Prawo Archimedesa


Prawo Archimedesa w encyklopedii

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania Na ciało zanurzone w płynie działa pionowa, skierowana ku górze siła wyporu

Prawo Archimedesa – prawo hydro- i aerostatyki określające siłę wyporu płynu, odkryte przez Archimedesa z Syrakuz. Prawo Archimedesa głosi, że na ciało (częściowo lub całkowicie) zanurzone w płynie (cieczy, gazie lub plazmie) działa pionowa, skierowana ku górze siła wyporu F w , {\displaystyle F_{\mathrm {w} },} której wartość jest równa ciężarowi płynu wypartego przez to ciało[1][2]:

F w = m p g = ρ p g V , {\displaystyle F_{\mathrm {w} }=m_{\mathrm {p} }g=\rho _{\mathrm {p} }gV,}

gdzie: m p {\displaystyle m_{\mathrm {p} }} – masa wypieranego płynu, ρ p {\displaystyle \rho _{\mathrm {p} }} – gęstość płynu, g {\displaystyle g} ziemskie przyspieszenie grawitacyjne, V {\displaystyle V} objętość wypieranego płynu (równa objętości części ciała zanurzonej w płynie[3]).

Siła wyporu jest wynikiem zasad i własności ciśnienia hydrostatycznego. Ciśnienie to rośnie wraz ze wzrostem głębokości w płynie, jest zatem większe u dołu zanurzanego ciała niż w górnej jego części. W związku z tym siła parcia płynu działająca na dolne części ciała ma większą wartość niż siła działająca na górne jego części. Wypadkowa tych sił daje siłę wyporu F w {\displaystyle F_{\mathrm {w} }} [2][3].

Archimedes wyprowadził swoje prawo w pierwszej księdze dwuczęściowego dzieła O ciałach pływających, zachowanego jedynie w przekładzie łacińskim[4].

Spis treści

Ciężar pozorny ciała | edytuj kod

Ilustracja demonstracji prawa Archimedesa

Równoważnie, prawo Archimedesa można sformułować następująco: ciało zanurzone w płynie traci pozornie na ciężarze tyle, ile wynosi ciężar płynu wyparty przez to ciało[2]:

F p o z = F g F w . {\displaystyle F_{\mathrm {poz} }=F_{\mathrm {g} }-F_{\mathrm {w} }.}

Ponieważ siła wyporu działająca na ciało, które pływa w płynie, jest równa jego ciężarowi, to z powyższego równania wynika, że ciężar pozorny takiego ciała wynosi zero[2].

Uzasadnienie | edytuj kod

Siła wyporu jest skutkiem działania sił ciśnienia na zanurzone w płynie ciało. Jeśli w spoczywającym płynie zostanie wyodrębniony fragment płynu, to fragment ten spoczywa gdy siła wyporu równoważy siłę przyciągania ziemskiego. Ciśnienie wywierane na wyodrębnioną część płynu nie zależy od materiału z jakiego jest ta część, w takim razie taka sama siła wyporu będzie działała na ciało zanurzone w płynie. Siła ta jest równa ciężarowi płynu jaki został wyparty przez zanurzone ciało[2].

Warunek pływania ciał | edytuj kod

Ciało pływa w płynie, ponieważ siła ciężkości i siła wyporu równoważą się

Jeśli ciało pływa w płynie, to wartość oddziałującej na nie siły wyporu F w {\displaystyle F_{\mathrm {w} }} jest równa wartości oddziałującej na nie siły ciężkości F g {\displaystyle F_{\mathrm {g} }} [2][3][5]:

F w = F g . {\displaystyle F_{\mathrm {w} }=F_{\mathrm {g} }.}

Skoro – zgodnie z prawem Archimedesa – wartość siły wyporu F w {\displaystyle F_{\mathrm {w} }} jest równa ciężarowi wypartego płynu:

F w = m p g , {\displaystyle F_{\mathrm {w} }=m_{\mathrm {p} }g,}

to można stwierdzić, że gdy ciało pływa w płynie, to wartość działającej na nie siły ciężkości F g {\displaystyle F_{g}} jest równa ciężarowi płynu wypartego przez to ciało m p g {\displaystyle m_{p}g} [2]:

F g = m p g . {\displaystyle F_{\mathrm {g} }=m_{\mathrm {p} }g.}

Inaczej, ciało pływające w płynie wypiera płyn o ciężarze równym swojemu ciężarowi[2] (czyli objętość płynu równą objętości zanurzonej części ciała).

Analogicznie:

  • jeśli F w < F g , {\displaystyle F_{\mathrm {w} }<F_{\mathrm {g} },} to ciało tonie,
  • jeśli F w > F g , {\displaystyle F_{\mathrm {w} }>F_{\mathrm {g} },} to ciało wypływa, aż siły się zrównoważą ( F w = F g ) {\displaystyle (F_{\mathrm {w} }=F_{\mathrm {g} })} [3][5][6].

W przypadku ciał wykonanych z jednolitego materiału można określić, czy ciało będzie tonąć, czy wypływać na powierzchnię płynu przez porównanie gęstości ciała ρ c {\displaystyle \rho _{\mathrm {c} }} i gęstości płynu ρ p {\displaystyle \rho _{\mathrm {p} }} [6]. I tak:

  • jeśli ρ c > ρ p , {\displaystyle \rho _{\mathrm {c} }>\rho _{\mathrm {p} },} to ciało będzie tonąć,
  • jeśli ρ c = ρ p , {\displaystyle \rho _{\mathrm {c} }=\rho _{\mathrm {p} },} to ciało będzie pływać w płynie (unosić się w nim na stałym poziomie),
  • jeśli ρ c < ρ p , {\displaystyle \rho _{\mathrm {c} }<\rho _{\mathrm {p} },} to ciało będzie wypływać na powierzchnię płynu[6].

Legenda o sformułowaniu prawa | edytuj kod

XVI-wieczna ilustracja przedstawiająca Archimedesa biorącego kąpiel

Grecka legenda głosi, że król Syrakuz Hieron II zwrócił się do Archimedesa, aby ten zbadał, czy korona, którą wykonał dla króla syrakuzański złotnik, zawiera tylko złoto, czy jest to tylko pozłacane srebro[7]. Zadanie miało być wykonane bez uszkadzania korony[7]. Wówczas jedynym sposobem na sprawdzenie, czy przedmiot jest z czystego złota, było zginanie, ponieważ złoto jest metalem dość miękkim.

Archimedes w czasie kąpieli w wannie zauważył, że ilość wody wypływającej z wanny odpowiadała objętości ciała zanurzanego w wodzie[8]. Gdy spostrzeżenie to nasunęło mu rozwiązanie problemu korony, wyskoczył z wanny i z okrzykiem Eureka! (gr. ηὕρηκα heureka – „znalazłem”) wybiegł nago na ulicę[9].

Archimedes sporządził dwie bryły o takim samym ciężarze co wieniec – jedną ze złota, drugą ze srebra. Napełnił do pełna wodą duże naczynie i wrzucił do niego bryłę srebra, a następnie zmierzył ilość wody jaka wypłynęła. Następnie podobnie postąpił z bryłą ze złota. Okazało się, że w przypadku złotej bryły wypłynęło mniej wody – a więc gęstość (oraz ciężar właściwy) złota jest większa od gęstości srebra. Następnie ponownie napełnił naczynie i wrzucił do niego koronę. Stwierdził, że przy zanurzeniu korony wypłynęło więcej wody, niż w przypadku bryły złota o tym samym ciężarze. Na podstawie tej obserwacji udowodnił domieszkę innego metalu w złocie i oszustwo złotnika[9].

Związek z innymi prawami | edytuj kod

Związek prawa Pascala z prawem Archimedesa

Prawo Archimedesa wynika z warunku równowagi płynu w spoczynku w obecności siły grawitacji, opisywanych w prawie Pascala z uwzględnieniem zależności ciśnienia od głębokości.

W fizyce ośrodków ciągłych prawo Archimedesa wywodzi się z równań Eulera, które są szczególnym przypadkiem równań Naviera-Stokesa dla spoczywającego płynu, które są przedstawieniem zasad dynamiki Newtona dla płynów.

Równanie Naviera-Stokesa z pominięciem lepkości objętościowej i ściśliwości:

ρ f v t + v ( v ) = μ Δ v p + ρ f g . {\displaystyle \rho _{f}\left[{\frac {\partial \mathbf {v} }{\partial t}}+\mathbf {v} ({\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {v} )\right]=\mu \Delta \mathbf {v} -{\boldsymbol {\nabla }}p+\rho _{f}\mathbf {g} .}

Gdy prędkość v = 0 {\displaystyle v=0} to równanie to upraszcza się do równania Eulera:

0 = p + ρ f g . {\displaystyle 0=-{\boldsymbol {\nabla }}p+\rho _{f}\mathbf {g} .}

Które jest różniczkową postacią prawa Pascala w obecności sił masowych.

Siła działająca na fragment płynu lub ciało zanurzone w płynie jest sumą elementarnych sił parcia działających na to ciało. Jeżeli siła masowa działająca w płynie spełnia warunki twierdzenia Ostrogradskiego-Gaussa, to całkowanie po powierzchni ciała można zastąpić całką z dywergencji pola po objętości ciała. Gdy przyspieszenie siły masowej (grawitacyjne) oraz gęstość płynu jest jednakowa, to wzór przekształca się do postaci znanej z prawa Archimedesa:

F = V K p n d S = V K p   d V = V K ρ f g   d V = ρ f g   V K . {\displaystyle \mathbf {F} =\int _{\partial V_{K}}-p\mathbf {n} \cdot d\mathbf {S} =\int _{V_{K}}-{\boldsymbol {\nabla }}p\ dV=\int _{V_{K}}-\rho _{f}\mathbf {g} \ dV=-\rho _{f}\mathbf {g} \ V_{K}.}

Przykłady występowania i zastosowań | edytuj kod

Zobacz też | edytuj kod

Przypisy | edytuj kod

  1. Alicja Nawrot, Dorota Karolczak, Jadwiga Jaworska: Encyklopedia – fizyka z astronomią. Kraków: GREG, 2013, s. 23. ISBN 978-83-7517-210-2.
  2. a b c d e f g h Prawo Archimedesa. W: David Halliday, Robert Resnick, Jearl Walker: Podstawy fizyki. Wyd. 1. T. 2. Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN, 2006, s. 431–435. ISBN 978-83-01-14107-3.
  3. a b c d Archimedes’ principle (ang.). britannica.com. [dostęp 2018-10-23].
  4. Adam Smólski. Prawo Archimedesa? – ależ to bardzo proste!. „Foton”. s. 48. [dostęp 2018-10-23]. 
  5. a b Tonąć albo nie tonąć – oto jest pytanie (pol.). W: Prawo Archimedesa - Świat pod lupą [on-line]. epodreczniki.pl. [dostęp 2018-10-23].
  6. a b c Warunki pływania ciał (pol.). fizykon.org. [dostęp 2018-10-23].
  7. a b Prawo Archimedesa (pol.). iwiedza.net, 2006. [dostęp 2018-10-23].
  8. Prawo Archimedesa dla cieczy (pol.). W: Prawo Archimedesa - Świat pod lupą [on-line]. epodreczniki.pl. [dostęp 2018-10-23].
  9. a b Krzysztof Kubiak: Intelekt w służbie kryminalistyki (pol.). rp.pl, 2008-02-28. [dostęp 2018-10-21].

Linki zewnętrzne | edytuj kod

Kontrola autorytatywna (prawo fizyki):
Na podstawie artykułu: "Prawo Archimedesa" pochodzącego z Wikipedii
OryginałEdytujHistoria i autorzy