Przestrzeń Lorentza


Przestrzeń Lorentza w encyklopedii

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Przestrzenie Lorentza – klasa (quasi-)przestrzeni Banacha uogólniająca przestrzenie Lp. Konstrukcja przestrzeni pochodzi od G. Lorentza[1][2].

Konstrukcja | edytuj kod

Niech (X,μ) będzie przestrzenią z miarą oraz niech 0 < p < ∞, 0 < q ≤ ∞. Przestrzenią Lorentza Lp,q nazywa się przestrzeń wszystkich zespolonych funkcji mierzalnych na X dla których wartość

f L p , q ( X , μ ) = p 1 / q t μ { | f | t } 1 / p L q ( R + , d t t ) {\displaystyle \|f\|_{L_{p,q}(X,\mu )}=p^{1/q}\|t\mu \{|f|\geq t\}^{1/p}\|_{L_{q}(\mathbb {R} ^{+},{\frac {dt}{t}})}}

jest skończona (jest to wówczas quasinorma zupełna w tej przestrzeni).

W przypadku q < ∞, zachodzi następujący wzór

f L p , q ( X , μ ) = p 1 / q ( 0 t q μ { x | f ( x ) | t } q / p d t t ) 1 / q . {\displaystyle \|f\|_{L_{p,q}(X,\mu )}=p^{1/q}\left(\int _{0}^{\infty }t^{q}\mu \left\{x\mid |f(x)|\geq t\right\}^{q/p}\,{\frac {dt}{t}}\right)^{1/q}.}

natomiast gdy q = ∞ prawdziwy jest wzór

f L p , ( X , μ ) p = sup t > 0 ( t p μ { x | f ( x ) | > t } ) . {\displaystyle \|f\|_{L_{p,\infty }(X,\mu )}^{p}=\sup _{t>0}\left(t^{p}\mu \left\{x\mid |f(x)|>t\right\}\right).}

Umownie, definiuje się L∞,∞(X,μ) = L(X,μ). W przypadku, gdy p=q przestrzenie Lorentza są przestrzeniami Lp, tj. Lp,p = Lp.

Normowanie | edytuj kod

Wyżej skonstruowane quasi-przestrzenie Banacha można unormować dla p ∈ (1, ∞), q ∈ [1, ∞]. Niech f będzie zespoloną funkcją mierzalną na X oraz niech funkcja

f : 0 , ) 0 , {\displaystyle f^{*}:[0,\infty )\rightarrow [0,\infty ]}

będzie zdefiniowana wzorem

f ( t ) = inf { α R + : d f ( α ) t } {\displaystyle f^{*}(t)=\inf\{\alpha \in \mathbb {R} ^{+}:d_{f}(\alpha )\leq t\}}

gdzie dƒ jest tzw. dystrybuantą funkcji ƒ, daną wzorem

d f ( α ) = μ ( { x X : | f ( x ) | > α } ) {\displaystyle d_{f}(\alpha )=\mu (\{x\in X\colon |f(x)|>\alpha \})}

(powyżej umownie przyjęto, że infimum zbioru pustego wynosi ∞.

Dla p ∈ (1, ∞), q ∈ [1, ∞] funkcja

f L p , q = { ( 0 ( t 1 p f ( t ) ) q d t t ) 1 q q ( 0 , ) , sup t > 0 t 1 p f ( t ) q = . {\displaystyle \|f\|_{L^{p,q}}=\left\{{\begin{array}{l l}\left(\int _{0}^{\infty }(t^{\frac {1}{p}}f^{*}(t))^{q}\,{\frac {dt}{t}}\right)^{\frac {1}{q}}&q\in (0,\infty ),\\\displaystyle \sup _{t>0}t^{\frac {1}{p}}f^{*}(t)&q=\infty .\end{array}}\right.}

jest normą w przestrzeni Lorentza Lp,q.

Przypisy | edytuj kod

  1. G. Lorentz, Some new function spaces, Annals of Mathematics 51 (1950), 37-55.
  2. G. Lorentz, On the theory of spaces Λ, Pacific Journal of Mathematics 1 (1951), pp. 411-429.
Na podstawie artykułu: "Przestrzeń Lorentza" pochodzącego z Wikipedii
OryginałEdytujHistoria i autorzy