Przedział wielowymiarowy


Przedział wielowymiarowy w encyklopedii

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Spis treści

Przedział a. prostopadłościan wielowymiarowypodzbiór przestrzeni afinicznej (bądź euklidesowej) będący odpowiednikiem przedziału na prostej. W przestrzeniach jedno- (prosta), dwu- (płaszczyzna) i trójwymiarowych nazywa się je czasami po prostu odcinkami, prostokątami i prostopadłościanami.

Definicja | edytuj kod

Niech P 1 , , P k {\displaystyle P_{1},\dots ,P_{k}} będą dowolnymi przedziałami w R . {\displaystyle \mathbb {R} .} Przedziałem k {\displaystyle k} -wymiarowym, lub krótko: przedziałem, przestrzeni R k {\displaystyle \mathbb {R} ^{k}} nazywa się zbiór postaci

P ( k ) = P 1 × × P k . {\displaystyle P^{(k)}=P_{1}\times \dots \times P_{k}.}

Nic nie stoi na przeszkodzie, aby punkt traktować jako przedział 0 {\displaystyle 0} -wymiarowy. W związku z tym można wyróżnić przedziały zdegenerowane, dla których P i {\displaystyle P_{i}} dla pewnego i { 1 , , k } {\displaystyle i\in \{1,\dots ,k\}} w powyższej definicji jest punktem.

Często ze względów technicznych przyjmuje się, iż zbiór pusty również jest przedziałem wielowymiarowym dla k = 1. {\displaystyle k=-1.} Przedziały wielowymiarowe złożone z przedziałów jednostkowych, zwykle 0 , 1 , {\displaystyle [0,1],} nazywa się czasem kostkami wielowymiarowymi.

Objętość | edytuj kod

Objętością k {\displaystyle k} -wymiarową, bądź krótko: objętością, przedziału P R k {\displaystyle P\subset \mathbb {R} ^{k}} nazywa się iloczyn długości przedziałów jednowymiarowych, których iloczyn kartezjański jest rozpatrywanym przedziałem:

| P | k = | P 1 | | P k | , {\displaystyle |P|_{k}=|P_{1}|\dots |P_{k}|,}

gdzie przez | | {\displaystyle |\cdot |} rozumie się długość przedziału jednowymiarowego, zaś przez | | k {\displaystyle |\cdot |_{k}} k {\displaystyle k} -wymiarowego; dla wygody indeks k {\displaystyle k} bywa zwykle pomijany.

Konwencje | edytuj kod

Może się zdarzyć, że dla k 2 {\displaystyle k\geqslant 2} przedział P k {\displaystyle P_{k}} może być zarazem nieograniczony, jak i zdegenerowany. Wówczas wartość iloczynu definiującego objętość jest wtedy nieokreślona, gdyż występują w nim czynniki {\displaystyle \infty } oraz 0. {\displaystyle 0.} Przykładem może być prosta { ( x , 0 ) : x R } {\displaystyle \{(x,0)\colon x\in \mathbb {R} \}} na płaszczyźnie R 2 , {\displaystyle \mathbb {R} ^{2},} która jest nieograniczona i zdegenerowana. Intuicja dotycząca prostej wskazuje, iż prosta nie ma dwuwymiarowej objętości (pola). Obserwacja ta uzasadnia szeroko stosowane równości

0 = 0 = 0. {\displaystyle 0\cdot \infty =\infty \cdot 0=0.}

Powyższa umowa obowiązuje w całej teorii miary i całki Lebesgue’a. Symbol {\displaystyle \infty } należy odróżnić od stosowanych w pozostałych konwencjach działań arytmetycznych na liczbach nieskończonych symboli {\displaystyle -\infty } oraz + {\displaystyle +\infty } (ostatni bywa czasem dla skrócenia zapisu zapisywany po prostu {\displaystyle \infty } ), które nie ulegają zmianie w stosunku do tych dotyczących granic funkcji.

Miara zewnętrzna | edytuj kod

 Zobacz też: miara zewnętrzna.

Przyjmuje się także, że objętość zbioru pustego jest równa zeru. Ponieważ dla przedziałów P , Q R n {\displaystyle P,Q\in \mathbb {R} ^{n}} zawieranie P Q {\displaystyle P\subseteq Q} pociąga za sobą nierówność | P | | Q | , {\displaystyle |P|\leqslant |Q|,} to objętość jest monotoniczna. Założenie przeliczalnej podaddytywności objętości | | {\displaystyle |\cdot |} sprawia, że staje się ona miarą zewnętrzną. Stąd niedaleko już do określenia miary zewnętrznej Lebesgue’a wykorzystywanej przy konstrukcji miary Lebesgue’a, która służy wyznaczaniu ogólnej „objętości” podzbiorów R n . {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}.}

Zobacz też | edytuj kod

Bibliografia | edytuj kod

  • A. Birkholc: Analiza matematyczna: Funkcje wielu zmiennych. Warszawa: PWN, 1986.
Na podstawie artykułu: "Przedział wielowymiarowy" pochodzącego z Wikipedii
OryginałEdytujHistoria i autorzy