Prędkość kątowa


Prędkość kątowa w encyklopedii

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania Prędkość kątowa Prędkość kątowa jest wielkością wektorową ω , {\displaystyle \omega ,} której kierunek pokrywa się z osią obrotu, a zwrot jest zgodny z regułą śruby prawoskrętnej

Prędkość kątowawielkość wektorowa opisująca ruch obrotowy (np. ruch po okręgu) ciała. Jest wektorem (pseudowektorem) leżącym na osi obrotu ciała i skierowanym zgodnie z regułą śruby prawoskrętnej.

Jeśli współrzędną kątową ciała określa kąt θ {\displaystyle \theta } to wartość prędkości kątowej ω {\displaystyle \omega } jest równa[1]:

ω = d θ d t . {\displaystyle \omega ={\frac {d\theta }{dt}}.}

Jednostką prędkości kątowej w układzie SI jest radian na sekundę[2]:

ω = r a d s . {\displaystyle \omega =\left[\mathrm {\frac {rad}{s}} \right].}

Spis treści

Związek z liniowymi wielkościami kinematycznymi | edytuj kod

Jeżeli ciało porusza się po okręgu, to obróciwszy się o kąt θ , {\displaystyle \theta ,} zakreśli łuk o długości[3]:

s = θ r . {\displaystyle s=\theta r.}

Zależność chwilowej prędkości liniowej v {\displaystyle v} ciała poruszającego się po okręgu o promieniu r {\displaystyle r} od chwilowej prędkości kątowej ω {\displaystyle \omega } tego ciała dana jest wzorem[3]:

v = d s d t = d θ r d t = ω r , {\displaystyle v={\frac {ds}{dt}}={\frac {d\theta r}{dt}}=\omega r,}

gdzie s {\displaystyle s} jest długością łuku zakreślanego w czasie t . {\displaystyle t.}

Różniczkując powyższy związek względem czasu:

d v d t = r d ω d t , {\displaystyle {\frac {dv}{dt}}=r{\frac {d\omega }{dt}},} a t = α r , {\displaystyle a_{t}=\alpha r,}

gdzie a t {\displaystyle a_{t}} to przyspieszenie kątowe ciała, a α {\displaystyle \alpha } to przyspieszenie kątowe[3].

Zmiana kierunku ruchu punktu poruszającego się po okręgu wywołuje przyspieszenie dośrodkowe zwane też radialnym[3]:

a r = v 2 r = ω 2 r . {\displaystyle a_{r}={\frac {v^{2}}{r}}=\omega ^{2}r.}

Zapis wektorowy | edytuj kod

W zapisie wektorowym prędkość kątowa zdefiniowana jest następująco[4]:

ω = r × v | r | 2 , {\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}={\frac {\mathbf {r} \times \mathbf {v} }{|\mathbf {r} |^{2}}},}

co odpowiada:

v = ω × r , {\displaystyle \mathbf {v} ={\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {r} ,}

czyli jako iloczyn wektorowy wektora wodzącego ciała poruszającego się ruchem obrotowym i jego prędkości liniowej (chwilowej). Stąd pochodzą wszystkie jej wyżej wymienione własności.

Przyspieszenie kątowe:

α = d ω d t . {\displaystyle {\boldsymbol {\alpha }}={\frac {d\omega }{dt}}.}

Jeżeli nie zmienia się promień ruchu ciała, to przyspieszenie liniowe:

a = a t + a r , {\displaystyle \mathbf {a} =\mathbf {a_{t}} +\mathbf {a_{r}} ,} a t = α × r , {\displaystyle \mathbf {a_{t}} ={\boldsymbol {\alpha }}\times \mathbf {r} ,} a r = ω × v . {\displaystyle \mathbf {a_{r}} ={\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {v} .}

Zobacz też | edytuj kod

Przypisy | edytuj kod

  1. Resnick i Halliday 1999 ↓, s. 250–251.
  2. Resnick i Halliday 1999 ↓, s. 251.
  3. a b c d Resnick i Halliday 1999 ↓, s. 257–258.
  4. Resnick i Halliday 1999 ↓, s. 254–257.

Bibliografia | edytuj kod

Kontrola autorytatywna (wielkość fizyczna):
Na podstawie artykułu: "Prędkość kątowa" pochodzącego z Wikipedii
OryginałEdytujHistoria i autorzy