Prawdopodobieństwo warunkowe


Prawdopodobieństwo warunkowe w encyklopedii

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Prawdopodobieństwo warunkowe zajścia zdarzenia A {\displaystyle A} pod warunkiem zajścia zdarzenia B {\displaystyle B} (o dodatnim prawdopodobieństwie) – liczba

P ( A B ) = P ( A B ) P ( B ) , {\displaystyle P(A\mid B)={\frac {P(A\cap B)}{P(B)}},}

tj. iloraz prawdopodobieństwa części wspólnej zdarzeń A {\displaystyle A} i B {\displaystyle B} oraz prawdopodobieństwa zdarzenia B {\displaystyle B} [1].

Niech ( Ω , F , P ) {\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},P)} będzie przestrzenią probabilistyczną. Przy ustalonym zdarzeniu B F {\displaystyle B\in {\mathcal {F}}} o dodatnim prawdopodobieństwie, prawdopodobieństwo warunkowe P ( A B ) {\displaystyle P(A\mid B)} jest zwykłym prawdopodobieńswem na

F B = { A B : B F } , {\displaystyle {\mathcal {F}}_{B}=\{A\cap B\colon B\in {\mathcal {F}}\},}

stąd bywa oznaczane czasem symbolem P B ( A ) {\displaystyle P_{B}(A)} [1].

Spis treści

Przykłady | edytuj kod

Przykład 1

Mamy dwie urny – w pierwszej są same białe kule, w drugiej same czarne. Najpierw wybieramy losowo urnę, a później losujemy kolejno dwie kule.

Niech:

A {\displaystyle A} oznacza zdarzenie, że pierwsza kula jest biała, B {\displaystyle B} oznacza zdarzenie, że druga kula jest biała.

Wybór urny determinuje wybór koloru kul. Zatem jeśli wiemy, że zaszło zdarzenie A , {\displaystyle A,} to druga wylosowana kula także będzie biała. W takim razie prawdopodobieństwo zajścia zdarzenia B {\displaystyle B} pod warunkiem zajścia zdarzenia A , {\displaystyle A,} oznaczane przez P ( B A ) , {\displaystyle P(B\mid A),} jest równe 1.

Przykład 2

Rzucamy trzema kostkami. Jakie jest prawdopodobieństwo, że na żadnej kostce nie wypadła szóstka, jeśli na każdej kostce wypadła inna liczba oczek?

Niech A {\displaystyle A} oznacza zdarzenie, że nie wypadła szóstka, natomiast B {\displaystyle B} zdarzenie, że na każdej kostce wypadła inna liczba oczek.

Obliczamy:

P ( A B ) = 5 4 3 Ω ¯ ¯ , {\displaystyle P(A\cap B)={\frac {5\cdot 4\cdot 3}{\bar {\bar {\Omega }}}},} P ( B ) = 6 5 4 Ω ¯ ¯ {\displaystyle P(B)={\frac {6\cdot 5\cdot 4}{\bar {\bar {\Omega }}}}}

Z definicji:

P ( A B ) = P ( A B ) P ( B ) = 1 2 {\displaystyle P(A\mid B)={\frac {P(A\cap B)}{P(B)}}={\frac {1}{2}}}

Zdarzenia niezależne | edytuj kod

Jeżeli zdarzenia A {\displaystyle A} i B {\displaystyle B} są niezależne, tj. P ( A B ) = P ( A ) P ( B ) , {\displaystyle P(A\cap B)=P(A)P(B),} to P ( A B ) = P ( A ) . {\displaystyle P(A\mid B)=P(A).}

Zobacz też | edytuj kod

Przypisy | edytuj kod

  1. a b Jakubowski i Sztencel 2004 ↓, s. 34.

Bibliografia | edytuj kod

  • Jacek Jakubowski, Rafał Sztencel: Wstęp do teorii prawdopodobieństwa. Warszawa: Script, 2004. ISBN 83-89716-01-1.
Na podstawie artykułu: "Prawdopodobieństwo warunkowe" pochodzącego z Wikipedii
OryginałEdytujHistoria i autorzy