Prędkość


Prędkość w encyklopedii

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Prędkość to wektorowa wielkość fizyczna wyrażająca zmianę wektora położenia punktu w jednostce czasu[1]. Jednostka prędkości w układzie SI to metr na sekundę.

Spis treści

Definicje prędkości | edytuj kod

Prędkość w ruchu prostoliniowym | edytuj kod

Dla ruchu wzdłuż prostej prędkość definiuje się jako pochodną drogi po czasie, czyli granicę przyrostów przesunięcia do przyrostu czasu w jakim nastąpił ten przyrost, dla nieskończenie małego przyrostu czasu:

v = d x d t = lim Δ t 0 Δ x Δ t . {\displaystyle v={\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}=\lim _{\Delta t\to 0}{\frac {\Delta x}{\Delta t}}.}

Prędkość ta zwana jest prędkością chwilową, w przeciwieństwie do prędkości średniej wyznaczonej dla dłuższego odcinka.

Prędkość średnia wektorowa | edytuj kod

Prędkość wektorowa średnia określa szybkość zmiany wektora położenia w dłuższym czasie i definiuje się jako:

v s = Δ r Δ t . {\displaystyle {\vec {v}}_{s}={\frac {{\Delta }{\vec {r}}}{\Delta t}}.}

Wynikającą z tego zmianę położenia określa wzór:

Δ r = v s Δ t . {\displaystyle \Delta {\vec {r}}={\vec {v}}_{s}\cdot \Delta t.}

Prędkość jako wielkość niewektorowa | edytuj kod

W wielu przypadkach prędkość rozumiana jest jako stosunek drogi do czasu jej przebycia. Tak jest rozumiana intuicyjnie, a także w wielu problemach fizycznych.

Przy czym droga jest rozumiana jako długość odcinka krzywej (toru), po której porusza się ciało, od punktu początkowego do końcowego ruchu.

Prędkość chwilowa:

v = d s d t = | v | . {\displaystyle v={\frac {ds}{dt}}=|{\vec {v}}|.}

Prędkość chwilowa niewektorowa jest równa modułowi (wartości) prędkości chwilowej wektorowej.

Droga zależy od prędkości chwilowej:

s = t 0 t 1 v ( t ) d t = t 0 t 1 d s ( t ) . {\displaystyle s=\int \limits _{t_{0}}^{t_{1}}v(t)\;dt=\int \limits _{t_{0}}^{t_{1}}\;ds(t).}

Stąd też zależność na prędkość średnią:

v s = t 0 t 1 d s ( t ) t 1 t 0 , {\displaystyle v_{s}={\frac {\int \limits _{t_{0}}^{t_{1}}\;ds(t)}{t_{1}-t_{0}}},} v s = s t | v s | . {\displaystyle v_{s}={\frac {s}{t}}\geqslant |{\vec {v}}_{s}|.}

Średnia prędkość niewektorowa jest większa lub równa modułowi średniej prędkości wektorowej.

Prędkość w różnych układach współrzędnych | edytuj kod

Dowolne współrzędne krzywoliniowe | edytuj kod

Z definicji prędkość v {\displaystyle \mathbf {v} } jest równa pochodnej promienia wodzącego r {\displaystyle \mathbf {r} } względem czasu: v = r ˙ . {\displaystyle \mathbf {v} ={\dot {\mathbf {r} }}.} Aby wyrazić prędkość we współrzędnych krzywoliniowych, obliczamy tę pochodną według reguły różniczkowania funkcji złożonej, mając na uwadze, że promień wodzący r {\displaystyle \mathbf {r} } poruszającego się punktu można uważać[1] za funkcję współrzędnych krzywoliniowych q 1 , q 2 , q 3 {\displaystyle q_{1},q_{2},q_{3}} tego punktu, które z kolei są pewnymi funkcjami czasu t : {\displaystyle t:}

Stąd mamy

oraz

gdzie wskaźniki σ {\displaystyle \sigma } i ρ {\displaystyle \rho } przebiegają niezależnie od siebie wszystkie wartości od 1 do 3. W przypadku układu ortogonalnego jest[1]

r q σ r q ρ = 0 {\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial q_{\sigma }}}{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial q_{\rho }}}=0\quad } dla q σ q ρ {\displaystyle \quad q_{\sigma }\neq q_{\rho }}

i dzięki temu

Jeżeli promień wodzący r {\displaystyle \mathbf {r} } przedstawimy jako funkcję zmiennych x , y , z , {\displaystyle x,\,y,\,z,} to wzory na prędkość v 2 {\displaystyle v^{2}} przybiorą postać[1]

Zdefiniujmy wersory e 1 , e 2 , e 3 {\displaystyle \mathbf {e} _{1},\mathbf {e} _{2},\mathbf {e} _{3}} osi q 1 , q 2 , q 3 {\displaystyle q_{1},q_{2},q_{3}} wzorem

Prędkość można teraz zapisać w postaci

w której | r / q σ | q ˙ σ {\displaystyle |\partial \mathbf {r} /\partial q_{\sigma }|{\dot {q}}_{\sigma }} jest składową prędkości v {\displaystyle \mathbf {v} } wzdłuż osi q σ . {\displaystyle q_{\sigma }.} Prostopadły rzut prędkości v {\displaystyle \mathbf {v} } na oś q σ {\displaystyle q_{\sigma }} jest równy

Ze wzoru (3) wynika równość

r q σ = v q ˙ σ {\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial q_{\sigma }}}={\frac {\partial \mathbf {v} }{\partial {\dot {q}}_{\sigma }}}}

skąd wynika, że

v r q σ = v v q ˙ σ = ( v 2 / 2 ) q ˙ σ . {\displaystyle \mathbf {v} {\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial q_{\sigma }}}=\mathbf {v} {\frac {\partial \mathbf {v} }{\partial {\dot {q}}_{\sigma }}}={\frac {\partial (v^{2}/2)}{\partial {\dot {q}}_{\sigma }}}.}

Na rzut prostopadły prędkości otrzymujemy wzór[1]

Układ współrzędnych kartezjańskich | edytuj kod

Trzy składowe prędkości (w przestrzeni R 3 {\displaystyle \,R^{3}\!} ) lub dwie (na płaszczyźnie) wyrażone są takimi samymi wzorami jak prędkości w ruchu prostoliniowym, przy czym drogą jest w tym przypadku współrzędna danej osi

v x = d x d t v y = d y d t v z = d z d t . {\displaystyle v_{x}={\frac {dx}{dt}}\qquad v_{y}={\frac {dy}{dt}}\qquad v_{z}={\frac {dz}{dt}}.}

Prędkość całkowitą można wyznaczyć z jej składowych

v = v x , v y , v z {\displaystyle {\vec {v}}=[v_{x},v_{y},v_{z}]}

lub z użyciem wersorów osi

v = v x i x + v y i y + v z i z . {\displaystyle {\vec {v}}=v_{x}\cdot {\vec {i}}_{x}+v_{y}\cdot {\vec {i}}_{y}+v_{z}\cdot {\vec {i}}_{z}.}

Wartość prędkości dana jest wzorem:

v = v x 2 + v y 2 + v z 2 . {\displaystyle v={\sqrt {v_{x}^{2}+v_{y}^{2}+v_{z}^{2}}}.}

Układ współrzędnych biegunowych | edytuj kod

W układzie współrzędnych biegunowych na płaszczyźnie występują dwie składowe prędkości:

  • prędkość radialna, czyli prędkość zmiany długości promienia wodzącego
v r = d r d t , {\displaystyle v_{r}={\frac {dr}{dt}},}
  • prędkość transwersalna – prędkość zmiany położenia w kierunku prostopadłym do promienia wodzącego
v φ = r d φ d t , {\displaystyle v_{\varphi }=r{\frac {d\varphi }{dt}},}

gdzie φ {\displaystyle \;\varphi \;} jest kątem mierzonym od ustalonego kierunku.

Prędkość całkowita:

v = v r i r + v φ i φ . {\displaystyle {\vec {v}}=v_{r}\cdot {\vec {i}}_{r}+v_{\varphi }\cdot {\vec {i}}_{\varphi }.}

Wartość prędkości całkowitej:

v = v r 2 + v φ 2 . {\displaystyle v={\sqrt {v_{r}^{2}+v_{\varphi }^{2}}}.}

Układ współrzędnych walcowych | edytuj kod

Podobnie jak dla współrzędnych biegunowych, tylko dochodzi jedna współrzędna w kierunku osi z : {\displaystyle z{:}} v z = d z d t . {\displaystyle v_{z}={\frac {dz}{dt}}.}

Prędkość całkowita:

v = v r i r + v ϕ i ϕ + v z i z . {\displaystyle {\vec {v}}=v_{r}\cdot {\vec {i}}_{r}+v_{\phi }\cdot {\vec {i}}_{\phi }+v_{z}\cdot {\vec {i}}_{z}.}

Wartość prędkości całkowitej:

v = v r 2 + v ϕ 2 + v z 2 . {\displaystyle v={\sqrt {v_{r}^{2}+v_{\phi }^{2}+v_{z}^{2}}}.}

Układ współrzędnych sferycznych | edytuj kod

We współrzędnych sferycznych występują dwie prędkości prostopadłe do promienia

v ϕ = r d ϕ d t , {\displaystyle v_{\phi }=r{\frac {d\phi }{dt}},}

gdzie ϕ {\displaystyle \;\phi \;} jest kątem mierzonym od ustalonego kierunku, np. od osi (0Z)

v θ = r sin ϕ d θ d t , {\displaystyle v_{\theta }=r\sin \phi \cdot {\frac {d\theta }{dt}},}

gdzie kąt θ {\displaystyle \;\theta \;} jest kątem, jaki tworzy rzut wektora wodzącego z ustalonym kierunkiem na płaszczyźnie prostopadłej do kierunku pierwszej osi (0Z). Tym kierunkiem może być oś 0X.

Prędkość całkowita:

v = v r i r + v ϕ i ϕ + v θ i θ . {\displaystyle {\vec {v}}=v_{r}\cdot {\vec {i}}_{r}+v_{\phi }\cdot {\vec {i}}_{\phi }+v_{\theta }\cdot {\vec {i}}_{\theta }.}

Wartość prędkości całkowitej:

v = v r 2 + v ϕ 2 + v θ 2 . {\displaystyle v={\sqrt {v_{r}^{2}+v_{\phi }^{2}+v_{\theta }^{2}}}.}

Prędkość kątowa | edytuj kod

 Osobny artykuł: Prędkość kątowa.

W ruchach krzywoliniowych definiowana jest prędkość kątowa

ω = d φ d t , {\displaystyle \omega ={\frac {d\varphi }{dt}},}

gdzie φ {\displaystyle \;\varphi \;} jest kątem obrotu wokół pewnej osi ustalonej osi. Traktując φ {\displaystyle \;\varphi \;} jako kąt skierowany, można przypisać prędkości kątowej kierunek osi obrotu i zwrot zgodny z regułą śruby prawoskrętnej

ω = d φ d t . {\displaystyle {\vec {\omega }}={\frac {d{\vec {\varphi }}}{dt}}.}

Tak zdefiniowana prędkość kątowa jest pseudowektorem. Pomiędzy prędkością kątową, a prędkością transwersalną zachodzi następujący związek

v φ = ω × r . {\displaystyle {\vec {v}}_{\varphi }={\vec {\omega }}\times {\vec {r}}.}

Przykłady prędkości w różnych rodzajach ruchów | edytuj kod

Zmiany prędkości są podstawą klasyfikacji ruchów w fizyce.

Prędkość liniowa w ruchu jednostajnym prostoliniowym | edytuj kod

Prędkość w ruchu jednostajnym prostoliniowym jest stała (zarówno jej kierunek i wartość). Przyjmuje się odtąd, że do położenia ciała wystarczy jedna współrzędna x . {\displaystyle x.} Każdy ruch prostoliniowy można przez odpowiednie obroty układu współrzędnych, sprowadzić do przypadku jednowymiarowego. Prędkość w ruchu jednostajnym prostoliniowym określa więc następująca zależność:

v = Δ r Δ t = x ( T ) x ( 0 ) T i x , {\displaystyle {\vec {v}}={\frac {\Delta {\vec {r}}}{\Delta t}}={\frac {x(T)-x(0)}{T}}{\vec {i}}_{x},} | v | = x ( T ) x ( 0 ) T = S T = const , {\displaystyle |{\vec {v}}|={\frac {x(T)-x(0)}{T}}={\frac {S}{T}}={\textrm {const}},}

gdzie:

r ( t ) {\displaystyle {\vec {r}}(t)} – wektor położenia jako funkcja czasu t , {\displaystyle t,} S {\displaystyle S} – przebyta droga, T {\displaystyle T} – czas trwania ruchu, x ( t ) {\displaystyle x(t)} – funkcja położenia (skalar) od czasu.

Prędkość liniowa w ruchu jednostajnie przyspieszonym | edytuj kod

Przyspieszenie a {\displaystyle \;{\vec {a}}\;} jest stałe i niezerowe, więc prędkość v {\displaystyle \;{\vec {v}}\;} zmienia się. W ruchu tym także można ograniczyć się do rozpatrywania jednej współrzędnej.

a = Δ v Δ t Δ v = a Δ t , {\displaystyle {\vec {a}}={\frac {\Delta {\vec {v}}}{\Delta t}}\quad \to \quad \Delta {\vec {v}}={\vec {a}}\Delta t,} v ( T ) v ( 0 ) = a T v ( T ) = v ( 0 ) + a T , {\displaystyle {\vec {v}}(T)-{\vec {v}}(0)={\vec {a}}T\quad \to \quad {\vec {v}}(T)={\vec {v}}(0)+{\vec {a}}T,}

gdzie:

T {\displaystyle T} – całkowity czas ruchu, v ( t ) {\displaystyle {\vec {v}}(t)} – wektor prędkości jako funkcja czasu.

Czasem (zazwyczaj z powodów dydaktycznych) wyróżnia się specjalny przypadek ruchu jednostajnie przyspieszonego prostoliniowego – ruch jednostajnie opóźniony prostoliniowy. W ruchu tym wektor przyspieszenia a {\displaystyle \;{\vec {a}}\;} jest stały i skierowany przeciwnie do wektora prędkości v ( t ) . {\displaystyle \;{\vec {v}}(t).}

Ruch jednostajny po okręgu (prędkość kątowa) | edytuj kod

W tym ruchu wektor prędkości kątowej ω {\displaystyle \;{\vec {\omega }}\;} jest stały i jego wartość wyraża się wzorem:

ω = Δ ϕ t . {\displaystyle \omega ={\frac {\Delta \phi }{t}}.}

Prędkość w ruchu po okręgu też jest stała i wiąże się z prędkością kątową wzorem

v = ω r . {\displaystyle v=\omega r.}

Znajomość prędkości kątowej umożliwia zapisanie równań ruchu po okręgu we współrzędnych kartezjańskich

x ( t ) = r cos ω t , {\displaystyle x(t)=r\cos \omega t,} y ( t ) = r sin ω t . {\displaystyle y(t)=r\sin \omega t.}

Przypisy | edytuj kod

  1. a b c d e G.K. Susłow, Mechanika teoretyczna, PWN, Warszawa 1960

Zobacz też | edytuj kod

Na podstawie artykułu: "Prędkość" pochodzącego z Wikipedii
OryginałEdytujHistoria i autorzy