Powierzchnia drugiego stopnia


Kwadryka w encyklopedii

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii (Przekierowano z Powierzchnia drugiego stopnia) Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Kwadryka lub powierzchnia drugiego stopniapowierzchnia dana równaniem drugiego stopnia ze względu na współrzędne x ,   y ,   z : {\displaystyle x,\ y,\ z{:}}

a 11 x 2 + a 22 y 2 + a 33 z 2 + 2 a 12 x y + 2 a 23 y z + 2 a 13 z x + 2 a 14 x + 2 a 24 y + 2 a 34 z + a 44 = 0 , ( 1 ) {\displaystyle a_{11}x^{2}+a_{22}y^{2}+a_{33}z^{2}+2a_{12}xy+2a_{23}yz+2a_{13}zx+2a_{14}x+2a_{24}y+2a_{34}z+a_{44}=0,\qquad (1)}

gdzie:

a 11 , a 22 , a 33 , a 12 , a 23 , a 13 , a 14 , a 24 , a 34 , a 44 R , {\displaystyle a_{11},a_{22},a_{33},a_{12},a_{23},a_{13},a_{14},a_{24},a_{34},a_{44}\in \mathbb {R} ,}

przy czym nie zachodzi

a 11 = a 22 = a 33 = a 12 = a 23 = a 13 = 0 {\displaystyle a_{11}=a_{22}=a_{33}=a_{12}=a_{23}=a_{13}=0}

(przynajmniej jeden z powyższych współczynników musi być różny od zera).

W zależności od wartości współczynników a i j {\displaystyle a_{ij}} kwadryka może należeć do jednego z wielu typów, różniących się właściwościami.

Spis treści

Wykresy i równania kanoniczne | edytuj kod

Poprzez odpowiednie przekształcenie układu współrzędnych można równanie kwadryki sprowadzić do postaci kanonicznej, charakterystycznej dla jednego z wymienionych niżej 17 typów.

W poniższych wzorach a , b , c R + . {\displaystyle a,b,c\in \mathbb {R} _{+}.}

Ostatnie kilka przypadków opisuje kwadryki zdegenerowane, w których dla kanonicznego układu współrzędnych znika co najmniej jedna ze współrzędnych. Niektórzy autorzy nie zaliczają ich do kwadryk. W tym sensie także walce są przypadkami zdegenerowanymi, gdyż można je przedstawić w postaci zawierającej tylko dwie współrzędne. Ponadto warto zauważyć, że niektóre z tych zdegenerowanych kwadryk nie są powierzchniami (prosta, punkt, zbiór pusty).

Postać macierzowa równania | edytuj kod

Równanie kwadryki można też przedstawić w postaci macierzowej:

x T A x + 2 a T x + a 44 = 0 , {\displaystyle \mathbf {x} ^{T}\cdot \mathbf {A} \cdot \mathbf {x} +2\mathbf {a} ^{T}\cdot \mathbf {x} +a_{44}=0,}

gdzie:

A = a 11 a 12 a 13 a 12 a 22 a 23 a 13 a 23 a 33 {\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{12}&a_{22}&a_{23}\\a_{13}&a_{23}&a_{33}\end{bmatrix}}} a = a 14 a 24 a 34 {\displaystyle \mathbf {a} ={\begin{bmatrix}a_{14}\\a_{24}\\a_{34}\end{bmatrix}}} x = x y z {\displaystyle \mathbf {x} ={\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}}}

Niezmienniki | edytuj kod

Poniższe wielkości nie zmieniają się przy zmianie początku układu współrzędnych i rotacji jego osi (równoważnie: przy przesuwaniu i obracaniu powierzchni względem układu współrzędnych):

Δ = | a 11 a 12 a 13 a 14 a 12 a 22 a 23 a 24 a 13 a 23 a 33 a 34 a 14 a 24 a 34 a 44 | {\displaystyle \Delta =\left|{\begin{matrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}&a_{14}\\a_{12}&a_{22}&a_{23}&a_{24}\\a_{13}&a_{23}&a_{33}&a_{34}\\a_{14}&a_{24}&a_{34}&a_{44}\end{matrix}}\right|} δ = det A = | a 11 a 12 a 13 a 12 a 22 a 23 a 13 a 23 a 33 | {\displaystyle \delta =\det A=\left|{\begin{matrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{12}&a_{22}&a_{23}\\a_{13}&a_{23}&a_{33}\end{matrix}}\right|} S = a 11 + a 22 + a 33 {\displaystyle S=a_{11}+a_{22}+a_{33}} T = a 22 a 33 + a 33 a 11 + a 11 a 22 a 23 2 a 13 2 a 12 2 {\displaystyle T=a_{22}a_{33}+a_{33}a_{11}+a_{11}a_{22}-a_{23}^{2}-a_{13}^{2}-a_{12}^{2}}

Określenie typu na podstawie współczynników | edytuj kod

Korzystając ze znaku niezmienników można określić typ powierzchni danej równaniem (1) niezależnie od jej położenia w układzie współrzędnych.

  • δ 0 {\displaystyle \delta \neq 0} tzw. powierzchnie środkowe:
    • Δ < 0 : {\displaystyle \Delta <0{:}}
    • Δ > 0 : {\displaystyle \Delta >0{:}}
    • Δ = 0 : {\displaystyle \Delta =0{:}}
      • S δ > 0 ,   T > 0 {\displaystyle S\delta >0,\ T>0} pojedynczy punkt (tzw. stożek urojony)
      • S δ > 0 ,   T < 0 {\displaystyle S\delta >0,\ T<0} powierzchnia stożkowa
      • S δ < 0 ,   T > 0 {\displaystyle S\delta <0,\ T>0} powierzchnia stożkowa
  • δ = 0 : {\displaystyle \delta =0{:}}
    • Δ 0 {\displaystyle \Delta \neq 0} paraboloidy:
    • Δ = 0 : {\displaystyle \Delta =0{:}}
      • | a 11 a 12 a 14 a 12 a 22 a 24 a 14 a 24 a 44 | + | a 11 a 13 a 14 a 13 a 33 a 34 a 14 a 34 a 44 | + | a 22 a 23 a 24 a 23 a 33 a 34 a 24 a 34 a 44 | = 0 {\displaystyle \left|{\begin{matrix}a_{11}&a_{12}&a_{14}\\a_{12}&a_{22}&a_{24}\\a_{14}&a_{24}&a_{44}\end{matrix}}\right|+\left|{\begin{matrix}a_{11}&a_{13}&a_{14}\\a_{13}&a_{33}&a_{34}\\a_{14}&a_{34}&a_{44}\end{matrix}}\right|+\left|{\begin{matrix}a_{22}&a_{23}&a_{24}\\a_{23}&a_{33}&a_{34}\\a_{24}&a_{34}&a_{44}\end{matrix}}\right|=0}
        przypadek zdegenerowany (suma dwóch płaszczyzn, jedna płaszczyzna, prosta lub zbiór pusty)
      • w przeciwnym wypadku powierzchnia walcowa oparta na krzywej stożkowej:

Bibliografia | edytuj kod

  • I.N. Bronsztejn, K.A. Siemiendiajew: Matematyka – Poradnik encyklopedyczny. Wyd. 6. Warszawa: PWN, 1976, s. 299–301.

Linki zewnętrzne | edytuj kod

Na podstawie artykułu: "Powierzchnia drugiego stopnia" pochodzącego z Wikipedii
OryginałEdytujHistoria i autorzy