Potęgowanie


Potęgowanie w encyklopedii

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Spis treści

Potęgowaniedziałanie dwuargumentowe będące uogólnieniem wielokrotnego mnożenia elementu przez siebie. Potęgowany element nazywa się podstawą, zaś liczba czynników w mnożeniu, zapisywana zwykle w indeksie górnym po prawej stronie podstawy[a], nosi nazwę wykładnika. Wynik potęgowania to potęga elementu.

Na przykład:

3 4 = 3 3 3 3 = 81 , {\displaystyle 3^{4}=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3=81,}

gdzie podstawą potęgi jest liczba 3, a wykładnikiem liczba 4.

Drugą potęgę nazywa się często kwadratem, a trzecią – sześcianem (zwykle w stosunku do wartości liczbowych, choć nie tylko). Określenia te nawiązują do geometrii, gdyż pole powierzchni kwadratu o boku długości a {\displaystyle a} wynosi a 2 , {\displaystyle a^{2},} a objętość sześcianu o tym samym boku jest równa a 3 . {\displaystyle a^{3}.}

Potęga naturalna | edytuj kod

Niech a R {\displaystyle a\in \mathbb {R} } oraz n N . {\displaystyle n\in \mathbb {N} .} Potęgę a n {\displaystyle a^{n}} definiuje się jako pomnożenie n takich samych elementów a {\displaystyle a} przez siebie, czyli

a n = a a a n {\displaystyle a^{n}=\underbrace {a\cdot a\cdot \ldots \cdot a} _{n}}

i czyta się go „ a {\displaystyle a} podniesione do n {\displaystyle n} -tej potęgi”, „ a {\displaystyle a} do n {\displaystyle n} -tej potęgi” lub nawet „ a {\displaystyle a} do n {\displaystyle n} -tej”. W szczególności

Dodatkowo przyjmuje się

Z definicji potęgi wynika, iż 0 n = 0 {\displaystyle 0^{n}=0} oraz 1 n = 1 {\displaystyle 1^{n}=1} dla dowolnego n N + . {\displaystyle n\in \mathbb {N} _{+}.}

Z definicji wynika też 0 0 = 1 , {\displaystyle 0^{0}=1,} chociaż w niektórych działach matematyki wyrażenie 0 0 {\displaystyle 0^{0}} jest traktowane jako niejednoznaczne (patrz oddzielna sekcja).

Potęgę naturalną można zdefiniować indukcyjnie

a n = { 1  dla  n = 0 a n 1 a  dla  n 1 {\displaystyle a^{n}={\begin{cases}1&{\mbox{ dla }}n=0\\[2pt]a^{n-1}\cdot a&{\mbox{ dla }}n\geqslant 1\end{cases}}}

Definicję tę można wprowadzić w dowolnej półgrupie z mnożeniem ; {\displaystyle \cdot ;} może to być mnożenie liczb całkowitych, wymiernych, rzeczywistych czy zespolonych, może to być składanie funkcji okreśłonych na zbiorze.

Dla dowolnych m , n N {\displaystyle m,n\in \mathbb {N} } zachodzą własności

( a m ) n = a m n . {\displaystyle (a^{m})^{n}=a^{m\cdot n}.}

Ponadto dla grupy przemiennej

( a b ) m = a m b m , {\displaystyle (a\cdot b)^{m}=a^{m}\cdot b^{m},}

Potęga całkowita | edytuj kod

Niech a R , a 0. {\displaystyle a\in \mathbb {R} ,a\neq 0.} Definicję potęgowania można rozszerzyć na wykładniki całkowite:

niech n Z , {\displaystyle n\in \mathbb {Z} ,} wówczas

a n = { a n  dla  n 0 1 a n  dla  n < 0 {\displaystyle a^{n}={\begin{cases}a^{n}&{\mbox{ dla }}n\geqslant 0\\[2pt]{\frac {1}{a^{-n}}}&{\mbox{ dla }}n<0\end{cases}}}

Z definicji wynika, że dla n N {\displaystyle n\in \mathbb {N} } zachodzi

a n = 1 a n {\displaystyle a^{-n}={\frac {1}{a^{n}}}}

w szczególności

a 1 = 1 a . {\displaystyle a^{-1}={\frac {1}{a}}.}

Definicję można wprowadzić w dowolnej grupie, tzn. od elementu a {\displaystyle a} wymaga się, aby był elementem odwracalnym.

Dla m , n Z {\displaystyle m,n\in \mathbb {Z} } zachodzą własności:

a m + n = a m a n . {\displaystyle a^{m+n}=a^{m}\cdot a^{n}.}

Ponadto dla grupy przemiennej

( a b ) m = a m b m , {\displaystyle (a\cdot b)^{m}=a^{m}\cdot b^{m},} ( a b ) m = a m b m , {\displaystyle \left({\frac {a}{b}}\right)^{m}={\frac {a^{m}}{b^{m}}},\qquad {}} gdzie x y {\displaystyle {\frac {x}{y}}} oznacza zdefiniowane w grupie dzielenie x y 1 . {\displaystyle x\cdot y^{-1}.}

Pierwiastek, potęga wymierna | edytuj kod

Niech a R , a > 0. {\displaystyle a\in \mathbb {R} ,a>0.} Definicję potęgowania można rozszerzyć na wykładniki wymierne.

Niech w Q {\displaystyle w\in \mathbb {Q} } oraz w = m n , m , n Z . {\displaystyle w={\frac {m}{n}},\;m,n\in \mathbb {Z} .}

W szczególności

a 1 n = a n {\displaystyle a^{\frac {1}{n}}={\sqrt[{n}]{a}}}

W powyższych definicjach c n {\displaystyle {\sqrt[{n}]{c}}} oznacza arytmetyczny pierwiastek z liczby dodatniej c . {\displaystyle c.} Definicja jest poprawna i jednoznacznie określa potęgę, bowiem istnieje dokładnie jedno rozwiązanie rzeczywiste dodatnie równania x n = c . {\displaystyle x^{n}=c.}

Dla m , n Q , a , b > 0 {\displaystyle m,n\in \mathbb {Q} ,\;a,b>0} zachodzą własności:

a m + n = a m a n . {\displaystyle a^{m+n}=a^{m}\cdot a^{n}.} ( a m ) n = a m n . {\displaystyle (a^{m})^{n}=a^{m\cdot n}.} ( a b ) m = a m b m , {\displaystyle (a\cdot b)^{m}=a^{m}\cdot b^{m},} ( a b ) m = a m b m . {\displaystyle \left({\frac {a}{b}}\right)^{m}={\frac {a^{m}}{b^{m}}}.}

Potęga rzeczywista | edytuj kod

Potęgowanie przy różnych podstawach. Kolorem zielonym oznaczono potęgowanie przy podstawie 10, kolorem czerwonym przy podstawie logarytmu naturalnego, a niebieskim przy podstawie 1,7

Dla wykładników wymiernych potęgowanie można było traktować (o ile było wykonalne) jako złożenie potęgowania naturalnego (wielokrotne mnożenie), potęgi o wykładniku -1 (odwracania elementu) i odwrotności potęgi (pierwiastkowania). Definicja potęgowania dodatniej liczby rzeczywistej o wykładniku rzeczywistym jest nieco bardziej zawiła, gdyż liczba niewymierna nie może być uzyskana tą drogą.

Wystarczy jednak w niej uwzględnić, iż liczby rzeczywiste są możliwe do uzyskania jako granice ciągów liczb wymiernych (tzw. ciągi Cauchy’ego). Na podstawie powyższych rozważań zdefiniowana jest potęga x y {\displaystyle x^{y}} dla nieujemnych x R , {\displaystyle x\in \mathbb {R} ,} oraz y Q . {\displaystyle y\in \mathbb {Q} .} Jeżeli y {\displaystyle y} jest liczbą niewymierną, tzn. y R Q , {\displaystyle y\in \mathbb {R} \setminus \mathbb {Q} ,} to wystarczy skonstruować ciąg liczb wymiernych y 1 , y 2 , {\displaystyle y_{1},y_{2},\dots } o granicy w y {\displaystyle y} i przyjąć

x y = lim n   x y n . {\displaystyle x^{y}=\lim _{n\to \infty }~x^{y_{n}}.}

Z własności granic tak określona potęga niewymierna istnieje i spełnia żądane wcześniej własności (1–6). Potęgę rzeczywistą można też równoważnie zdefiniować jako

x y = sup { x p : p < y  i  p Q } . {\displaystyle x^{y}=\sup\{x^{p}\colon p<y{\mbox{ i }}p\in \mathbb {Q} \}.}

W obu przypadkach korzysta się z ciągłości.

Funkcja wykładnicza | edytuj kod

 Osobny artykuł: funkcja wykładnicza.

Jeżeli a > 0 , {\displaystyle a>0,} to układ równań funkcyjnych (por. (1) i (2)):

{ f a ( x + y ) = f a ( x ) f a ( y ) f a ( 1 ) = a {\displaystyle {\begin{cases}f_{a}(x+y)=f_{a}(x)\cdot f_{a}(y)\\f_{a}(1)=a\end{cases}}}

definiuje jedyną (wszędzie) ciągłą[b] funkcję f a : R R , {\displaystyle f_{a}\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} ,} gdzie a R , {\displaystyle a\in \mathbb {R} ,} dla której zachodzi

f a ( x ) = a x . {\displaystyle f_{a}(x)=a^{x}.}

Funkcję f a {\displaystyle f_{a}} nazywa się funkcją wykładniczą o podstawie a . {\displaystyle a.} Z powodu dogodnych własności liczby e {\displaystyle e} (podstawy logarytmu naturalnego) przyjęło się definiować funkcję wykładniczą o tej podstawie, a następnie, za pomocą logarytmu naturalnego, definiuje się potęgowanie nieujemnej liczby rzeczywistej o wykładniku rzeczywistym. Jest on o tyle wygodniejszy od poprzedniej definicji, iż łatwo uogólnia się na liczby zespolone, a nawet inne struktury (np. macierze kwadratowe, zob. dalej). Funkcja (elementarna) exp {\displaystyle \exp } może być zadana za pomocą szeregu potęgowego

exp ( x ) = k = 0 x k k ! , {\displaystyle \exp(x)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {x^{k}}{k!}},}

który jest zbieżny dla dowolnego x R {\displaystyle x\in \mathbb {R} } (a nawet x C {\displaystyle x\in \mathbb {C} } ). Zachodzą własności (1–6), a w szczególności definiujące potęgę własności (2–3):

exp ( x + y ) = exp ( x ) exp ( y ) {\displaystyle \exp(x+y)=\exp(x)\cdot \exp(y)}

oraz

exp ( 0 ) = 1. {\displaystyle \exp(0)=1.}

Dowodzi się również ciągłości i monotoniczności funkcji exp {\displaystyle \exp } oraz tego, iż

exp ( 1 ) = e . {\displaystyle \exp(1)=e.}

Mając daną funkcję wykładniczą, definiuje się funkcję logarytmu naturalnego ln ( x ) , {\displaystyle \ln(x),} będącą przypadkiem szczególnym funkcji logarytmicznej, jako funkcją odwrotną do exp ( x ) {\displaystyle \exp(x)} [c] dla x R {\displaystyle x\in \mathbb {R} } (stąd również i ona jest ciągła oraz monotoniczna). Następnie definiuje się potęgę wzorem

x y = exp ( y ln ( x ) ) , {\displaystyle x^{y}=\exp(y\ln(x)),}

który czyni zadość wymaganym własnościom potęgi i jest dobrze określony dla x > 0 {\displaystyle x>0} oraz y R . {\displaystyle y\in \mathbb {R} .}

Ujemna podstawa | edytuj kod

Równanie x n = a {\displaystyle x^{n}=a} nie ma rozwiązań rzeczywistych dla a < 0 {\displaystyle a<0} oraz parzystego n , {\displaystyle n,} choć ma jedno dla n {\displaystyle n} nieparzystego. W oparciu o ten fakt często rozszerza się definicję pierwiastka (potęgi o wykładniku wymiernym) w następujący sposób: potęga ujemnej liczby rzeczywistej o wykładniku całkowitym jest liczbą rzeczywistą, potęgi o wykładnikach wymiernych, których mianownik jest liczbą nieparzystą, określa się za pomocą pierwiastków. Zasadniczym problemem jest fakt, iż nie istnieje liczba rzeczywista x {\displaystyle x} będąca rozwiązaniem równania x 2 = 1 , {\displaystyle x^{2}=-1,} dlatego definicja potęgi dla wykładnika będącego liczbą parzystą (licznik i mianownik są względnie pierwsze) wymaga użycia jednostki urojonej i {\displaystyle i} będącej jednym z rozwiązań wspomnianego równania.

Metoda korzystająca z logarytmów zawodzi, ponieważ e x > 0 {\displaystyle e^{x}>0} dla dowolnej x R , {\displaystyle x\in \mathbb {R} ,} stąd dla a 0 {\displaystyle a\leqslant 0} liczba ln y {\displaystyle \ln y} nie jest rzeczywista (z drugiej strony można zdefiniować potęgi zespolone liczb ujemnych, wybierając logarytm zespolony z y . {\displaystyle y.}

Do określenia potęgi ujemnej liczby rzeczywistej nie można również skorzystać z metody wykładnika wymiernego, gdyż opiera się ona na ciągłości. Funkcja f ( x ) = a x {\displaystyle f(x)=a^{x}} ma dokładnie jedno rozszerzenie ciągłe z liczb wymiernych w liczby rzeczywiste dla dowolnego a > 0 , {\displaystyle a>0,} lecz okazuje się, że jeżeli a < 0 , {\displaystyle a<0,} to funkcja f {\displaystyle f} nie jest ciągła nawet w zbiorze liczb wymiernych, w którym została określona.

Na przykład jeśli a = 1 , {\displaystyle a=-1,} to pierwiastkiem n {\displaystyle n} -tego stopnia z 1 {\displaystyle -1} dla każdej nieparzystej liczby naturalnej n > 0 {\displaystyle n>0} jest 1. {\displaystyle -1.} Niech n {\displaystyle n} będzie nieparzystą dodatnią liczbą całkowitą, wówczas ( 1 ) m / n = 1 {\displaystyle (-1)^{m/n}=-1} dla m {\displaystyle m} nieparzystych i ( 1 ) m / n = 1 {\displaystyle (-1)^{m/n}=1} dla m {\displaystyle m} parzystych. Stąd zbiór liczb wymiernych q , {\displaystyle q,} dla których ( 1 ) q = 1 {\displaystyle (-1)^{q}=1} jest gęsty w zbiorze liczb wymiernych, podobnie zbiór tych q , {\displaystyle q,} dla których ( 1 ) q = 1 , {\displaystyle (-1)^{q}=-1,} co oznacza, że funkcja ( 1 ) q {\displaystyle (-1)^{q}} jest nieciągła w dowolnym punkcie q {\displaystyle q} należącym do zbioru liczb wymiernych, w którym została zdefiniowana.

Liczby zespolone | edytuj kod

Wykładnik zespolony | edytuj kod

Funkcja wykładnicza e z {\displaystyle e^{z}} może być zdefiniowana jako granica ciągu ( 1 + z / N ) N , {\displaystyle (1+z/N)^{N},} dla N {\displaystyle N} dążącego do nieskończoności, stąd e i π {\displaystyle e^{i\pi }} jest granicą ciągu ( 1 + i π / N ) N e i π . {\displaystyle (1+i\pi /N)^{N}e^{i\pi }.} W animacji przedstawiono zwiększające się w zakresie od 1 do 100 wartości N . {\displaystyle N.} Wartość ( 1 + i π / N ) N {\displaystyle (1+i\pi /N)^{N}} jest przedstawiona jako wynik N {\displaystyle N} kolejnych mnożeń na płaszczyźnie zespolonej, gdzie ostatni punkt jest właściwą wartością tego ciągu. Można zaobserwować, że ciąg ( 1 + i π / N ) N {\displaystyle (1+i\pi /N)^{N}} dąży do −1 wraz ze wzrostem N . {\displaystyle N.} Stąd 1 = e i π = 1 , {\displaystyle 1=e^{i\pi }=-1,} równanie to znane jest jako tożsamość Eulera.

Kluczem do zrozumienia exp ( i x ) {\displaystyle \exp(ix)} dla rzeczywistych wartości x {\displaystyle x} jest interpretacja geometryczna działań na liczbach zespolonych oraz definicja potęg liczby e , {\displaystyle e,} czyli funkcji wykładniczej exp . {\displaystyle \exp .} Niech dany będzie na płaszczyźnie zespolonej trójkąt prostokątny o wierzchołkach ( 0 , 1 , 1 + i x n ) . {\displaystyle (0,1,1+{\tfrac {ix}{n}}).} Dla dużych wartości n {\displaystyle n} jest nieomalże wycinkiem kołowym o rozwartości kąta środkowego równej x n {\displaystyle {\tfrac {x}{n}}} radianów. Trójkąty ( 0 , ( 1 + i x n ) k , ( 1 + i x n ) k + 1 ) {\displaystyle (0,(1+{\tfrac {ix}{n}})^{k},(1+{\tfrac {ix}{n}})^{k+1})} podobne dla wszystkich k . {\displaystyle k.} Stąd dla dużych n {\displaystyle n} punkt graniczny ciągu ( 1 + i x n ) n {\displaystyle (1+{\tfrac {ix}{n}})^{n}} jest punktem okręgu jednostkowego, którego kąt liczony od dodatniej osi rzeczywistej wynosi x {\displaystyle x} radianów. Współrzędnymi biegunowymi (postacią trygonometryczną) tego punktu są 1 = ( r , θ ) = ( 1 , x ) , {\displaystyle 1=(r,\theta )=(1,x),} a współrzędnymi prostokątnymi (postacią algebraiczną) para ( cos x , sin x ) . {\displaystyle (\cos x,\sin x).} W ten sposób 1 = e i x = cos x + i sin x . {\displaystyle 1=e^{ix}=\cos x+i\sin x.} Zależność ta nazywana jest wzorem Eulera i łączy ona algebrę z trygonometrią poprzez liczby zespolone.

Rozwiązaniem równania e z = 1 {\displaystyle e^{z}=1} są całkowite wielokrotności 2 π i : {\displaystyle 2\pi i{:}}

{ z : e z = 1 } = { 2 k π i : k Z } . {\displaystyle \{z\colon e^{z}=1\}=\{2k\pi i\colon k\in \mathbb {Z} \}.}

Ogólniej, jeśli e b = a , {\displaystyle e^{b}=a,} to każde rozwiązanie e z = a {\displaystyle e^{z}=a} może być uzyskane przez dodanie całkowitej wielokrotności 2 π i {\displaystyle 2\pi i} do b : {\displaystyle b{:}}

{ z : e z = a } = { b + 2 k π i : k Z } . {\displaystyle \{z\colon e^{z}=a\}=\{b+2k\pi i\colon k\in \mathbb {Z} \}.}

Zespolona funkcja wykładnicza jest zatem funkcją okresową o okresie głównym 2 π i . {\displaystyle 2\pi i.}

Ostatecznie:

e π i = 1 , {\displaystyle e^{\pi i}=-1,} e x + i y = e x ( cos y + i sin y ) . {\displaystyle e^{x+iy}=e^{x}(\cos y+i\sin y).}

Ze wzoru Eulera wynika też, że funkcje trygonometryczne sinusa i cosinusa spełniają zależności:

cos ( z ) = e i z + e i z 2 sin ( z ) = e i z e i z 2 i . {\displaystyle \cos(z)={\frac {e^{iz}+e^{-iz}}{2}}\qquad \sin(z)={\frac {e^{iz}-e^{-iz}}{2i}}.}

Przed odkryciem liczb zespolonych funkcje sinusa i cosinusa definiowano geometrycznie, powyższe wzory upraszczają skomplikowane wzory na sumę kątów funkcji trygonometrycznych do prostego wzoru na potęgowanie:

e i ( x + y ) = e i x e i y . {\displaystyle e^{i(x+y)}=e^{ix}e^{iy}.}

W ten sposób potęgowanie wykładników zespolonych sprowadza wiele problemów trygonometrycznych do zagadnień algebraicznych.

Potęgę e x + i y {\displaystyle e^{x+iy}} oblicza się jako e x e i y , {\displaystyle e^{x}e^{iy},} gdzie czynnik rzeczywisty e x {\displaystyle e^{x}} jest modułem, zaś e i y {\displaystyle e^{iy}} to kierunek (wraz ze zwrotem, y {\displaystyle y} nazywany jest argumentem) liczby e x + i y . {\displaystyle e^{x+iy}.}

Potęga zespolona | edytuj kod

Jeżeli a {\displaystyle a} jest dodatnią liczbą rzeczywistą, a z {\displaystyle z} dowolną liczbą zespoloną, to potęgę a z {\displaystyle a^{z}} definiuje się wzorem

a z = e z ln a , {\displaystyle a^{z}=e^{z\ln a},}

gdzie x = ln a {\displaystyle x=\ln a} jest jedynym rozwiązaniem rzeczywistym równania e x = a . {\displaystyle e^{x}=a.}

Jeżeli a {\displaystyle a} jest liczbą zespoloną, to napotyka się pewne trudności: definiuje się albo funkcje nieciągłe, albo wielowartościowe. W dziedzinie zespolonej ln ( x ) {\displaystyle \ln(x)} jest funkcją wielowartościową, a różnica między jej wartościami wynosi 2 k π i {\displaystyle 2k\pi i} dla k Z , {\displaystyle k\in \mathbb {Z} ,} to i funkcja wykładnicza jest określona niejednoznacznie, miewając nieskończoną liczbę wartości.

Niech z = L n ( x ) {\displaystyle z=\mathrm {Ln} (x)} będzie dowolnie wybraną gałęzią logarytmu x , {\displaystyle x,} wówczas:

x y = e y ( z + 2 k π i ) = e y z e y 2 k π i , {\displaystyle x^{y}=e^{y(z+2k\pi i)}=e^{yz}e^{y2k\pi i},}

czyli moduł x y {\displaystyle x^{y}} wynosi wtedy exp ( y L n ( x ) ) R , {\displaystyle \exp(y\mathrm {Ln} (x))\in \mathbb {R} ,} zaś jej argument przyjmuje dowolną z wartości 2 k π y . {\displaystyle 2k\pi y.} Potęga będzie miała n {\displaystyle n} wartości tylko wtedy, gdy y = c / n , {\displaystyle y=c/n,} gdzie c {\displaystyle c} i n {\displaystyle n} względnie pierwsze). Jeżeli y Z , {\displaystyle y\in \mathbb {Z} ,} to wygodnie jest korzystać ze wzoru de Moivre’a.

Należy tylko pamiętać o dziedzinie potęgowania, przypadku szczególnym 0 0 {\displaystyle 0^{0}} i o wieloznaczności potęgowania w liczbach zespolonych. Nieuwzględnienie tych warunków i branie pierwiastka arytmetycznego może doprowadzić do sprzeczności, np.

( ( 1 ) 2 ) 1 2 = 1 1 = ( 1 ) 2 1 2 . {\displaystyle ((-1)^{2})^{\tfrac {1}{2}}=1\neq -1=(-1)^{2\cdot {\tfrac {1}{2}}}.}

Funkcja potęgowa | edytuj kod

 Osobny artykuł: funkcja potęgowa.

Funkcja wykładnicza zdefiniowana jest przez potęgowanie, gdzie zmienną jest wykładnik, a podstawa jest stałą. Sytuacja odwrotna, w której ustalony jest wykładnik, a podstawa jest zmienna, również jest funkcją potęgową, co można było zaobserwować wyżej (wzór (5)). Określenie funkcji pierwiastkowej, czyli funkcji potęgowej o wykładniku będącym odwrotnością niezerowej liczby całkowitej przebiega identycznie jak wyżej. Problemem znowu staje się zdefiniowanie funkcji o wykładniku niewymiernym, jednak pokonuje się ją analogicznie i dowodzi się wielu jej własności (ciągłość, monotoniczność na przedziałach).

Własności | edytuj kod

Potęgowanie nie jest działaniem przemiennym, np. 8 = 2 3 3 2 = 9. {\displaystyle 8=2^{3}\neq 3^{2}=9.} Nie jest także łączne, np. 2 ( 3 2 ) = 2 9 = 512 , {\displaystyle 2^{(3^{2})}=2^{9}=512,} lecz ( 2 3 ) 2 = 8 2 = 64. {\displaystyle {(2^{3})}^{2}=8^{2}=64.}

Złożone potęgowanie, zgodnie z regułami kolejności wykonywania działań, traktuje się jako prawostronnie łączne, np. 2 3 2 = 2 ( 3 2 ) . {\displaystyle 2^{3^{2}}=2^{(3^{2})}.}

Istnienie dwóch funkcji zawierających potęgę jako argument i dwóch funkcji odwrotnych wynika właśnie z nieprzemienności potęgowania. Zachodzą następujące wzory:

  • a r + s = a r a s , {\displaystyle a^{r+s}=a^{r}\cdot a^{s},}
  • ( a r ) s = a r s . {\displaystyle (a^{r})^{s}=a^{r\cdot s}.}

Jeżeli mnożenie jest przemienne, to zachodzi również

  • ( a b ) r = a r b r . {\displaystyle (a\cdot b)^{r}=a^{r}\cdot b^{r}.}

Jeżeli a s {\displaystyle a^{s}} jest elementem odwracalnym, to

  • a r s = a r a s . {\displaystyle a^{r-s}={\frac {a^{r}}{a^{s}}}.}

Dla r = 0 {\displaystyle r=0} powyższy wzór oznacza:

  • a s = 1 a s . {\displaystyle a^{-s}={\frac {1}{a^{s}}}.}

Jeżeli tak b , {\displaystyle b,} jak i b r {\displaystyle b^{r}} są odwracalne, to

  • ( a b ) r = a r b r . {\displaystyle \left({\frac {a}{b}}\right)^{r}={\frac {a^{r}}{b^{r}}}.}

Zero do potęgi zerowej | edytuj kod

Wykres z = | x | y ; {\displaystyle z=|x|^{y};} czerwone krzywe dają różne granice, gdy ( x , y ) {\displaystyle (x,y)} dąży do ( 0 , 0 ) , {\displaystyle (0,0),} podczas gdy wszystkie zielone krzywe dają w granicy 1.

Większość autorów zgadza się z zamieszczonymi w poniższych listach stwierdzeniami dotyczącymi 0 0 , {\displaystyle 0^{0},} lecz dochodzą do różnych wniosków, czy definiować wyrażenie 0 0 , {\displaystyle 0^{0},} czy też nie (zob. następną podsekcję).

W większości przypadków, które nie wykorzystują ciągłości (na przykład ograniczając się wyłącznie do wykładników całkowitych) interpretowanie 0 0 {\displaystyle 0^{0}} jako 1 {\displaystyle 1} upraszcza wzory i eliminuje konieczność rozważania przypadków szczególnych w twierdzeniach (por. przypadki niżej, które wykorzystują ciągłość). Na przykład:

  • postrzeganie 0 0 {\displaystyle 0^{0}} jako iloczynu pustego zer sugeruje wartość równą 1 ; {\displaystyle 1;}
  • interpretacją kombinatoryczną 0 0 {\displaystyle 0^{0}} jest liczba pustych krotek elementów zbioru pustego: istnieje dokładnie jedna pusta krotka;
  • równoważnie interpretacją teoriomnogościową 0 0 {\displaystyle 0^{0}} jest liczba funkcji ze zbioru pustego w zbiór pusty: istnieje dokładnie jedna taka funkcja – funkcja pusta[1];
  • znacząco upraszcza teorię wielomianów i szeregów potęgowych dzięki temu, iż wyraz wolny może być zapisany jako a x 0 {\displaystyle ax^{0}} dla dowolnego x , {\displaystyle x,} np.
    • wzór na współczynniki iloczynu wielomianów straciłby na prostocie, gdyby wyrazy wolne musiałyby być traktowane oddzielnie;
    • dla dzielników zera (elementów pierścieni spełniających a , b 0 , {\displaystyle a,b\neq 0,} ale a b = 0 {\displaystyle ab=0} ) z własności potęgowania otrzymuje się 1 = a 0 b 0 = ( a b ) 0 = 0 0 ; {\displaystyle 1=a^{0}b^{0}=(ab)^{0}=0^{0};}
    • tożsamości postaci 1 1 x = n = 0 x n {\displaystyle \textstyle {\tfrac {1}{1-x}}=\sum _{n=0}^{\infty }x^{n}} i e x = n = 0 x n n ! {\displaystyle \textstyle e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{\tfrac {x^{n}}{n!}}} nie są poprawne dla x = 0 , {\displaystyle x=0,} jeśli 0 0 1. {\displaystyle 0^{0}\neq 1.}
    • twierdzenie o dwumianie ( 1 + x ) n = k = 0 n ( n k ) x k {\displaystyle \textstyle (1+x)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}x^{k}} nie jest poprawne dla x = 0 , {\displaystyle x=0,} jeżeli 0 0 1 {\displaystyle 0^{0}\neq 1} [2];
  • w rachunku różniczkowym wzór na różniczkę jednomianu d d x x n = n x n 1 {\displaystyle {\tfrac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} x}}x^{n}=nx^{n-1}} nie jest poprawny dla n = 1 {\displaystyle n=1} w punkcie x = 0 , {\displaystyle x=0,} gdy 0 0 1. {\displaystyle 0^{0}\neq 1.}

Z drugiej strony 0 0 {\displaystyle 0^{0}} musi być uważane za wyrażenie nieoznaczone w kontekstach, gdzie wykładnik zmienia się w sposób ciągły:

  • jeżeli f ( t ) {\displaystyle f(t)} i g ( t ) {\displaystyle g(t)} są funkcjami o wartościach rzeczywistych zbiegającymi do 0 {\displaystyle 0} (gdy t {\displaystyle t} zbiega do liczby rzeczywistej bądź ± {\displaystyle \pm \infty } ), gdzie f ( t ) > 0 , {\displaystyle f(t)>0,} to funkcja f ( t ) g ( t ) {\displaystyle f(t)^{g(t)}} nie musi zbiegać do 1. {\displaystyle 1.} Rzeczywiście, w zależności od f {\displaystyle f} i g {\displaystyle g} granica f ( t ) g ( t ) {\displaystyle f(t)^{g(t)}} może być dowolną nieujemną liczbą rzeczywistą bądź + {\displaystyle +\infty } albo może być nieokreślona. Granice zawierające operacje algebraiczne mogą być często wyznaczone przez zamianę podwyrażeń ich granicami; jeśli wyrażenie wynikowe nie określa oryginalnej granicy, to wyrażenie nazywa się nieoznaczonym (ma postać nieoznaczoną)[3]
Przykładowo funkcje niżej są postaci f ( t ) g ( t ) , {\displaystyle f(t)^{g(t)},} gdzie f ( t ) , g ( t ) 0 {\displaystyle f(t),g(t)\to 0} dla t 0 + {\displaystyle t\to 0^{+}} (zob. granica jednostronna), ale ich granice nie są równe: lim t 0 + t t = 1 , lim t 0 + ( e 1 / t 2 ) t = 0 , lim t 0 + ( e 1 / t 2 ) t = + , lim t 0 + ( e 1 / t ) a t = e a . {\displaystyle \lim _{t\to 0^{+}}t^{t}=1,\quad \lim _{t\to 0^{+}}(e^{-1/t^{2}})^{t}=0,\quad \lim _{t\to 0^{+}}(e^{-1/t^{2}})^{-t}=+\infty ,\quad \lim _{t\to 0^{+}}(e^{-1/t})^{at}=e^{-a}.} Tak więc 0 0 {\displaystyle 0^{0}} jest wyrażeniem nieoznaczonym. Takie zachowanie pokazuje, że funkcja x y {\displaystyle x^{y}} dwóch zmiennych choć jest ciągłą na zbiorze { ( x , y ) : x > 0 } , {\displaystyle \{(x,y)\colon x>0\},} nie może być rozszerzona do funkcji ciągłej na dowolnym zbiorze zawierającym ( 0 , 0 ) , {\displaystyle (0,0),} nie ważne jak zdefiniuje się 0 0 {\displaystyle 0^{0}} [4].
  • Funkcja z z {\displaystyle z^{z}} jest określona dla niezerowych liczb zespolonych z {\displaystyle z} przez wybranie gałęzi log z {\displaystyle \log z} i przyjęcie z z := e z log z , {\displaystyle z^{z}:=e^{z\log z},} ponieważ nie ma gałęzi log z {\displaystyle \log z} zdefiniowanej w z = 0 , {\displaystyle z=0,} tylko w otoczeniu zera[5]. Nie istnieje funkcja holomorficzna określona w otoczeniu zera, która byłaby zgodna z z z {\displaystyle z^{z}} dla wszystkich dodatnich liczb rzeczywistych z . {\displaystyle z.}

Historia różnych punktów widzenia | edytuj kod

Różni autorzy interpretują powyższą sytuację na różne sposoby:

  • Niektórzy argumentują, że najlepsza wartość 0 0 {\displaystyle 0^{0}} zależy od kontekstu, przez co zdefiniowanie jej raz na zawsze jest problematyczne[6]. Zgodnie z przekonaniami Bensona (1999), „The choice whether to define 0 0 {\displaystyle 0^{0}} is based on convenience, not on correctness.[7] (Wybór czy definiować 0 0 {\displaystyle 0^{0}} jest podyktowany wygodą, a nie poprawnością).
  • Inni twierdzą, że 0 0 {\displaystyle 0^{0}} jest równe 1. {\displaystyle 1.} Zgodnie ze s. 408 pracy Knutha (1992), „[it] has to be 1 {\displaystyle 1} ” (musi być równa 1 {\displaystyle 1} ), choć kontynuuje on: „Cauchy had good reason to consider 0 0 {\displaystyle 0^{0}} as an undefined limiting form” (Cauchy miał dobry powód, by uważać 0 0 {\displaystyle 0^{0}} za nieokreśloną postać graniczną) oraz „in this much stronger sense, the value of 0 0 {\displaystyle 0^{0}} is less defined than, say, the value of 0 + 0 {\displaystyle 0+0} ” (w tym dużo silniejszym sensie wartość 0 0 {\displaystyle 0^{0}} jest słabiej określona, niż powiedzmy wartość 0 + 0 {\displaystyle 0+0} ; wyróżnienia oryginalne)[8]

Debata trwa od przynajmniej początków XVII wieku. Wówczas większość matematyków zgadzała się z tym, że 0 0 = 1 , {\displaystyle 0^{0}=1,} jednak w 1821 Cauchy[9] umieścił 0 0 {\displaystyle 0^{0}} wraz z wyrażeniami postaci 0 0 {\displaystyle {\tfrac {0}{0}}} w tablicy wyrażeń nieoznaczonych. W latach 30. XIX wieku Libri[10][11] opublikował nieprzekonujący dowód, iż 0 0 = 1 , {\displaystyle 0^{0}=1,} w czym wsparł go Möbius[12] błędnie twierdząc, że lim t 0 + f ( t ) g ( t ) = 1 , {\displaystyle \lim _{t\to 0^{+}}f(t)^{g(t)}=1,} jeżeli lim t 0 + f ( t ) = lim t 0 + g ( t ) = 0. {\displaystyle \lim _{t\to 0^{+}}f(t)=\lim _{t\to 0^{+}}g(t)=0.} Komentator, który podpisał się wyłącznie literą „S” podał kontrprzykład ( e 1 / t ) t {\displaystyle (e^{-1/t})^{t}} (który może być uzyskany z jednego z powyższych przykładów, przyjmując a = 1 {\displaystyle a=1} ), który uciszył na jakiś czas debatę z oczywistym wnioskiem, iż 0 0 {\displaystyle 0^{0}} nie powinno być definiowane. Więcej szczegółów można znaleźć w pracy Knutha (1992)[8].

Języki programowania i kalkulatory | edytuj kod

Wśród języków programowania komputerów, które przypisują 0 0 {\displaystyle 0^{0}} wartość 1 {\displaystyle 1} [13], można wymienić bc, Common Lisp, Haskell, J, Java, JavaScript, LISP, MATLAB, ML, Perl, PHP, Python, R, Ruby, Scheme czy SQL. W .NET Framework metoda System.Math.Pow traktuje 0 0 {\displaystyle 0^{0}} jak 1. {\displaystyle 1.}

Wśród aplikacji arkuszy kalkulacyjnych Microsoft Excel generuje błąd przy próbie wyznaczenia 0 0 , {\displaystyle 0^{0},} podczas gdy OpenOffice.org w wersji 3 zwraca 1. {\displaystyle 1.} Google Docs Spreadsheet również zwraca 1. {\displaystyle 1.}

Kalkulator systemu Microsoft Windows, Wyszukiwarka Google[14], Derive oraz PARI/GP obliczają 0 0 {\displaystyle 0^{0}} równe 1. {\displaystyle 1.}

Maple upraszcza a 0 {\displaystyle a^{0}} do 1 , {\displaystyle 1,} zaś 0 a {\displaystyle 0^{a}} do 0 {\displaystyle 0} nawet, gdy nie nałożono żadnych ograniczeń na a {\displaystyle a} (uproszczenia te są poprawne tylko dla a 0 {\displaystyle a\neq 0} ), z kolei 0 0 {\displaystyle 0^{0}} ma wartość 1. {\displaystyle 1.}

Mathematica upraszcza a 0 {\displaystyle a^{0}} do 1 {\displaystyle 1} nawet, gdy brak ograniczeń dla a . {\displaystyle a.} Nie upraszcza jednak 0 a {\displaystyle 0^{a}} i przyjmuje, iż 0 0 {\displaystyle 0^{0}} jest symbolem nieoznaczonym.

Sage upraszcza a 0 {\displaystyle a^{0}} do 1 {\displaystyle 1} nawet, jeżeli nie ograniczono w żaden sposób a . {\displaystyle a.} Nie upraszcza 0 a {\displaystyle 0^{a}} i przyjmuje, że 0 0 {\displaystyle 0^{0}} ma wartość 1. {\displaystyle 1.}

Kalkulatory TI-83 Plus i TI-84 zwracają błąd dziedziny (Domain Error) podczas rozwiązywania 0 0 , {\displaystyle 0^{0},} lecz TI-89 zwraca 1. {\displaystyle 1.} TI-89 Titanium zwraca wartość undef.

Notacja | edytuj kod

Jak wspomniano na początku, potęgowanie zapisuje się zwykle, umieszczając wykładnik w indeksie górnym za podstawą, np. x y . {\displaystyle x^{y}.} Gdy jednak ze względów technicznych nie można użyć indeksu górnego stosuje się często zapisy x   ^ y , {\displaystyle x{\hat {\ }}y,} x y {\displaystyle x**y} lub x y . {\displaystyle x\uparrow y.}

W przypadku, gdy podstawą potęgi jest liczba e {\displaystyle e} (podstawa logarytmu naturalnego), to zamiast zapisu e x {\displaystyle e^{x}} stosuje się często zapis exp ( x ) {\displaystyle \exp(x)} (pomijając niekiedy nawiasy), gdyż dla liczb rzeczywistych potęgi liczby e {\displaystyle e} pokrywają się z wartościami funkcji exp . {\displaystyle \exp .}

Funkcje | edytuj kod

Choć zapis f n ( x ) {\displaystyle f^{n}(x)} dla n N {\displaystyle n\in \mathbb {N} } może oznaczać ( f ( x ) ) n , {\displaystyle (f(x))^{n},} czyli potęgę obrazu (patrz niżej), to jednak jeśli przeciwdziedzina funkcji zawiera się w jej dziedzinie, to zapis f n ( x ) {\displaystyle f^{n}(x)} oznacza zwykle n {\displaystyle n} -krotne złożenie funkcji samej ze sobą, czyli jej n {\displaystyle n} -tą iterację, tzn.

f 3 = f f f {\displaystyle f^{3}=f\circ f\circ f}

lub dokładniej

f 3 ( x ) = f ( f ( f ( x ) ) ) . {\displaystyle f^{3}(x)=f(f(f(x))).}

Wtedy w szczególności, f 1 {\displaystyle f^{-1}} oznacza funkcję odwrotną do funkcji f , {\displaystyle f,} oznaczeniem tym zapisuje się również przeciwobraz funkcji. Ujemny, różny od -1, indeks górny oznacza już zwykle potęgę obrazu.

W przypadku funkcji trygonometrycznych i hiperbolicznych przyjęła się konwencja według której sin n x {\displaystyle \sin ^{n}x} oznacza ( sin x ) n {\displaystyle (\sin x)^{n}} dla n > 0 {\displaystyle n>0} oraz sin 1 x = arcsin x . {\displaystyle \sin ^{-1}x=\arcsin x.} Podobna umowa obowiązuje w przypadku logarytmu: log 3 ( x ) = ( log x ) 3 . {\displaystyle \log ^{3}(x)=(\log x)^{3}.}

Z kolei podobny zapis f ( n ) ( x ) {\displaystyle f^{(n)}(x)} oznacza najczęściej n {\displaystyle n} -tą pochodną funkcji.

Programowanie | edytuj kod

Niżej znajdują się oznaczenia potęgowania stosowane w niektórych językach programowania:

Choć w języku (Turbo) Pascal nie ma standardowej funkcji potęgowania, można ją zdefiniować następująco:

function power(x, y : real) : real; begin power := exp(ln(abs(x))*y); end; 

Uogólnienia | edytuj kod

Macierze | edytuj kod

 Osobne artykuły: potęgowanie macierzyeksponenta macierzy.

Potęgę naturalną, a nawet całkowitą, łatwo zdefiniować dla macierzy kwadratowych, naśladując powyższe obserwacje: jest to wielokrotne mnożenie dla wykładników dodatnich i odwracanie dla wykładników ujemnych. Podniesienie dowolnej macierzy do potęgi zerowej to zgodnie z oczekiwaniami macierz jednostkowa.

Dla macierzy kwadratowych można określić funkcję exp {\displaystyle \exp } wzorem

exp A = k = 0 A k k ! . {\displaystyle \exp \mathbf {A} =\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {\mathbf {A} ^{k}}{k!}}.}

Tak jak dla liczby rzeczywistych czy zespolonych, szereg ten jest zawsze zbieżny. Obliczanie funkcji wykładniczej macierzy ma zastosowanie przy rozwiązywaniu równań różniczkowych liniowych.

Dla macierzy diagonalnych wystarczy obliczyć wartości exp x {\displaystyle \exp x} na przekątnej: jeżeli

A = a 1 0 0 0 a 2 0 0 0 a n , {\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{bmatrix}a_{1}&0&\ldots &0\\0&a_{2}&\ldots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\ldots &a_{n}\end{bmatrix}},}

to

exp A = e a 1 0 0 0 e a 2 0 0 0 e a n . {\displaystyle \exp \mathbf {A} ={\begin{bmatrix}e^{a_{1}}&0&\ldots &0\\0&e^{a_{2}}&\ldots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\ldots &e^{a_{n}}\end{bmatrix}}.}

Jeżeli A = U D U 1 {\displaystyle \mathbf {A} =\mathbf {UDU} ^{-1}} i D {\displaystyle \mathbf {D} } jest diagonalna, to:

exp A = U exp ( D ) U 1 {\displaystyle \exp \mathbf {A} =\mathbf {U} \exp(\mathbf {D} )\mathbf {U} ^{-1}}

Dla macierzy nilpotentnej N {\displaystyle \mathbf {N} } wartość exp N {\displaystyle \exp \mathbf {N} } można obliczyć bezpośrednio z rozwinięcia na szereg potęgowy, gdyż zawiera on tylko skończenie wiele wyrazów:

exp N = I + N + 1 2 ! N 2 + 1 3 ! N 3 + + 1 ( q 1 ) ! N q 1 , {\displaystyle \exp \mathbf {N} =\mathbf {I} +\mathbf {N} +{\tfrac {1}{2!}}\mathbf {N} ^{2}+{\tfrac {1}{3!}}\mathbf {N} ^{3}+\dots +{\tfrac {1}{(q-1)!}}\mathbf {N} ^{q-1},}

jeśli k q N k = 0 . {\displaystyle \forall _{k\geqslant q}\;\mathbf {N} ^{k}=\mathbf {0} .}

Zbiory i liczby kardynalne | edytuj kod

Zapis A n , {\displaystyle A^{n},} gdzie A {\displaystyle A} jest zbiorem, a n {\displaystyle n} liczbą naturalną oznacza najczęściej n {\displaystyle n} -krotny iloczyn kartezjański zbioru A . {\displaystyle A.}

Zapis A B , {\displaystyle A^{B},} gdzie A {\displaystyle A} i B {\displaystyle B} są zbiorami, oznacza zbiór wszystkich funkcji f {\displaystyle f} o dziedzinie B {\displaystyle B} i przeciwdziedzinie A . {\displaystyle A.} Zastępując zbiory ich mocami, otrzymuje się definicje potęgowania liczb kardynalnych.

Wielokrotne potęgowanie | edytuj kod

 Osobny artykuł: notacja strzałkowa.

Zastosowania | edytuj kod

Potęgi liczby 10 to liczby kończące się pewną liczbą zer. Dla skrócenia ich zapisu stosuje się tzw. przedrostki układu SI, w szczególności w notacji naukowej do zapisywania wielkich liczb i wielkości fizycznych.

Z racji konstrukcji współczesnych komputerów w informatyce często spotyka się potęgi liczby 2. Na przykład 2 n {\displaystyle 2^{n}} jest liczbą możliwych wartości zmiennej składającej się z n {\displaystyle n} bitów (każdy bit może mieć wartość 0 lub 1, razem jest ich n {\displaystyle n} ). Z tego powodu zwykle operuje się też wielokrotnościami liczby 2 (bądź jej pewnej potęgi). Osiem bitów tworzy oktet (lub bajt), szesnaście – słowo. Większe wartości również są wielokrotnościami liczby 2, nie zaś 10, jak wskazywałyby ich nazwy, np. kilobajt to 1 024, a nie 1 000 bajtów (Dla odróżnienia tych wielkości opracowano tzw. przedrostki dwójkowe).

Funkcji wykładnicza exp , {\displaystyle \exp ,} czyli funkcja wykładnicza o podstawie e , {\displaystyle e,} jest szeroko stosowana w matematyce, pojawiając się szczególnie często w analizie matematycznej czy rachunku prawdopodobieństwa.

Potęgowanie modulo jest używane w kryptografii, np. w algorytmie RSA.

Algorytmika | edytuj kod

Złożoność obliczeniowa naiwnego algorytmu potęgowania (zob. wzór po (2)) wynosi O ( n ) . {\displaystyle \operatorname {O} (n).} Istnieje znacznie szybszy algorytm, nazywany algorytmem szybkiego potęgowania, korzystający z metody dziel i zwyciężaj, którego złożoność obliczeniowa jest rzędu O ( log n ) . {\displaystyle \operatorname {O} (\log n).}

Historia | edytuj kod

Współczesny symbol potęgowania został wprowadzony przez Kartezjusza w dziele Geometria[15]. Oprócz współczesnej notacji Kartezjusz używał także zapisu wykładnika dokładnie nad wyrażeniem, które podnosił do potęgi[15].

Dawniej stosowano nazwy potęg oparte na kwadracie i sześcianie[16]:

 Ta sekcja jest niekompletna. Jeśli możesz, rozbuduj ją.

Zobacz też | edytuj kod

Uwagi | edytuj kod

  1. Zapis potęgowania przy użyciu indeksu górnego wprowadził Kartezjusz w XVII wieku.
  2. Lub: jedyną mierzalną w sensie Lebesgue’a.
  3. Można też przyjąć inną definicję, np. ln ( x ) = 1 x d t t . {\displaystyle \ln(x)=\int _{1}^{x}{\tfrac {dt}{t}}.}
  4. Liczba niewymierna podniesiona do potęgi niewymiernej może dać w wyniku liczbę wymierną, np. 2 2 {\displaystyle {\sqrt {2}}^{\sqrt {2}}} może być wymierna, jeśli nie jest, to na mocy twierdzenia Gelfonda-Schneidera wymierna jest liczba ( 2 2 ) 2 = 2 2 . {\displaystyle ({\sqrt {2}}^{\sqrt {2}})^{\sqrt {2}}={\sqrt {2}}^{2}.}
  5. Zob. twierdzenie Gelfonda-Schneidera.
  6. Potęga ujemnej liczby rzeczywistej wymaga osobnego potraktowania.
    Potęgę a n {\displaystyle a^{n}} w ogólnym przypadku należy traktować jako e n ln a . {\displaystyle e^{n\ln a}.} Jednak gdy wykładnik jest wymierny i jego mianownik jest nieparzysty można napisać a k / ( 2 n + 1 ) = a k 2 n + 1 , {\displaystyle a^{k/(2n+1)}={\sqrt[{2n+1}]{a^{k}}},} gdzie pierwiastek jest pierwiastkiem arytmetycznym. Obejmuje to także wykładniki całkowite.
    W przeciwnym wypadku potęga nie jest liczbą rzeczywistą. Dla wykładników postaci 1 / ( 2 n ) {\displaystyle 1/(2n)} można przyjąć: a 1 2 n = ± i a 2 n . {\displaystyle a^{\frac {1}{2n}}=\pm i{\sqrt[{2n}]{-a}}.} Zauważmy, że ta potęga ma dwie wartości (tworzą one wraz z pozostałymi pierwiastek algebraiczny).

Przypisy | edytuj kod

  1. N. Bourbaki, Elements of Mathematics, Theory of Sets, Springer-Verlag, 2004, III. § 3.5.
  2. „Some textbooks leave the quantity 0 0 {\displaystyle 0^{0}} undefined, because the functions x 0 {\displaystyle x^{0}} and 0 x {\displaystyle 0^{x}} have different limiting values when x {\displaystyle x} decreases to 0. {\displaystyle 0.} But this is a mistake. We must define x 0 = 1 , {\displaystyle x^{0}=1,} for all x , {\displaystyle x,} if the binomial theorem is to be valid when x = 0 , y = 0 , {\displaystyle x=0,y=0,} and/or x = y . {\displaystyle x=-y.} The binomial theorem is too important to be arbitrarily restricted! By contrast, the function 0 x {\displaystyle 0^{x}} is quite unimportant” (Niektóre podręczniki pozostawiają wielkość 0 0 {\displaystyle 0^{0}} niezdefiniowaną, ponieważ funkcje x 0 {\displaystyle x^{0}} i 0 x {\displaystyle 0^{x}} mają inne wartości w granicy dla x {\displaystyle x} malejącego do 0. {\displaystyle 0.} Jest to jednak błąd. Musimy zdefiniować x 0 = 1 {\displaystyle x^{0}=1} dla wszystkich x , {\displaystyle x,} jeżeli twierdzenie o dwumianie ma być poprawne dla x = 0 , y = 0 , {\displaystyle x=0,y=0,} czy x = y . {\displaystyle x=-y.} Twierdzenie o dwumianie jest zbyt ważne, by było jakkolwiek ograniczane! Z drugiej strony funkcja 0 x {\displaystyle 0^{x}} jest dość mało ważna)Binomial coefficients. W: Ronald Graham, Donald Knuth, Oren Patashnik: Matematyka konkretna. Wyd. pierwsze. Addison Wesley Longman Publishing Co, 1989-01-05, s. 162. ISBN 0-201-14236-8.
  3. S.C. Malik, Savita Arora: Mathematical Analysis. New York: Wiley, 1992, s. 223. ISBN 978-8122403237. Cytat: In general the limit of φ ( x ) / ψ ( x ) {\displaystyle \varphi (x)/\psi (x)} when x = a {\displaystyle x=a} in case the limits of both the functions exist is equal to the limit of the numerator divided by the denominator. But what happens when both limits are zero? The division ( 0 / 0 ) {\displaystyle (0/0)} then becomes meaningless. A case like this is known as an indeterminate form. Other such forms are / , 0 × , , 0 0 , 1 {\displaystyle \infty /\infty ,\;0\times \infty ,\;\infty -\infty ,\;0^{0},\;1^{\infty }} and 0 {\displaystyle \infty ^{0}} (W ogólności granica φ ( x ) / ψ ( x ) {\displaystyle \varphi (x)/\psi (x)} dla x = a {\displaystyle x=a} w przypadku, gdy granice obu funkcji są równe granicy licznika podzielonego przez mianownik. Co dzieje się, gdy obie granice są zerowe? Dzielenie ( 0 / 0 ) {\displaystyle (0/0)} traci wtedy sens. Każdy przypadek podobny do poprzedniego nazywa się postacią nieoznaczoną. Innymi postaciami tego typu są / , 0 × , , 0 0 , 1 {\displaystyle \infty /\infty ,\;0\times \infty ,\;\infty -\infty ,\;0^{0},\;1^{\infty }} oraz 0 {\displaystyle \infty ^{0}} ).
  4. L.J. Paige. A note on indeterminate forms. „American Mathematical Monthly”. 61 (3), s. 189–190, marzec 1954. DOI: 10.2307/2307224
  5. (…) Let’s start at x = 0. {\displaystyle x=0.} Here x x {\displaystyle x^{x}} is undefined.” (Zacznijmy od x = 0. {\displaystyle x=0.} x x {\displaystyle x^{x}} jest tutaj nieokreślone.”) Mark D. Meyerson, The Xx Spindle, „Mathematics Magazine” 69, nr 3 (czerwiec 1996), s. 198–206.
  6. Wśród przykładów można wymienić Edwardsa i Penny’ego (1994). Calculus, wyd. IV, Prentice-Hall, s. 466 oraz Keedy’ego, Bittingera i Smitha (1982). Algebra Two. Addison-Wesley, s. 32.
  7. Donald C. Benson, The Moment of Proof: Mathematical Epiphanies. New York Oxford University Press (UK), 1999. ​ISBN 978-0-19-511721-9​.
  8. a b Donald E. Knuth, Two notes on notation, „Amer. Math. Monthly” 99 nr 5 (maj 1992), s. 403–422.
  9. Augustin-Louis Cauchy, Cours d’Analyse de l’École Royale Polytechnique (1821). W jego Oeuvres Complètes, seria 2, tom 3.
  10. Guillaume Libri, Note sur les valeurs de la fonction 00x, „Journal für die reine und angewandte Mathematik” 6 (1830), 67–72.
  11. Guillaume Libri, Mémoire sur les fonctions discontinues, „Journal für die reine und angewandte Mathematik” 10 (1833), 303–316.
  12. A.F. Möbius, Beweis der Gleichung 0 0 = 1 , {\displaystyle 0^{0}=1,} nach J.F. Pfaff, „Journal für die reine und angewandte Mathematik” 12 (1834), 134–136.
  13. For example, see JohnJ. Benito JohnJ., Rationale for International Standard – Programming Languages – C, 2003, s. 182 .
  14. 0^0 – Recherche Google, www.google.co.uk [dostęp 2017-11-26]  (fr.).
  15. a b Kartezjusz, Geometria, tłumaczenie i komentarz: Piotr Błaszczyk, Kazimierz Mrówka, TAiWPN Uniwersitas, Kraków 2015, ​ISBN 978-83-242-2759-4​, s. 15.
  16. Christian Wolff: Elementa matheseos universae. 1742.
Na podstawie artykułu: "Potęgowanie" pochodzącego z Wikipedii
OryginałEdytujHistoria i autorzy