Przestrzeń Hausdorffa


Przestrzeń Hausdorffa w encyklopedii

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Spis treści

Przestrzeń Hausdorffa – wprowadzony przez Feliksa Hausdorffa rodzaj przestrzeni topologicznej o porządnych właściwościach. Ta naturalna własność była początkowo postulowana w definicji przestrzeni topologicznej, jednak wraz z rozwojem teorii wydzielono ją jako jeden z możliwych „aksjomatów oddzielania” nakładanych na abstrakcyjną przestrzeń topologiczną (zob. Przykłady). Z tego powodu o przestrzeniach Hausdorffa mówi się też, iż spełniają aksjomat „ T 2 {\displaystyle T_{2}} ” bądź, według innej klasyfikacji, aksjomat „ R 1 {\displaystyle R_{1}} ”; dla zwięzłości określa się je również jako „przestrzenie T 2 {\displaystyle T_{2}} ” (bądź „ R 1 {\displaystyle R_{1}} ”).

Punkty x , y {\displaystyle x,y} rozdzielone przez ich otoczenia otwarte U , V . {\displaystyle U,V.}

Przestrzeń topologiczną X {\displaystyle X} nazywa się przestrzenią Hausdorffa, jeżeli dla dowolnych dwóch różnych jej punktów x , y {\displaystyle x,y} można wskazać ich rozłączne otoczenia U , V , {\displaystyle U,V,} tzn. takie rozłączne zbiory otwarte tej przestrzeni, które spełniałyby x U {\displaystyle x\in U} oraz y V . {\displaystyle y\in V.}

Przykłady | edytuj kod

Większość naturalnych przykładów przestrzeni topologicznych spełnia własność Hausdorffa, w szczególności są to przestrzenie: liczb rzeczywistych z topologią naturalną, ogólniej przestrzenie euklidesowe i czy przestrzenie metryczne.

Każda przestrzeń regularna ( T 3 {\displaystyle T_{3}} ) jest przestrzenią Hausdorffa ( T 2 {\displaystyle T_{2}} ), lecz niekoniecznie na odwrót: przykładem może być przedział jednostkowy X = 0 , 1 {\displaystyle X=[0,1]} z topologią otrzymaną jako rozszerzenie topologii naturalnej (tzn. prostej rzeczywistej) o zbiór 0 , 1 { 1 n : n = 2 , 3 , 4 , } . {\displaystyle [0,1]\setminus \left\{{\frac {1}{n}}\colon n=2,3,4,\dots \right\}.}

Podobnie każda przestrzeń T 2 {\displaystyle T_{2}} jest przestrzenią T 1 {\displaystyle T_{1}} , choć niewykluczona jest sytuacja odwrotna – przykładami mogą być zbiór liczb rzeczywistych z topologią dopełnień skończonych, w której zbiorami otwartymi są tylko zbiór pusty i zbiory o skończonych dopełnieniach, czy analogicznie definiowaną topologią dopełnień co najwyżej przeliczalnych.

Własności | edytuj kod

  • Przestrzeń X {\displaystyle X} jest Hausdorffa wtedy i tylko wtedy, gdy przekątna { ( x , x ) : x X } {\displaystyle \{(x,x)\colon x\in X\}} jest zbiorem domkniętym w przestrzeni produktowej X × X . {\displaystyle X\times X.}
  • Niech f , g : X Y {\displaystyle f,g\colon X\to Y} będą przekształceniami ciągłymi dowolnej przestrzeni topologicznej X {\displaystyle X} w przestrzeń Hausdorffa Y . {\displaystyle Y.} Wówczas zbiór { x X : f ( x ) = g ( x ) } {\displaystyle \{x\in X\colon f(x)=g(x)\}} argumentów, na którym wartości tych funkcji są równe, jest domknięty w X . {\displaystyle X.} W szczególności, jeśli wykresy f , g {\displaystyle f,g} pokrywają na zbiorze gęstym przestrzeni X , {\displaystyle X,} to są one równe.
  • Ciągi zbieżne w przestrzeni Hausdorffa mają wyłącznie jedną granicę, tzn. granica ciągu zbieżnego jest wyznaczona jednoznacznie.
  • Własność „hausdorffowości” przestrzeni jest dziedziczna, tzn. podprzestrzeń przestrzeni Hausdorffa jest przestrzenią Hausdorffa.
  • Przestrzeń produktowa przestrzeni Hausdorffa również jest Hausdorffa.
  • Zwarte podprzestrzenie przestrzeni Hausdorffa są domknięte (istnieją przestrzenie T 1 {\displaystyle T_{1}} niemające tej własności).

Zobacz też | edytuj kod

Bibliografia | edytuj kod

Na podstawie artykułu: "Przestrzeń Hausdorffa" pochodzącego z Wikipedii
OryginałEdytujHistoria i autorzy