Przestrzeń T4


Przestrzeń T4 w encyklopedii

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Przestrzeń normalna i przestrzeń T4 to terminy w topologii opisujące tę samą lub bardzo pokrewne własności oddzielania.

Mówi się, że w przestrzeni topologicznej X {\displaystyle X} rozłączne zbiory domknięte mogą być oddzielane przez zbiory otwarte jeśli dla każdych rozłącznych zbiorów domkniętych E , F X {\displaystyle E,F\subseteq X} można znaleźć takie rozłączne zbiory otwarte U , V X {\displaystyle U,V\subseteq X} że

E U {\displaystyle E\subseteq U} i F V . {\displaystyle F\subseteq V.} Zbiory domknięte E {\displaystyle E} i F , {\displaystyle F,} przedstawione jako zaczernione obszary są rozdzielone przez ich odpowiednie otoczenia otwarte U {\displaystyle U} i V , {\displaystyle V,} przedstawione tutaj jako większe okręgi

Czasami w sytuacji jak przedstawiona na rysunku powyżej mówi się, że zbiory domknięte E , F {\displaystyle E,F} są rozdzielone przez otoczenia otwarte U , V . {\displaystyle U,V.}

Przestrzeń topologiczna X {\displaystyle X} jest przestrzenią normalną (albo T 4 {\displaystyle T_{4}} ) wtedy i tylko wtedy, gdy X {\displaystyle X} jest przestrzenią T1 w której rozłączne zbiory domknięte mogą być oddzielane przez zbiory otwarte.

Spis treści

Dyskusja nazewnictwa | edytuj kod

Istnieją pewne niekonsekwencje w użyciu terminów przestrzeń normalna i przestrzeń T4 w literaturze. Na przykład Kuratowski w swojej monografii[1] definiuje

  • przestrzeń normalną jako przestrzeń topologiczną w której rozłączne zbiory domknięte mogą być oddzielane przez zbiory otwarte i nie wprowadza on pojęcia przestrzeni T4.

Z drugiej strony Engelking definiuje[2]

  • bycie przestrzenią normalną i bycie przestrzenią T4 jako tę samą własność (pokrywającą się z naszym znaczeniem przestrzeni normalnej).

Z powodu tych i podobnych rozbieżności, czytelnik literatury topologicznej powinien zawsze upewnić się co do znaczenia terminów stosowanych w danym artykule czy też książce. Wydaje się jednak że terminologia stosowana przez Engelkinga jest najbardziej popularna i my także będziemy się jej trzymać.

Przykłady | edytuj kod

( β N N ) { p } {\displaystyle (\beta {\mathbb {N} }\setminus {\mathbb {N} })\setminus \{p\}} nie jest przestrzenią normalną (ale jest całkowicie regularna). W tym przykładzie β N {\displaystyle \beta {\mathbb {N} }} jest uzwarceniem Čecha-Stone’a dyskretnej przestrzeni N {\displaystyle \mathbb {N} } liczb naturalnych.

Własności | edytuj kod

Jeśli X {\displaystyle X} jest przestrzenią normalną i E , F X {\displaystyle E,F\subseteq X} są jej rozłącznymi podzbiorami domkniętymi, to istnieje taka funkcja ciągła F : X 0 , 1 {\displaystyle F:X\longrightarrow [0,1]} że f ( x ) = 0 {\displaystyle f(x)=0} dla x E {\displaystyle x\in E} oraz f ( x ) = 1 {\displaystyle f(x)=1} dla x F . {\displaystyle x\in F.} Jeśli X {\displaystyle X} jest przestrzenią normalną, F X {\displaystyle F\subseteq X} jest jej podzbiorem domkniętym i f : F R {\displaystyle f:F\longrightarrow {\mathbb {R} }} jest funkcją ciągłą, to istnieje funkcja ciągła g : X R {\displaystyle g:X\longrightarrow {\mathbb {R} }} przedłużająca f {\displaystyle f} (tzn. g ( x ) = f ( x ) {\displaystyle g(x)=f(x)} dla wszystkich x F {\displaystyle x\in F} ).

Produkty przestrzeni normalnych | edytuj kod

 Zobacz też: Hipotezy Morityprzestrzeń Dowkera.

Prosta Sorgenfreya X {\displaystyle X} jest przestrzenią normalną, ale jej kwadrat X × X {\displaystyle X\times X} nie jest normalny. A.H. Stone udowodnił, że iloczyn kartezjański nieprzeliczalnie wielu niezwartych przestrzeni metrycznych nie jest przestrzenią normalną[3]. Założenia metryczności nie można pominąć, gdyż produkt ω 2 ω 1 {\displaystyle {\omega _{2}}^{\omega _{1}}} jest przestrzenią normalną.

Zobacz też | edytuj kod

Przypisy | edytuj kod

  1. K. Kuratowski, Topology; Volume I. Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa 1966, s. 121.
  2. R. Engelking, General Topology, Helderman, Berlin 1989, s. 40, ​ISBN 3-88538-006-4​.
  3. A.H.A.H. Stone A.H.A.H., Paracompactness and product spaces, „Bull. Amer. Math. Soc.”, 54, 1948, s. 977–982 .
Na podstawie artykułu: "Przestrzeń T4" pochodzącego z Wikipedii
OryginałEdytujHistoria i autorzy