Przekątna


Przekątna w encyklopedii

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania Jedna z przekątnych sześcianu (A′C) oraz jednej z jego ścian (B′D′)

Przekątna (dawniej: przekątnia) – odcinek łączący dwa wierzchołki wielokąta nieleżące na jednym boku tego wielokąta lub odcinek łączący dwa wierzchołki wielościanu nieleżące na jednej ścianie tego wielościanu.

Liczba przekątnych w n {\displaystyle n} -kącie (czyli wielokącie o n {\displaystyle n} wierzchołkach) wynosi

p = n ( n 3 ) 2 . {\displaystyle p={\frac {n(n-3)}{2}}.}

Liczba sposobów, na które n-kąt wypukły może być podzielony nieprzecinającymi się oprócz końców przekątnymi na trójkąty to C n 2 {\displaystyle C_{n-2}} (za pomocą n 3 {\displaystyle n-3} przekątnych), gdzie C n {\displaystyle C_{n}} to n {\displaystyle n} -ta liczba Catalana.

Liczba rozłącznych obszarów na które przekątne dzielą n {\displaystyle n} -kąt wypukły (o ile żadne trzy nie przecinają się w jednym punkcie w jego wnętrzu):

N = ( n 4 ) + ( n 1 2 ) = 1 24 ( n 1 ) ( n 2 ) ( n 2 3 n + 12 ) . {\displaystyle N={n \choose 4}+{n-1 \choose 2}={\frac {1}{24}}(n-1)(n-2)(n^{2}-3n+12).}

Początkowe wartości tego ciągu dla n = 3 , 4 , {\displaystyle n=3,4,\dots } wynoszą: 1, 4, 11, 25, 50, 91, 154, 246 (ciąg A006522 w OEIS).

Przekątna prostokąta o bokach długości a {\displaystyle a} i b {\displaystyle b} ma długość

d = a 2 + b 2 . {\displaystyle d={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}.}

Przekątna kwadratu o boku długości a {\displaystyle a} ma długość

d = a   2 . {\displaystyle d=a~{\sqrt {2}}.}

Długość dłuższej przekątnej sześciokąta foremnego o boku długości a {\displaystyle a} wynosi

d = 2 a . {\displaystyle d=2a.}

Długość krótszej przekątnej sześciokąta foremnego o boku długości a {\displaystyle a} wynosi

d = a   3 . {\displaystyle d=a~{\sqrt {3}}.}

Przekątna prostopadłościanu o krawędziach długości a , {\displaystyle a,} b {\displaystyle b} i c {\displaystyle c} ma długość

d = a 2 + b 2 + c 2 . {\displaystyle d={\sqrt {a^{2}+b^{2}+c^{2}}}.}

Przekątna sześcianu o krawędzi długości a {\displaystyle a} ma długość

d = a   3 . {\displaystyle d=a~{\sqrt {3}}.}

Zobacz też | edytuj kod

Linki zewnętrzne | edytuj kod

Na podstawie artykułu: "Przekątna" pochodzącego z Wikipedii
OryginałEdytujHistoria i autorzy