Przestrzeń Baire'a


Przestrzeń Baire’a w encyklopedii

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii (Przekierowano z Przestrzeń Baire'a) Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Przestrzeń Baire’a – termin w topologii i teorii mnogości, który jest używany w dwóch znaczeniach. Może on odnosić się do pewnej własności przestrzeni topologicznych, ale jest to też nazwa szczególnego przykładu takiej przestrzeni.

W obydwu przypadkach, ta nazwa została wprowadzona dla uhonorowania francuskiego matematyka René-Louisa Baire’a.

Spis treści

Własność przestrzeni topologicznych | edytuj kod

Definicja | edytuj kod

Niech ( X , τ ) {\displaystyle (X,\tau )} będzie przestrzenią topologiczną. Powiemy, że X {\displaystyle X} jest przestrzenią Baire’a jeśli część wspólna każdej przeliczalnej rodziny otwartych gęstych podzbiorów X {\displaystyle X} jest gęstym podzbiorem X . {\displaystyle X.}

Niektórzy autorzy używają zwrotu X {\displaystyle X} ma własność Baire’a (zamiast „ X {\displaystyle X} jest przestrzenią Baire’a”). Należy jednak zwrócić uwagę, że podobna terminologia jest używana dla określenia własności Baire’a podzbiorów przestrzeni.

Przykłady | edytuj kod

  • Prosta rzeczywista R {\displaystyle \mathbb {R} } i ogólniej każda z przestrzeni euklidesowych R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} jest przestrzenią Baire’a.
  • Każda przestrzeń dyskretna jest przestrzenią Baire’a.
  • Każda przestrzeń polska i ogólniej każda przestrzeń zupełna jest przestrzenią Baire’a.
  • Każda lokalnie zwarta przestrzeń T2 jest przestrzenią Baire’a.
  • Przestrzenie zupełne w sensie Čecha są przestrzeniami Baire’a.
  • Przestrzeń ( R × ( 0 , ) ) ( Q × 0 ) {\displaystyle (\mathbb {R} \times (0,\infty ))\cup (\mathbb {Q} \times 0)} z metryką euklidesową jest przestrzenią Baire’a (bo dla dowolny jej podzbioru domkniętego brzegowego F {\displaystyle F} zbiór F ( R × 0 ) {\displaystyle F\cup (\mathbb {R} \times 0)} jest domknięty brzegowy w R × 0 , ) , {\displaystyle \mathbb {R} \times [0,\infty ),} która jest przestrzenią Baire’a), ale nie jest zupełna w sensie Čecha (bo jej domkniętym podzbiorem jest Q × 0 , {\displaystyle \mathbb {Q} \times 0,} która nie jest metryzowalna w sposób zupełny).

Własności | edytuj kod

Niech ( X , τ ) {\displaystyle (X,\tau )} będzie przestrzenią topologiczną. Wówczas następujące warunki są równoważne:

  • X {\displaystyle X} jest przestrzenią Baire’a,
  • żaden otwarty niepusty podzbiór X {\displaystyle X} nie jest pierwszej kategorii,
  • wnętrze sumy przeliczalnie wielu zbiorów nigdziegęstych jest puste,
  • dla każdych domkniętych zbiorów F 1 , F 2 , F 3 , X , {\displaystyle F_{1},F_{2},F_{3},\dots \subseteq X,} jeśli int ( i = 1 F i ) , {\displaystyle \operatorname {int} {\big (}\bigcup \limits _{i=1}^{\infty }F_{i}{\big )}\neq \emptyset ,} to int ( F i ) {\displaystyle \operatorname {int} (F_{i})\neq \emptyset } dla pewnego i . {\displaystyle i.}

Szczególna przestrzeń topologiczna | edytuj kod

Definicja | edytuj kod

Nazwa przestrzeń Baire’a jest też używana dla określenia przestrzeni wszystkich ciągów nieskończonych o wyrazach w liczbach naturalnych. Niech N N {\displaystyle \mathbb {N} ^{\mathbb {N} }} będzie zbiorem wszystkich ciągów liczb naturalnych, czyli zbiorem wszystkich funkcji z N {\displaystyle \mathbb {N} } w N . {\displaystyle \mathbb {N} .} Zbiór ten może być traktowany jako produkt i = 1 N {\displaystyle \prod \limits _{i=1}^{\infty }\mathbb {N} } przeliczalnie wielu kopii zbioru N . {\displaystyle \mathbb {N} .} Jeśli na zbiorze liczb naturalnych wprowadzimy topologię przestrzeni dyskretnej, to wtedy na zbiorze i = 1 N {\displaystyle \prod \limits _{i=1}^{\infty }\mathbb {N} } możemy wprowadzić topologię produktową τ B . {\displaystyle \tau _{B}.} Przestrzeń topologiczna ( N N , τ B ) {\displaystyle (\mathbb {N} ^{\mathbb {N} },\tau _{B})} jest nazywana przestrzenią Baire’a.

W teorii mnogości, przestrzeń Baire’a jest często oznaczana przez ω ω {\displaystyle \omega ^{\omega }} (jako że zbiór liczb naturalnych jest tam oznaczany przez ω {\displaystyle \omega } ). W opisowej teorii mnogości zwyczajowo przestrzeń Baire’a jest oznaczana przez N . {\displaystyle {\mathcal {N}}.} To ostatnie oznaczenie będzie używane poniżej.

Własności i zastosowanie | edytuj kod

  • Przestrzeń Baire’a jest przestrzenią polską. Odpowiednia metryka może być zdefiniowana następująco. Dla różnych f , g N {\displaystyle f,g\in {\mathcal {N}}} kładziemy n ( f , g ) = min { n N : f ( n ) g ( n ) } . {\displaystyle n(f,g)=\min\{n\in \mathbb {N} :f(n)\neq g(n)\}.} Definiujemy
d ( f , g ) = 0 {\displaystyle d(f,g)=0} jeśli f = g {\displaystyle f=g} oraz d ( f , g ) = 2 n ( f , g ) {\displaystyle d(f,g)=2^{-n(f,g)}} w przeciwnym wypadku. Łatwo można sprawdzić że d {\displaystyle d} jest metryką zupełną na zbiorze N N {\displaystyle \mathbb {N} ^{\mathbb {N} }} generującą topologię τ B . {\displaystyle \tau _{B}.}
  • N × N {\displaystyle {\mathcal {N}}\times {\mathcal {N}}} jest homeomorficzne z N . {\displaystyle {\mathcal {N}}.} I ogólniej, produkt przeliczalnie wielu kopii przestrzeni N {\displaystyle {\mathcal {N}}} jest homeomorficzny z N . {\displaystyle {\mathcal {N}}.}
  • Przestrzeń N {\displaystyle {\mathcal {N}}} jest homeomorficzna z przestrzenią liczb niewymiernych (wyposażonych w topologię podprzestrzeni R {\displaystyle \mathbb {R} } ).
  • Przestrzeń N {\displaystyle {\mathcal {N}}} jest jedną z przestrzeni standardowo używaną w opisowej teorii mnogości, m.in. przy definiowaniu hierarchii zbiorów rzutowych.
  • W dodatku do struktury topologicznej, N {\displaystyle {\mathcal {N}}} ma naturalną strukturę praporządku. Określmy relację {\displaystyle \leqslant ^{*}} na N {\displaystyle {\mathcal {N}}} przez
f g {\displaystyle f\leqslant ^{*}g} wtedy i tylko wtedy gdy ( N N ) ( n N ) ( f ( n ) g ( n ) ) {\displaystyle {\big (}\exists N\in \mathbb {N} {\big )}{\big (}\forall n\geqslant N{\big )}(f(n)\leqslant g(n){\big )}} Wówczas {\displaystyle \leqslant ^{*}} jest praporządkiem (ale nie porządkiem częściowym). Szereg współczynników kardynalnych studiowanych w teorii mnogości związanych z tym praporządkiem ma też znaczenie dla struktury topologicznej N . {\displaystyle {\mathcal {N}}.} Np. liczba dominująca d {\displaystyle {\mathfrak {d}}} występująca w diagramie Cichonia jest minimalną liczbą zwartych podzbiorów N {\displaystyle {\mathcal {N}}} potrzebnych do pokrycia całej przestrzeni.

Zobacz też | edytuj kod

Na podstawie artykułu: "Przestrzeń Baire'a" pochodzącego z Wikipedii
OryginałEdytujHistoria i autorzy