Prędkość grupowa


Prędkość grupowa w encyklopedii

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Prędkość grupowa – wielkość opisująca rozchodzenie się fal nieharmonicznych (innych niż sinusoidalne), w sytuacji, gdy natężenie fali nie wpływa na prędkość jej ruchu. Inaczej, prędkość grupowa to prędkość rozchodzenia się modulacji zwykle odpowiadająca prędkości przenoszenia informacji i energii przez falę.

Dla fal rozprzestrzeniających się bez zmiany kształtu impulsu falowego odpowiada prędkości rozchodzenia się impulsu i prędkości rozchodzenia się czoła fali.

Dla fal prawie harmonicznych, opisanych jako fala harmoniczna o zmieniającej się amplitudzie, prędkość rozchodzenia się grzbietów modulacji, czyli prędkość grupową określa wzór:

Fala o prędkości grupowej mniejszej od prędkości fazowej. Czerwony punkt porusza się z prędkością fazową, a zielony z prędkością grupową. v g ω k , {\displaystyle v_{g}\equiv {\frac {\partial \omega }{\partial k}},}

gdzie:

v g {\displaystyle v_{g}} – prędkość grupowa, ω {\displaystyle \omega } – częstość kątowa drgań fali, k {\displaystyle k} – wektor falowy.

Pojęcie prędkość grupowa wprowadzono w celu odróżnienia od prędkości przemieszczania się grzbietów fali nazywanej prędkością fazową, która pojawia się m.in. w prawie załamania światła.

W próżni prędkość grupowa światła jest równa prędkości fazowej i jest równa prędkości światła w próżni. W ośrodkach materialnych prędkość grupowa światła jest zwykle mniejsza od prędkości światła w próżni, lecz może być większa, a nawet ujemna (dla metamateriałów o ujemnym współczynniku załamania). Większa wartość prędkości grupowej od prędkości światła w próżni nie stoi w sprzeczności ze szczególną teorią względności, gdyż prędkość grupowa w takich przypadkach nie jest szybkością rozprzestrzeniania się fali, a tym samym i przenoszenia sygnałów.

W ośrodkach dyspersyjnych prędkość grupowa jest różna od prędkości fazowej. Natomiast w ośrodkach, w których amplituda fali wpływa na szybkość jej przemieszczania się nie wprowadza się pojęcia prędkości grupowej.

Pojęcia prędkości grupowej i fazowej wprowadził William Rowan Hamilton w 1839 roku.

Spis treści

W mechanice kwantowej | edytuj kod

W mechanice kwantowej, zgodnie z hipotezą de Broglie’a, każdej cząstce odpowiada paczka fal zespolonych zwanych falami materii, dla tych fal:

v g = ω k = ( E / ) ( p / ) = E p , {\displaystyle v_{g}={\frac {\partial \omega }{\partial k}}={\frac {\partial (E/\hbar )}{\partial (p/\hbar )}}={\frac {\partial E}{\partial p}},}

gdzie:

E {\displaystyle E} energia kinetyczna cząstki, p {\displaystyle p} pęd tej cząstki, {\displaystyle \hbar } stała Diraca.

Używając mechaniki relatywistycznej, stwierdza się że:

v g = E p = p ( p 2 c 2 + m 2 c 4 m c 2 ) = p c 2 p 2 c 2 + m 2 c 4 = γ m v c 2 γ 2 m 2 v 2 c 2 + m 2 c 4 = γ v c γ 2 v 2 + c 2 = v , {\displaystyle {\begin{aligned}v_{g}&={\frac {\partial E}{\partial p}}={\frac {\partial }{\partial p}}\left({\sqrt {p^{2}c^{2}+m^{2}c^{4}}}-mc^{2}\right)={\frac {pc^{2}}{\sqrt {p^{2}c^{2}+m^{2}c^{4}}}}\\&={\frac {\gamma mvc^{2}}{\sqrt {{\gamma }^{2}m^{2}v^{2}c^{2}+m^{2}c^{4}}}}={\frac {\gamma vc}{\sqrt {{\gamma }^{2}v^{2}+c^{2}}}}=v,\end{aligned}}}

gdzie:

c {\displaystyle c} prędkość światła w próżni, γ {\displaystyle \gamma } czynnik Lorentza.

Wynik ten oznacza, że bez względu na masę cząstki, jej prędkość i inne parametry, prędkość grupowa fali materii odpowiada prędkości ruchu cząstki, co jest zgodne z oczekiwaniami.

Wzór na prędkość grupową | edytuj kod

Fala modulowana może być przedstawiona jako suma dwóch fal o różnych i niewiele różniących się częstościach. Przyjmując, że fazy początkowe obu fal są równe zero, różnica ich faz wynosi:

Δ ϕ = ϕ 1 ( z , t ) ϕ 2 ( z , t ) = ( ω 1 t k 1 z ) ( ω 2 t k 2 z ) . {\displaystyle \Delta \phi =\phi _{1}(z,t)-\phi _{2}(z,t)=(\omega _{1}t-k_{1}z)-(\omega _{2}t-k_{2}z).}

Fale wzmacniają się, gdy mają jednakowe fazy, oznacza to, że by poruszać się z prędkością rozchodzenia się wzmocnienia trzeba poruszać się z jego prędkością grupową, czyli dla takiej samej fazy. Wynika z tego, że różniczka powyższego wyrażenia jest równa zero:

( ω 1 d t k 1 d z ) ( ω 2 d t k 2 d z ) = ( ω 1 ω 2 ) d t ( k 1 k 2 ) d z = 0. {\displaystyle (\omega _{1}dt-k_{1}dz)-(\omega _{2}dt-k_{2}dz)=(\omega _{1}-\omega _{2})dt-(k_{1}-k_{2})dz=0.}

Prędkość jest równa d z d t , {\displaystyle {\tfrac {dz}{dt}},} czyli:

v g = d z d t = ω 2 ω 1 k 2 k 1 = d ω d k . {\displaystyle v_{g}={\frac {dz}{dt}}={\frac {\omega _{2}-\omega _{1}}{k_{2}-k_{1}}}={\frac {d\omega }{dk}}.}

Związek z prędkością fazową | edytuj kod

Między prędkością grupową v g {\displaystyle v_{g}} a fazową v p {\displaystyle v_{p}} istnieją zależności:

v g = v p + k d v p d k {\displaystyle v_{\mathrm {g} }=v_{\mathrm {p} }+k\cdot {\frac {dv_{\mathrm {p} }}{dk}}}

lub

v g = v p λ d v p d λ . {\displaystyle v_{\mathrm {g} }=v_{\mathrm {p} }-\lambda \cdot {\frac {dv_{\mathrm {p} }}{d\lambda }}.}

Z zależności tych wynika, że fala ulega dyspersji, gdy prędkość fazowa zależy od długości fali λ {\displaystyle \lambda } (liczby falowej), natomiast gdy prędkość fazowa nie zależy od długości fali, to fala nie ulega dyspersji.

Wyprowadzenie zależności | edytuj kod

Z definicji prędkości fazowej v p {\displaystyle v_{p}} wynika:

v p = ω k = λ f . {\displaystyle v_{\mathrm {p} }={\frac {\omega }{k}}=\lambda \cdot f.}

Związki dla wielkości opisujących fale: długość fali λ , {\displaystyle \lambda ,} częstotliwość f : {\displaystyle f{:}}

ω = 2 π f , {\displaystyle \omega =2\pi f,} k = 2 π λ , {\displaystyle k={\frac {2\pi }{\lambda }},} ω = v p k , {\displaystyle \omega =v_{\mathrm {p} }k,}

to

d ω d k = d d k v p k = v p d k d k + k d v p d k {\displaystyle {\frac {d\omega }{dk}}={\frac {d}{dk}}v_{\mathrm {p} }k=v_{\mathrm {p} }{\frac {dk}{dk}}+k{\frac {dv_{\mathrm {p} }}{dk}}} v g = v p + k d v p d k {\displaystyle v_{\mathrm {g} }=v_{\mathrm {p} }+k\cdot {\frac {dv_{\mathrm {p} }}{dk}}}

oraz

d d k = d d λ d λ d k {\displaystyle {\frac {d}{dk}}={\frac {d}{d\lambda }}\cdot {\frac {d\lambda }{dk}}\quad {}} i d λ d k = d 2 π k d k = 2 π k 2 {\displaystyle {}\quad {\frac {d\lambda }{dk}}={\frac {d{\frac {2\pi }{k}}}{dk}}=-{\frac {2\pi }{k^{2}}}} v g = v p λ d v p d λ {\displaystyle v_{\mathrm {g} }=v_{\mathrm {p} }-\lambda \cdot {\frac {dv_{\mathrm {p} }}{d\lambda }}}

Linki zewnętrzne | edytuj kod

Na podstawie artykułu: "Prędkość grupowa" pochodzącego z Wikipedii
OryginałEdytujHistoria i autorzy