Przedział (matematyka)


Przedział (matematyka) w encyklopedii

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Przedziałzbiór elementów danego zbioru częściowo uporządkowanego, zawartych między dwoma ustalonymi elementami tego zbioru, nazywanymi początkiem i końcem przedziału.

Spis treści

Definicje formalne | edytuj kod

Niech ( X , ) {\displaystyle (X,\leqslant )} będzie zbiorem częściowo uporządkowanym i niech x , y X {\displaystyle x,y\in X} oraz x y . {\displaystyle x\leqslant y.}

Przedziałem wyznaczonym przez x , y {\displaystyle x,y} jest jeden z następujących zbiorów:

  • ( x , y ) := { z X : x < z < y } {\displaystyle (x,y):=\{z\in X:x<z<y\}} przedział (obustronnie) otwarty,
  • x , y ) := { z X : x z < y } {\displaystyle [x,y):=\{z\in X:x\leqslant z<y\}} przedział lewostronnie domknięty (prawostronnie otwarty),
  • x , y := { z X : x z y } {\displaystyle [x,y]:=\{z\in X:x\leqslant z\leqslant y\}} przedział (obustronnie) domknięty,
  • ( x , y := { z X : x < z y } {\displaystyle (x,y]:=\{z\in X:x<z\leqslant y\}} przedział prawostronnie domknięty (lewostronnie otwarty).

Ponadto

  • ( , y ) := { z X : z < y } {\displaystyle (-\infty ,y):=\{z\in X:z<y\}} przedział lewostronnie nieograniczony, prawostronnie otwarty,
  • ( , y := { z X : z y } {\displaystyle (-\infty ,y]:=\{z\in X:z\leqslant y\}} przedział lewostronnie nieograniczony, prawostronnie domknięty,
  • ( x , + ) := { z X : x < z } {\displaystyle (x,+\infty ):=\{z\in X:x<z\}} przedział prawostronnie nieograniczony, lewostronnie otwarty,
  • x , + ) := { z X : x z } {\displaystyle [x,+\infty ):=\{z\in X:x\leqslant z\}} przedział prawostronnie nieograniczony, lewostronnie domknięty.

Jeśli w zbiorze uporządkowanym ( X , ) {\displaystyle (X,\leqslant )} istnieje element największy, to definicja przedziału prawostronnie nieograniczonego jest zbędna; jeśli istnieje element najmniejszy, to definicja przedziału lewostronnie nieograniczonego jest zbędna.

Dla pełności należy dodać jeszcze następujące dwie definicje:

  • ( , ) := { z X } = X {\displaystyle (\infty ,\infty ):=\{z\in X\}=X} przedział obustronnie nieograniczony, czyli cały zbiór ( X , ) . {\displaystyle (X,\leqslant ).}
  • {\displaystyle \varnothing } przedział pusty, czyli przedział niezawierający żadnego elementu; takim przedziałem są np. ( x , x ) , ( x , x , x , x ) . {\displaystyle (x,x),\;(x,x],\;[x,x).}

Oznaczenia | edytuj kod

Niektórzy autorzy używają oznaczeń ( x , y ) X , {\displaystyle (x,y)_{X},} x , y X {\displaystyle [x,y]_{X}} itp. dla podkreślenia, że rozpatrywane są przedziały w danym porządku.

Często zamiast x , y {\displaystyle [x,y]} stosuje się oznaczenie x , y {\displaystyle \langle x,y\rangle } i analogicznie dla przedziałów jednostronnie domkniętych. Należy jednak zwrócić uwagę, że zarówno ( x , y ) , {\displaystyle (x,y),} jak i x , y {\displaystyle \langle x,y\rangle } do oznaczenia przedziałów mogą być pomylone z podobnymi notacjami używanymi do oznaczenia par uporządkowanych.

Norma międzynarodowa ISO31-11 przewiduje zamiast oznaczeń ( x , y , x , y ) , ( x , y ) {\displaystyle (x,y],[x,y),(x,y)} dla przedziałów lewo- i prawo- lub obustronnie otwartych stosowanie następujących oznaczeń x , y ,   x , y ,   x , y . {\displaystyle ]x,y],\ [x,y[,\ ]x,y[.}

Stosowanie średnika lub przecinka wynika z zastosowanej konwencji dla separatora dziesiętnego.

Przykłady | edytuj kod

  • Najczęściej spotykane przykłady przedziałów to przedziały w zbiorze liczb rzeczywistych:
    • ( 0 , 1 ) {\displaystyle (0,1)} – zbiór wszystkich dodatnich liczb rzeczywistych mniejszych niż 1 , {\displaystyle 1,}
    • 2 , e ) {\displaystyle [2,e)} – zbiór liczb rzeczywistych większych lub równych 2 , {\displaystyle 2,} ale mniejszych niż e , {\displaystyle e,}
    • przedział nieskończony ( π , ) {\displaystyle (\pi ,\infty )} złożony z wszystkich liczb większych niż π , {\displaystyle \pi ,}
    • ( 0 , 0 ) ,   ( 7 , 7 ,   2 , 2 ) {\displaystyle (0,0),\ (7,7],\ [2,2)} – przedziały puste,
    • 4 , 4 {\displaystyle [4,4]} – przedział jednopunktowy { 4 } . {\displaystyle \{4\}.}
  • Przedziały zależą od porządków, w których są rozważane: ( 5 , 5 ) Z {\displaystyle (-5,5)_{\mathbb {Z} }} jest zbiorem skończonym (jest to { 4 , 3 , 2 , 1 , 0 , 1 , 2 , 3 , 4 } {\displaystyle \{-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4\}} ), ale ( 5 , 5 ) Q {\displaystyle (-5,5)_{\mathbb {Q} }} jest zbiorem nieskończonym (jest to zbiór wszystkich liczb wymiernych większych od –5 a mniejszych niż 5). Zwyczajowo, przedział ( a , b {\displaystyle (a,b]} pomiędzy liczbami rzeczywistymi a , b R {\displaystyle a,b\in \mathbb {R} } oznacza przedzial w liczbach rzeczywistych, tzn. ( a , b R , {\displaystyle (a,b]_{\mathbb {R} },} podobnie dla innych przedziałów.
  • Rozważmy płaszczyznę R 2 {\displaystyle \mathbb {R} ^{2}} z porządkiem częściowym zdefiniowanym przez x 1 , y 1 < x 2 , y 2 x 1 x 2 {\displaystyle \langle x_{1},y_{1}\rangle <\langle x_{2},y_{2}\rangle \iff x_{1}\leqslant x_{2}} i y 1 y 2 , {\displaystyle y_{1}\leqslant y_{2},} gdzie relacja {\displaystyle \leqslant } jest naturalnym porządkiem na prostej R . {\displaystyle \mathbb {R} .} Wówczas przedział domknięty 0 , 0 , 1 , 1 R 2 {\displaystyle {\big [}\langle 0,0\rangle ,\langle 1,1\rangle {\big ]}_{\mathbb {R} ^{2}}} jest domkniętym kwadratem o wierzchołkach w 0 , 0 , 0 , 1 , 1 , 0 , 1 , 1 , {\displaystyle \langle 0,0\rangle ,\langle 0,1\rangle ,\langle 1,0\rangle ,\langle 1,1\rangle ,} tzn. zbiorem { x , y R 2 : 0 x 1     0 y 1 } . {\displaystyle \left\{\langle x,y\rangle \in \mathbb {R} ^{2}:0\leqslant x\leqslant 1\ \land \ 0\leqslant y\leqslant 1\right\}.}

Własności | edytuj kod

Wprawdzie definicja przedziału jest poprawna dla dowolnego porządku częściowego, to jednak w praktyce matematycznej przedziały najczęściej rozpatruje się w porządkach liniowych.

Niech ( X , ) {\displaystyle (X,\leqslant )} będzie porządkiem liniowym.

  • Część wspólna dwóch przedziałów jest przedziałem.
  • Dopełnienie przedziału jest albo przedziałem, albo sumą dwóch przedziałów.
  • Suma dwóch przedziałów o niepustej części wspólnej jest przedziałem.
  • Otwarte przedziały w X {\displaystyle X} tworzą bazę pewnej topologii na X {\displaystyle X} – ta topologia nazywana jest topologią przedziałową na X {\displaystyle X} albo topologią porządkową na X {\displaystyle X} .
  • Topologia porządkowa na zbiorze liczb rzeczywistych jest naturalną topologią na R . {\displaystyle \mathbb {R} .} Bazę tej topologii tworzą przedziały otwarte o końcach wymiernych.

Zobacz też | edytuj kod

Na podstawie artykułu: "Przedział (matematyka)" pochodzącego z Wikipedii
OryginałEdytujHistoria i autorzy