Produkt (teoria kategorii)


Produkt (teoria kategorii) w encyklopedii

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Spis treści

Produkt – w teorii kategorii pojęcie będące uogólnieniem konstrukcji produktu kartezjańskiego zbiorów, produktu grup, czy produktu przestrzeni topologicznych; jest to „najogólniejszy” obiekt, mający kanoniczne rzuty do każdego z obiektów objętych tą konstrukcją (czynników). Konstrukcją dualną do produktu jest koprodukt.

Definicja | edytuj kod

Obiekt X {\displaystyle X} nazywa się produktem obiektów X 1 {\displaystyle X_{1}} oraz X 2 , {\displaystyle X_{2},} oznaczając go wtedy symbolem X 1 × X 2 , {\displaystyle X_{1}\times X_{2},} wtedy i tylko wtedy, gdy spełnia następującą własność uniwersalną:

istnieją takie morfizmy π 1 : X X 1 , π 2 : X X 2 {\displaystyle \pi _{1}\colon X\to X_{1},\pi _{2}\colon X\to X_{2}} nazywane rzutami kanonicznymi, że dla dowolnego obiektu Y {\displaystyle Y} i pary morfizmów f 1 : Y X 1 , f 2 : Y X 2 {\displaystyle f_{1}\colon Y\to X_{1},f_{2}\colon Y\to X_{2}} istnieje jednoznacznie wyznaczony morfizm f : Y X , {\displaystyle f\colon Y\to X,} dla którego następujący diagram jest przemienny:

Jednoznacznie wyznaczony morfizm f {\displaystyle f} nazywa się produktem morfizmów f 1 {\displaystyle f_{1}} oraz f 2 {\displaystyle f_{2}} i oznacza się go symbolem f 1 , f 2 . {\displaystyle \langle f_{1},f_{2}\rangle .} Powyższą definicję produktu dwóch obiektów można rozszerzyć biorąc dowolną rodzinę obiektów indeksowanych pewnym zbiorem I . {\displaystyle I.} Obiekt X {\displaystyle X} nazywa się produktem rodziny { X } i {\displaystyle \{X\}_{i}} obiektów wtedy i tylko wtedy, gdy

istnieją takie morfizmy π i : X X i , {\displaystyle \pi _{i}\colon X\to X_{i},} że dla dowolnego obiektu Y {\displaystyle Y} oraz rodziny morfizmów f i : Y X i {\displaystyle f_{i}\colon Y\to X_{i}} indeksowanej zbiorem I {\displaystyle I} istnieje jednoznacznie wyznaczony morfizm f : Y X , {\displaystyle f\colon Y\to X,} dla którego następujący diagram jest przemienny dla wszystkich i I : {\displaystyle i\in I{:}}

Produkt oznacza się wtedy symbolem i I X i ; {\displaystyle \prod _{i\in I}X_{i};} jeżeli I = { 1 , , n } , {\displaystyle I=\{1,\dots ,n\},} to na oznaczenie produktu obiektów zwykle używa się oznaczenia X 1 × × X n , {\displaystyle X_{1}\times \cdots \times X_{n},} a produkt morfizmów często oznacza się wtedy f 1 , , f n . {\displaystyle \langle f_{1},\dots ,f_{n}\rangle .}

Produkt można również zdefiniować wyłącznie za pomocą równań – oto przykład dla produktu dwóch obiektów:

  • istnienie f {\displaystyle f} zachodzi dzięki operacji , ; {\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle ;}
  • przemienność powyższych diagramów wynika z równości π i f 1 , f 2 = f i {\displaystyle \pi _{i}\circ \langle f_{1},f_{2}\rangle =f_{i}} dla wszystkich f 1 , f 2 {\displaystyle f_{1},f_{2}} oraz i = 1 , 2 ; {\displaystyle i=1,2;}
  • jednoznaczność f {\displaystyle f} wynika z równości π 1 f , π 2 f = f {\displaystyle \langle \pi _{1}\circ f,\pi _{2}\circ f\rangle =f} dla wszystkich f . {\displaystyle f.}

Produkt można także opisać za pomocą granicy: rodzinę obiektów można postrzegać jako diagram bez morfizmów; okazuje się, że traktując go jako funktor, mianowicie funktor ze zbioru I {\displaystyle I} rozpatrywanego jako kategoria dyskretna, to definicja produktu pokrywa się z definicją granicą, przy czym { f } i {\displaystyle \{f\}_{i}} pełni rolę stożka, a rzuty są granicą (stożkiem granicznym).

Zamiast granicy można użyć własności uniwersalnej; dla porównania: w tym przypadku J {\displaystyle J} jest kategorią dyskretną z dwoma obiektami, a C J {\displaystyle C^{J}} to po prostu kategoria produktowa C × C , {\displaystyle C\times C,} przy czym funktor diagonalny Δ : C C × C {\displaystyle \Delta \colon C\to C\times C} przypisuje każdemu z obiektów X {\displaystyle X} parę uporządkowaną ( X , X ) , {\displaystyle (X,X),} a każdemu morfizmowi f {\displaystyle f} parę ( f , f ) {\displaystyle (f,f)} – produkt X 1 × X 2 {\displaystyle X_{1}\times X_{2}} w C {\displaystyle C} dany jest za pomocą morfizmu uniwersalnego z funktora Δ {\displaystyle \Delta } w obiekt ( X 1 , X 2 ) {\displaystyle (X_{1},X_{2})} w C × C {\displaystyle C\times C} – wspomniany morfizm uniwersalny składa się z obiektu X {\displaystyle X} należącego do kategorii C {\displaystyle C} i morfizmu ( X , X ) ( X 1 , X 2 ) {\displaystyle (X,X)\to (X_{1},X_{2})} zawierającego rzuty.

Przykłady | edytuj kod

  • W kategorii Set produktem zbiorów A {\displaystyle A} i B {\displaystyle B} jest iloczyn kartezjański A × B {\displaystyle A\times B} wraz z rzutami π 1 ( ( x , y ) ) = x {\displaystyle \pi _{1}((x,y))=x} i π 2 ( ( x , y ) ) = y . {\displaystyle \pi _{2}((x,y))=y.}
  • W kategorii Grp produktem jest iloczyn kartezjański grup wraz z rzutami.
  • W kategorii Top produkt jest iloczynem kartezjańskim przestrzeni z topologią produktową.
  • W posecie ( P , ) , {\displaystyle (P,\leqslant ),} traktowanym jako kategoria, produktem elementów a , b {\displaystyle a,b} jest inf { a , b } . {\displaystyle \inf\{a,b\}.}

Zobacz też | edytuj kod

Na podstawie artykułu: "Produkt (teoria kategorii)" pochodzącego z Wikipedii
OryginałEdytujHistoria i autorzy