Prosta Sorgenfreya


Prosta Sorgenfreya w encyklopedii

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Prosta Sorgenfreya, prosta z topologią Sorgenfreya, prosta z topologią strzałki, strzałka Niemyckiegozbiór liczb rzeczywistych z topologią wprowadzoną przez bazę:

B = { a , b ) : a , b R , a < b } . {\displaystyle {\mathcal {B}}={\big \{}[a,b):a,b\in \mathbb {R} ,a<b{\big \}}.}

Nazwa pojęcia pochodzi od nazwiska matematyka amerykańskiego, Roberta Sorgenfreya. Przestrzeń ta, podobnie jak płaszczyzna Niemyckiego czy zbiór Cantora, jest często wykorzystywanym kontrprzykładem w topologii ogólnej.

Własności | edytuj kod

  • Topologia strzałki jest mocniejsza od naturalnej topologii (euklidesowej) na prostej. Wynika to stąd, że każdy przedział otwarty można przedstawić jako nieskończoną sumę przedziałów jednostronnie otwartych.
  • Dla dowolnych liczb rzeczywistych a , b ( a < b ) , {\displaystyle a,b(a<b),} przedział a , b ) {\displaystyle [a,b)} jest zbiorem otwarto-domkniętym w topologii Sorgenfreya. Ponadto, dla dowolnego a R , {\displaystyle a\in \mathbb {R} ,} zbiory
{ x R : x < a } , { x R : x a } {\displaystyle \{x\in \mathbb {R} \colon \;x<a\},\{x\in \mathbb {R} \colon \;x\geqslant a\}} są również otwarto-domknięte. Oznacza to, że prosta Sorgenfreya jest całkowicie niespójna. Dowód. Podzbiór X R {\displaystyle X\subseteq \mathbb {R} } jest gęsty w R {\displaystyle \mathbb {R} } w topologii Sorgenfreya wtedy i tylko wtedy, gdy jest gęsty w R {\displaystyle \mathbb {R} } w zwykłej topologii euklidesowej. Niech ( V n ) {\displaystyle (V_{n})} będzie ciągiem zbiorów otwartych i gęstych w R {\displaystyle \mathbb {R} } w topologii Sorgenfreya. Dla każdego n {\displaystyle n} niech U n {\displaystyle U_{n}} oznacza wnętrze zbioru V n {\displaystyle V_{n}} w sensie topologii euklidesowej. Wówczas każdy ze zbiorów U n {\displaystyle U_{n}} jest również jest gęsty w R {\displaystyle \mathbb {R} } w zwykłej topologii euklidesowej. Ponieważ R {\displaystyle \mathbb {R} } z topologią euklidesową jest przestrzenią Baire’a, część wspólna wszystkich zbiorów U n {\displaystyle U_{n}} jest niepusta. W szczególności, część wspólna wszystkich zbiorów V n {\displaystyle V_{n}} jest niepusta, co kończy dowód. □

Przypisy | edytuj kod

  1. Adam Emeryk, Władysław Kulpa. The Sorgenfrey line has no connected compactification. „Comm. Math. Univ. Carolinae 18”, s. 483–487, 1977. 

Bibliografia | edytuj kod

  • Ryszard Engelking: Topologia ogólna. Wyd. pierwsze. Warszawa: PWN, 1976.
  • Arthur Steen Lynn, J. Arthur Seebach: Counterexamples in Topology. New York: Springer-Verlag, 1978, s. 75–76.
Na podstawie artykułu: "Prosta Sorgenfreya" pochodzącego z Wikipedii
OryginałEdytujHistoria i autorzy