Przekrój Dedekinda


Przekrój Dedekinda w encyklopedii

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Przekrój Dedekinda – para podzbiorów porządku liniowego wyznaczająca cięcie w tym zbiorze. Inna używana nazwa tego pojęcia to cięcie Dedekinda.

Pojęcie to było wprowadzone przez niemieckiego matematyka Richarda Dedekinda w 1872[1] w celu skonstruowania liczb rzeczywistych. Jak Dedekind sam napisał:

w każdym przypadku kiedy mamy przekrój ( A 1 , A 2 ) {\displaystyle (A_{1},A_{2})} nieodpowiadający żadnej liczbie wymiernej, wyznaczamy nową liczbę niewymierną, którą można uważać za całkowicie określoną przez ten przekrój; będziemy mówić, że ta liczba odpowiada przekrojowi lub że produkuje ona ten przekrój.

Spis treści

Definicja | edytuj kod

Niech ( X , ) {\displaystyle (X,\leqslant )} będzie porządkiem liniowym. Przekrojem Dedekinda zbioru X {\displaystyle X} nazywa się każdą taką parę ( A , B ) {\displaystyle (A,B)} złożoną z niepustych podzbiorów zbioru X , {\displaystyle X,} że,

  1. A B = X , {\displaystyle A\cup B=X,}
  2. jeżeli a A {\displaystyle a\in A} oraz b B , {\displaystyle b\in B,} to a < b , {\displaystyle a<b,}
  3. A B = . {\displaystyle A\cap B=\varnothing .}

Zbiór A {\displaystyle A} nazywany jest klasą dolną, a zbiór B {\displaystyle B} klasą górną przekroju.

Rodzaje przekrojów | edytuj kod

Przypuśćmy, że ( A , B ) {\displaystyle (A,B)} jest przekrojem Dedekinda w porządku liniowym ( X , ) . {\displaystyle (X,\leqslant ).} Wówczas ma miejsce jedna z następujących możliwości:

  1. zbiór A {\displaystyle A} zawiera element największy, a zbiór B {\displaystyle B} ma element najmniejszy,
  2. zbiór A {\displaystyle A} ma element największy, ale w zbiorze B {\displaystyle B} nie istnieje element najmniejszy,
  3. w zbiorze A {\displaystyle A} nie ma elementu największego, ale w zbiorze B {\displaystyle B} istnieje element najmniejszy,
  4. ani zbiór A {\displaystyle A} nie ma elementu największego ani zbiór B {\displaystyle B} nie ma elementu najmniejszego,

W przypadku pierwszym mówi się, że przekrój ( A , B ) {\displaystyle (A,B)} wyznacza skok, a w ostatnim przypadku mówimy że wyznacza on lukę. W porządkach gęstych nie występują skoki, a w porządkach ciągłych wszystkie przekroje Dedekinda są albo drugiego albo trzeciego rodzaju.

Zobacz też | edytuj kod

Przypisy | edytuj kod

  1. R. Dedekind: Stetigkeit und Irrationale Zahlen, 1872. Tłumaczenie angielskie tego tekstu jest zawarte także w Essays on the Theory of Numbers, tłumaczenie i edycja: W.W. Beman, W.W., Dover 1901, 1963.
Na podstawie artykułu: "Przekrój Dedekinda" pochodzącego z Wikipedii
OryginałEdytujHistoria i autorzy