Proces gaussowski


Proces gaussowski w encyklopedii

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Proces gaussowskiproces stochastyczny { X t } t T , {\displaystyle \left\{X_{t}\right\}_{t\in T},} którego rozkłady skończenie wymiarowe są gaussowskie. Najbardziej znanymi przykładami procesów gaussowskich są proces Wienera i most Browna.

Definicja | edytuj kod

Poniższe definicje procesu gaussowskiego są wymienne. Ich równoważność wynika wprost z własności rozkładu normalnego. Mówimy, że proces { X t } t T {\displaystyle \left\{X_{t}\right\}_{t\in T}} jest procesem gaussowskim, gdy

  • Definicja 1 – dla każdego skończonego zbioru indeksów t 1 , t 2 , , t n T {\displaystyle t_{1},t_{2},\dots ,t_{n}\in T} zmienna losowa
( X t 1 , X t 2 , , X t n ) {\displaystyle (X_{t_{1}},X_{t_{2}},\dots ,X_{t_{n}})} ma rozkład normalny.
  • Definicja 2 – każda liniowa kombinacja Y = i = 1 n a i X t i {\displaystyle Y=\sum _{i=1}^{n}a_{i}X_{t_{i}}} ( a i R , t i T ) {\displaystyle (a_{i}\in \mathbb {R} ,t_{i}\in T)} jest zmienną losową o rozkładzie normalnym.
  • Definicja 3 – funkcja charakterystyczna kombinacji liniowych ma postać
E ( exp ( i   = 1 k t   X t ) ) = exp ( 1 2 , j σ j t t j + i μ t ) . {\displaystyle \operatorname {E} \left(\exp \left(i\ \sum _{\ell =1}^{k}t_{\ell }\ \mathbf {X} _{t_{\ell }}\right)\right)=\exp \left(-{\frac {1}{2}}\,\sum _{\ell ,j}\sigma _{\ell j}t_{\ell }t_{j}+i\sum _{\ell }\mu _{\ell }t_{\ell }\right).}

Proces gaussowski nazywamy scentrowanym, gdy t T E X t = 0 {\displaystyle \forall _{t\in T}\operatorname {E} X_{t}=0}

Własności | edytuj kod

Dla procesu gaussowskiego definiujemy funkcję wartości średniej f ( t ) = E X t {\displaystyle f(t)=\operatorname {E} X_{t}} i funkcję kowariancji c ( t 1 , t 2 ) = C o v ( X t 1 , X t 2 ) . {\displaystyle c(t_{1},t_{2})=\mathrm {Cov} (X_{t_{1}},X_{t_{2}}).} Funkcja kowariancji jest dodatnio określona. Na odwrót para funkcji f : T R c : T × T R , {\displaystyle f\colon T\to \mathbb {R} \,\,c\colon T\times T\to \mathbb {R} ,} gdzie c {\displaystyle c} jest dodatnio określona definiuje proces gaussowski. Jest on jedyny z dokładnością do rozkładów skończenie wymiarowych.

Zobacz też | edytuj kod

Kontrola autorytatywna (Proces stochastyczny):
Na podstawie artykułu: "Proces gaussowski" pochodzącego z Wikipedii
OryginałEdytujHistoria i autorzy