Postulat Bertranda


Postulat Bertranda w encyklopedii

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Twierdzenie Czebyszewa (twierdzenie Bertranda-Czebyszewa, postulat Bertranda) – twierdzenie w teorii liczb.

Spis treści

Twierdzenie | edytuj kod

Dla każdej liczby naturalnej n N {\displaystyle n\in N} większej lub równej 1 {\displaystyle 1} istnieje przynajmniej jedna liczba pierwsza większa od n {\displaystyle n} i mniejsza lub równa 2 n . {\displaystyle 2n.}

n 1 π ( 2 n ) > π ( n ) {\displaystyle \forall _{n\geqslant 1}\;\pi (2n)>\pi (n)}

lub

n 1 p P 2 n p > n . {\displaystyle \forall _{n\geqslant 1}\;\exists _{p\in \mathbb {P} }\;2n\geqslant p>n.}

Własności | edytuj kod

Udowodniono również, że

n > 5 π ( 2 n ) π ( n ) 2 , {\displaystyle \forall _{n>5}\;\pi (2n)-\pi (n)\geqslant 2,} n > 8 π ( 2 n ) π ( n ) 3 , {\displaystyle \forall _{n>8}\;\pi (2n)-\pi (n)\geqslant 3,} n > 14 π ( 2 n ) π ( n ) 4 , {\displaystyle \forall _{n>14}\;\pi (2n)-\pi (n)\geqslant 4,} n > 20 π ( 2 n ) π ( n ) 5. {\displaystyle \forall _{n>20}\;\pi (2n)-\pi (n)\geqslant 5.}

Dla dowolnej liczby po prawej stronie nierówności istnieje „odpowiednia wartość”, którą można wpisać pod kwantyfikatorem. (Patrz liczby pierwsze Ramanujana).

Postulat Bertranda | edytuj kod

W 1845 roku Joseph Bertrand sformułował hipotezę, tzw. postulat Bertranda, że jeśli n > 3 {\displaystyle n>3} jest liczbą całkowitą, to istnieje liczba pierwsza p {\displaystyle p} taka, że n < p < 2 n 2 {\displaystyle n<p<2n-2} [1]. Powyższe twierdzenie jest słabszą wersją tej hipotezy.

Bertrand sprawdził swój postulat dla wszystkich liczb całkowitych z przedziału 2 , 3 10 6 . {\displaystyle [2,3\cdot 10^{6}].} W 1850 roku prawdziwości postulatu dowiódł Pafnutij Czebyszow.

Zobacz też | edytuj kod

Przypisy | edytuj kod

  1. EdwardE. Kofler EdwardE., Z dziejów matematyki, Warszawa: Wiedza Powszechna, 1956, s. 66 .
Na podstawie artykułu: "Postulat Bertranda" pochodzącego z Wikipedii
OryginałEdytujHistoria i autorzy