytuj kod

Przypisy | edytuj kod

  1. a b Pojęcie pierwotne. naukowiec.org. [dostęp 2017-05-30].
  2. a b Pojęcie pierwotne. matematyka.net. [dostęp 2017-05-30].
Na podstawie artykułu: "Pojęcie pierwotne" pochodzącego z Wikipedii
OryginałEdytujHistoria i autorzy