Przestrzeń Lp


Przestrzeń Lp w encyklopedii

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Spis treści

Przestrzenie p , {\displaystyle \ell _{p},} L p , {\displaystyle L_{p},} L p ( μ ) {\displaystyle L_{p}(\mu )} – dla ustalonej liczby dodatniej p {\displaystyle p} – klasy przestrzeni liniowo-topologicznych, odpowiednio: takich ciągów liczbowych, że szereg p {\displaystyle p} -tych potęg modułów ich wyrazów jest zbieżny oraz funkcji mierzalnych, całkowalnych w p {\displaystyle p} -tej potędze na ustalonym zbiorze (utożsamia się funkcje równe prawie wszędzie). W przypadku p 1 , {\displaystyle p\geqslant 1,} to w przestrzeniach tych można w naturalny sposób zdefiniować normę i są one wtedy przestrzeniami Banacha. Przestrzenie 2 {\displaystyle \ell _{2}} oraz L 2 {\displaystyle L_{2}} są ponadto przestrzeniami Hilberta z odpowiednio zdefiniowanym iloczynem skalarnym. Przestrzenie p {\displaystyle \ell _{p}} są szczególnymi przypadkami przestrzeni L p ( μ ) . {\displaystyle L_{p}(\mu ).}

Przestrzenie L p {\displaystyle L_{p}} znajdują zastosowanie w statystyce, ekonomii matematycznej i inżynierii.

Skończenie wymiarowe przestrzenie p n {\displaystyle \ell _{p}^{n}} | edytuj kod

Sfera jednostkowa w przestrzeni 3 / 2 2 {\displaystyle \ell _{3/2}^{2}}

W przestrzeni K n , {\displaystyle K^{n},} gdzie K {\displaystyle K} jest ciałem liczb rzeczywistych bądź zespolonych (ze standardowo zdefiniowanymi działaniami dodawania wektorów i mnożenia przez skalar) można, dla ustalonego p > 0 {\displaystyle p>0} rozważać funkcję

p : K n 0 , ) {\displaystyle \|{\cdot }\|_{p}\colon K^{n}\to [0,\infty )}

daną wzorem

x p = ( | x 1 | p + | x 2 | p + + | x n | p ) 1 p , x = ( x 1 , x 2 , , x n ) . {\displaystyle \|x\|_{p}=\left(|x_{1}|^{p}+|x_{2}|^{p}+\dots +|x_{n}|^{p}\right)^{\frac {1}{p}},\;\;x=(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}).}

Dla 1 p < {\displaystyle 1\leqslant p<\infty } funkcja ta jest normą wraz z którą K n {\displaystyle K^{n}} jest n {\displaystyle n} -wymiarową przestrzenią Banacha, oznaczaną symbolem p n . {\displaystyle \ell _{p}^{n}.} W przypadku p = 2 {\displaystyle p=2} norma przestrzeni 2 n {\displaystyle \ell _{2}^{n}} jest normą euklidesową.

Przestrzenie p {\displaystyle \ell _{p}} | edytuj kod

 Osobny artykuł: Przestrzeń l1.

Ciągi liczbowe (o wyrazach z ciała liczb rzeczywistych bądź zespolonych) można interpretować jako wektory o nieskończonej liczbie współrzędnych i zdefiniować dla nich analogiczne działania dodawania i mnożenia przez skalar jak w przypadku przestrzeni skończenie wymiarowej:

  • dodawanie:
( x 1 , x 2 , , x n , ) + ( y 1 , y 2 , , y n , ) = ( x 1 + y 1 , x 2 + y 2 , , x n + y n , ) , {\displaystyle (x_{1},x_{2},\dots ,x_{n},\dots )+(y_{1},y_{2},\dots ,y_{n},\dots )=(x_{1}+y_{1},x_{2}+y_{2},\dots ,x_{n}+y_{n},\dots ),}
  • mnożenie przez skalar:
λ ( x 1 , x 2 , , x n , ) = ( λ x 1 , λ x 2 , , λ x n , ) , {\displaystyle \lambda (x_{1},x_{2},\dots ,x_{n},\dots )=(\lambda x_{1},\lambda x_{2},\dots ,\lambda x_{n},\dots ),}

gdzie λ {\displaystyle \lambda } jest skalarem.

Zbiór wszystkich ciągów liczbowych V {\displaystyle V} z określonymi wyżej działaniami jest przestrzenią liniową nad ciałem z którego pochodzą wyrazy rozważanych ciągów. Dla ustalonego 0 < p < {\displaystyle 0<p<\infty } zbiór tych wszystkich ciągów liczbowych x = ( x n ) {\displaystyle x=(x_{n})} dla których

x p = ( i = 1 | x i | p ) 1 p < {\displaystyle \|x\|_{p}=\left(\sum _{i=1}^{\infty }|x_{i}|^{p}\right)^{\frac {1}{p}}<\infty }

tworzy podprzestrzeń liniową przestrzeni V . {\displaystyle V.}

Dopuszczając p = , {\displaystyle p=\infty ,} definiuje się

x = sup { | x n | : n N } . {\displaystyle \|x\|_{\infty }=\sup\{|x_{n}|:n\in \mathbb {N} \}.}

Przestrzenie p {\displaystyle \ell _{p}} to podprzestrzenie liniowe V {\displaystyle V} dla których

p = { x V : x p < } . {\displaystyle \ell _{p}=\{x\in V:\|x\|_{p}<\infty \}.}

Powyższy wzór określa normę w p {\displaystyle \ell _{p}} dla p 1 , . {\displaystyle p\in [1,\infty ].} Warunek trójkąta dla normy p {\displaystyle \|{\cdot }\|_{p}} w przypadku p < {\displaystyle p<\infty } wynika z nierówności Minkowskiego:

( n = 1 | a n | + | b n | p ) 1 p ( n = 1 | a n | p ) 1 p + ( n = 1 | b n | p ) 1 p , {\displaystyle \left(\sum _{n=1}^{\infty }{\big [}|a_{n}|+|b_{n}|{\big ]}^{p}\right)^{\tfrac {1}{p}}\leqslant \left(\sum _{n=1}^{\infty }|a_{n}|^{p}\right)^{\tfrac {1}{p}}+\left(\sum _{n=1}^{\infty }|b_{n}|^{p}\right)^{\tfrac {1}{p}},}

gdzie ( a n ) ,   ( b n ) {\displaystyle (a_{n}),\ (b_{n})} są elementami p . {\displaystyle \ell _{p}.}

Dowód nierówności Minkowskiego opiera się o nierówność Höldera:

n = 1 | a n b n | ( n = 1 | a n | p ) 1 p ( n = 1 | b n | q ) 1 q , {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }|a_{n}b_{n}|\leqslant \left(\sum _{n=1}^{\infty }|a_{n}|^{p}\right)^{\tfrac {1}{p}}\left(\sum _{n=1}^{\infty }|b_{n}|^{q}\right)^{\tfrac {1}{q}},}

gdzie ( a n ) p , {\displaystyle (a_{n})\in \ell _{p},} ( b n ) q , {\displaystyle (b_{n})\in \ell _{q},} 1 / p + 1 / q = 1 ; {\displaystyle 1/p+1/q=1;} umownie 1 / = 0. {\displaystyle 1/\infty =0.}

Norma w przestrzeniach p {\displaystyle \ell _{p}} jest zupełna, a więc przestrzenie p {\displaystyle \ell _{p}} przestrzeniami Banacha.

Przykładowo, niezerowy ciąg stały nie należy do żadnej przestrzeni p ,   p 1 , ) , {\displaystyle \ell _{p},\ p\in [1,\infty ),} gdyż nie jest sumowalny w żadnej potędze. Jest on jednak ograniczony, więc jest on elementem przestrzeni . {\displaystyle \ell _{\infty }.} Ciąg o wyrazie ogólnym 1 / n {\displaystyle 1/n} nie należy do przestrzeni 1 , {\displaystyle \ell _{1},} jednak dla każdego p > 1 {\displaystyle p>1} należy on do przestrzeni p . {\displaystyle \ell _{p}.}

Własności | edytuj kod

  • Przestrzenie 1 {\displaystyle \ell _{1}} i {\displaystyle \ell _{\infty }} nie są refleksywne, są natomiast w przypadku 1 < p < {\displaystyle 1<p<\infty } przestrzenie p {\displaystyle \ell _{p}} są. Dla p 1 , ) {\displaystyle p\in [1,\infty )} przestrzeń sprzężona do p {\displaystyle \ell _{p}} jest izometrycznie izomorficzna z przestrzenią q {\displaystyle \ell _{q}} gdzie 1 / p + 1 / q = 1 {\displaystyle 1/p+1/q=1} (konwencja: 1 / = 0 {\displaystyle 1/\infty =0} ). Dualność ta wyznaczona jest przez związek
x , y = n = 1 x n y n , x = ( x n ) n = 1 p , y = ( y n ) n = 1 q . {\displaystyle \langle x,y\rangle =\sum _{n=1}^{\infty }x_{n}y_{n},\;\;x=(x_{n})_{n=1}^{\infty }\in \ell _{p},\;\;y=(y_{n})_{n=1}^{\infty }\in \ell _{q}.}
  • Przestrzeń {\displaystyle \ell _{\infty }} jest nieośrodkowa, podczas gdy dla p 1 , ) {\displaystyle p\in [1,\infty )} przestrzenie p {\displaystyle \ell _{p}} są ośrodkowe.
  • Przestrzenie p {\displaystyle \ell _{p}} jednostajnie wypukłe dla 1 < p < . {\displaystyle 1<p<\infty .}
  • Przestrzeń p {\displaystyle \ell _{p}} jest (izomorficzna z) przestrzenią Hilberta wtedy i tylko wtedy, gdy p = 2. {\displaystyle p=2.}

Przestrzenie L p ( μ ) {\displaystyle L_{p}(\mu )} | edytuj kod

Niech p > 0 {\displaystyle p>0} będzie liczbą rzeczywistą oraz niech ( Ω , F , μ ) {\displaystyle (\Omega ,F,\mu )} będzie przestrzenią z miarą σ-skończoną. Niech L ( μ ) {\displaystyle L(\mu )} będzie zbiorem klas abstrakcji relacji równoważności w rodzinie wszystkich funkcji mierzalnych na Ω {\displaystyle \Omega } względem relacji równoważności danej warunkiem f g {\displaystyle f\sim g} wtedy i tylko wtedy, gdy zbiór { x Ω : f ( x ) g ( x ) } {\displaystyle \{x\in \Omega :f(x)\neq g(x)\}} jest μ {\displaystyle \mu } -miary zero. Zbiór

L p ( μ ) = { f L ( μ ) : Ω | f ( x ) | p μ ( d x ) < } {\displaystyle L_{p}(\mu )=\left\{f\in L(\mu ):\int \limits _{\Omega }|f(x)|^{p}\,\mu ({\mbox{d}}x)<\infty \right\}}

ma naturalną strukturę przestrzeni liniowej.

Przestrzenie L p {\displaystyle L_{p}} dla p 1 {\displaystyle p\geqslant 1} | edytuj kod

Niech p 1 , ) . {\displaystyle p\in [1,\infty ).} Z nierówności Minkowskiego wynika, że wzór

f L p ( μ ) = ( Ω | f ( x ) | p μ ( d x ) ) 1 p {\displaystyle \|f\|_{L_{p}(\mu )}=\left(\int \limits _{\Omega }|f(x)|^{p}\,\mu ({\mbox{d}}x)\right)^{\tfrac {1}{p}}}

definiuje normę przestrzeni L p ( μ ) . {\displaystyle L_{p}(\mu ).} Norma ta jest zupełna, a więc L p ( μ ) {\displaystyle L_{p}(\mu )} jest przestrzenią Banacha. Gdy Ω {\displaystyle \Omega } jest mierzalnym podzbiorem przestrzeni euklidesowej, symbolem L p ( Ω ) {\displaystyle L_{p}(\Omega )} oznacza się przestrzeń L p ( μ ) , {\displaystyle L_{p}(\mu ),} gdzie μ {\displaystyle \mu } jest miarą Lebesgue’a zacieśnioną do rodziny mierzalnych podzbiorów zbioru Ω . {\displaystyle \Omega .}

Gdy miara μ {\displaystyle \mu } jest skończona, to zachodzą inkluzje L p ( μ ) L q ( μ ) {\displaystyle L_{p}(\mu )\subseteq L_{q}(\mu )} o ile tylko p q {\displaystyle p\geqslant q} (włączając przypadek p = , {\displaystyle p=\infty ,} zdefiniowany niżej). W przypadku, gdy μ {\displaystyle \mu } jest nieskończona, tj. μ ( Ω ) = {\displaystyle \mu (\Omega )=\infty } powyższe inkluzje nie zachodzą. Na przykład dla ustalonego p 1 {\displaystyle p\geqslant 1} funkcja

f ( x ) = 1 x 1 p ( ln 2 x + 1 ) ( x > 0 ) {\displaystyle f(x)={\frac {1}{x^{\frac {1}{p}}(\ln ^{2}x+1)}}\;\;(x>0)}

należy do L p ( 0 , ) , {\displaystyle L_{p}(0,\infty ),} ale nie należy do L r ( 0 , ) , {\displaystyle L_{r}(0,\infty ),} gdy r p . {\displaystyle r\neq p.}

Przestrzeń L {\displaystyle L_{\infty }} | edytuj kod

Symbolem L ( μ ) {\displaystyle L_{\infty }(\mu )} oznacza się przestrzeń funkcji prawie wszędzie ograniczonych, tj. takich zespolonych funkcji mierzalnych, że

ess sup x Ω | f ( x ) | := inf { sup { | f ( x ) | : x Ω A } : A A , μ ( A ) = 0 } < , {\displaystyle {\mbox{ess sup}}_{x\in \Omega }|f(x)|:=\inf\{\sup\{|f(x)|:x\in \Omega \setminus A\}:A\in {\mathcal {A}},\mu (A)=0\}<\infty ,}

z normą

f = ess sup x Ω | f ( x ) | . {\displaystyle \|f\|={\mbox{ess sup}}_{x\in \Omega }|f(x)|.}

Przestrzenie L p {\displaystyle L_{p}} dla 0 < p < 1 {\displaystyle 0<p<1} | edytuj kod<p<1

W przypadku 0 < p < 1 {\displaystyle 0<p<1} nadal można mówić o przestrzeniach L p , {\displaystyle L_{p},} nie mają już one jednak struktury przestrzeni Banacha (nie są nawet lokalnie wypukłe).

Dla liczb nieujemnych a , b {\displaystyle a,b} oraz liczby 0 < p < 1 {\displaystyle 0<p<1} znana jest następująca nierówność:

( a + b ) p a p + b p , {\displaystyle (a+b)^{p}\leqslant a^{p}+b^{p},}

z której wynika, że

Δ p ( f + g ) Δ p ( f ) + Δ p ( g ) , {\displaystyle \Delta _{p}(f+g)\leqslant \Delta _{p}(f)+\Delta _{p}(g),}

przy czym Δ p ( f ) = | f ( x ) | p μ ( d x ) . {\displaystyle \Delta _{p}(f)=\int |f(x)|^{p}\mu ({\mbox{d}}x).} Na mocy powyższego, wzór

d ( f , g ) = Δ p ( f g ) {\displaystyle d(f,g)=\Delta _{p}(f-g)}

określa metrykę niezmienniczą ze względu na przesunięcia w przestrzeni L p ( μ ) . {\displaystyle L_{p}(\mu ).} Metryka ta jest zupełna. W szczególności, L p ( μ ) {\displaystyle L_{p}(\mu )} ma strukturę zupełnej liniowo-metrycznej, której bazę otoczeń zera tworzy rodzina kul

B r = { f L p ( μ ) : Δ p ( f ) < r } ( r > 0 ) . {\displaystyle B_{r}=\{f\in L_{p}(\mu ):\Delta _{p}(f)<r\}\;(r>0).}

Brak lokalnej wypukłości | edytuj kod

Dla każdej liczby r > 0 {\displaystyle r>0} zachodzi związek

B 1 = r 1 p B r , {\displaystyle B_{1}=r^{-{\frac {1}{p}}}B_{r},}

więc kula B 1 {\displaystyle B_{1}} jest ograniczona, tj. przestrzeń L p ( μ ) {\displaystyle L_{p}(\mu )} jest lokalnie ograniczoną F-przestrzenią. Przestrzeń ta nie zawiera zbiorów wypukłych i otwartych innych niż zbiór pusty i cała przestrzeń L p ( μ ) . {\displaystyle L_{p}(\mu ).} Brak lokalnej wypukłości prowadzi do następującej konsekwencji: Niech Y {\displaystyle Y} będzie dowolną lokalnie wypukłą przestrzenią liniowo-topologiczną i niech B będzie jej bazą otoczeń zera złożoną ze zbiorów wypukłych. Jeśli T : L p ( μ ) Y {\displaystyle T\colon L_{p}(\mu )\to Y} jest operatorem liniowym i ciągłym oraz W {\displaystyle W} jest elementem bazy B, to T 1 ( W ) {\displaystyle T^{-1}(W)} jest niepustym, otwartym i wypukłym podzbiorem L p ( μ ) , {\displaystyle L_{p}(\mu ),} tj. musi być on już równy całej przestrzeni. W konsekwencji T ( L p ( μ ) ) {\displaystyle T(L_{p}(\mu ))} zawiera się w każdym elemencie bazy B, tj. T {\displaystyle T} jest operatorem zerowym.

Nierówności Höldera i Minkowskiego | edytuj kod

Dla przestrzeni L p ( μ ) ( 0 < p < 1 ) {\displaystyle L_{p}(\mu )(0<p<1)} istnieją odpowiedniki nierówności Höldera i Minkowskiego.

Nierówność Höldera: Niech 0 < p < 1 {\displaystyle 0<p<1} oraz niech p = p / ( p 1 ) . {\displaystyle p'=p/(p-1).} Wówczas dla f L p ( μ ) , {\displaystyle f\in L_{p}(\mu ),} g L p ( μ ) {\displaystyle g\in L_{p'}(\mu )} spełniających warunek 0 < Δ p ( g ) < {\displaystyle 0<\Delta _{p'}(g)<\infty } zachodzi oszacowanie

Ω | f ( t ) g ( t ) | μ ( d t ) ( Ω | f ( t ) | p μ ( d t ) ) 1 p ( Ω | g ( t ) | p μ ( d t ) ) 1 p . {\displaystyle \int \limits _{\Omega }|f(t)g(t)|\mu ({\mbox{d}}t)\leqslant \left(\int \limits _{\Omega }|f(t)|^{p}\mu ({\mbox{d}}t)\right)^{\frac {1}{p}}\left(\int \limits _{\Omega }|g(t)|^{p'}\mu ({\mbox{d}}t)\right)^{\frac {1}{p'}}.}

Nierówność Minkowskiego: Dla 0 < p < 1 {\displaystyle 0<p<1} oraz f , g L p ( μ ) {\displaystyle f,g\in L_{p}(\mu )} zachodzi oszacowanie:

Δ p ( | f | + | g | ) 1 p Δ p ( f ) 1 p + Δ p ( g ) 1 p . {\displaystyle \Delta _{p}(|f|+|g|)^{\frac {1}{p}}\leqslant \Delta _{p}(f)^{\frac {1}{p}}+\Delta _{p}(g)^{\frac {1}{p}}.}
Na podstawie artykułu: "Przestrzeń Lp" pochodzącego z Wikipedii
OryginałEdytujHistoria i autorzy