Przestrzeń dyskretna


Przestrzeń dyskretna w encyklopedii

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Spis treści

Przestrzeń dyskretnaprzestrzeń topologiczna ( X , τ ) {\displaystyle (X,\tau )} z topologią τ {\displaystyle \tau } taką, że punkty zbioru X {\displaystyle X} są w pewnym sensie od siebie „oddzielone”.

Definicje formalne | edytuj kod

Niech dany będzie dowolny niepusty zbiór X . {\displaystyle X.}

  • Topologię dyskretną na X {\displaystyle X} definiuje się przyjmując, że dowolny podzbiór X {\displaystyle X} jest otwarty (a więc i domknięty). Wówczas zbiór X {\displaystyle X} wyposażony w topologię dyskretną nazywa się przestrzenią topologiczną dyskretną.
  • Jednostajność dyskretną na X {\displaystyle X} definiuje się przyjmując, że każdy nadzbiór przekątnej { ( x , x ) : x X } {\displaystyle {\big \{}(x,x)\colon x\in X{\big \}}} jest otoczeniem. Zbiór X {\displaystyle X} wyposażony w jednostajność dyskretną nazywa się przestrzenią jednostajną dyskretną.
  • Przestrzeń metryczną ( X , d ) {\displaystyle (X,d)} nazywa się przestrzenią metryczną dyskretną, jeżeli metryka d {\displaystyle d} jest metryką dyskretną, tj. d ( x , y ) = { 1 , gdy  x y , 0 , gdy  x = y {\displaystyle d(x,y)={\begin{cases}1,&{\text{gdy }}x\neq y,\\0,&{\text{gdy }}x=y\end{cases}}} dla dowolnych x , y X . {\displaystyle x,y\in X.}
  • Przestrzeń metryczną ( X , d ) {\displaystyle (X,d)} nazywa się jednostajnie dyskretną, jeśli istnieje r > 0 {\displaystyle r>0} takie, że dla dowolnych x , y X {\displaystyle x,y\in X} jest x = y {\displaystyle x=y} bądź d ( x , y ) > r . {\displaystyle d(x,y)>r.} Aby topologia takiej przestrzeni metrycznej była dyskretna, metryka nie musi być jednostajnie dyskretna: przykładem może być standardowa metryka liczb rzeczywistych na zbiorze { 1 , 1 2 , 1 4 , 1 8 , } . {\displaystyle \left\{1,{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{4}},{\tfrac {1}{8}},\dots \right\}.}

Własności | edytuj kod

Jednostajnością dyskretnej przestrzeni metrycznej jest jednostajność dyskretna, zaś topologią na dyskretnej przestrzeni jednostajnej jest topologia jednostajna. W ten sposób różne pojęcia przestrzeni dyskretnej są ze sobą zgodne.

Z drugiej strony topologia niedyskretnej przestrzeni jednostajnej lub metrycznej może być dyskretna; przykładem może być przestrzeń metryczna X := { 1 n : n = 1 , 2 , 3 , } {\displaystyle X:=\left\{{\tfrac {1}{n}}\colon n=1,2,3,\dots \right\}} z metryką odziedziczoną z prostej rzeczywistej, która nie dyskretna; przestrzeń ta nie jest przestrzeń zupełna, nie jest więc dyskretna jako przestrzeń jednostajna – mimo to jest ona dyskretna jako przestrzeń topologiczna. O przestrzeni tej można więc powiedzieć, że jest dyskretna topologicznie, ale nie dyskretna jednostajnie, czy dyskretna metrycznie.

Twierdzenia | edytuj kod

  • Wymiar topologiczny przestrzeni dyskretnej wynosi 0.
  • Przestrzeń topologiczna jest dyskretna {\displaystyle \iff } otwarte są zbiory jednoelementowe
  • Przestrzeń topologiczna jest dyskretna {\displaystyle \iff } przestrzeń topologiczna nie zawiera żadnych punktów skupienia (tzn. każdy jego punkt jest izolowany).
  • Zbiory jednoelementowe tworzą bazę topologii dyskretnej.
  • Przestrzeń jednostajna jest dyskretna {\displaystyle \iff } przekątna jest otoczeniem.
  • Każda przestrzeń dyskretna spełnia wszystkie aksjomaty oddzielania (w szczególności jest ona przestrzenią Hausdorffa oraz przestrzenią normalną).
  • Przestrzeń dyskretna jest zwarta {\displaystyle \iff } przestrzeń jest skończona.
  • Każda dyskretna przestrzeń jednostajna bądź metryczna jest zupełna.
  • Każda dyskretna przestrzeń jednostajna lub metryczna jest całkowicie ograniczona {\displaystyle \iff } przestrzeń jest skończona.
  • Każda przestrzeń dyskretna spełnia pierwszy aksjomat przeliczalności;
  • Przestrzeń dyskretna spełnia drugi aksjomat przeliczalności (jest Lindelöfa) {\displaystyle \iff } przestrzeń jest przeliczalna.
  • Każda przestrzeń o co najmniej dwóch punktach jest całkowicie niespójna.
  • Każda niepusta przestrzeń dyskretna jest drugiej kategorii.
  • Dowolne dwie równoliczne przestrzenie dyskretne są homeomorficzne.
  • Przestrzeń skończona jest metryzowalna, jeśli jest dyskretna[1].
  • Jeśli X {\displaystyle X} jest dowolną przestrzenią topologiczną, zaś Y {\displaystyle Y} jest przestrzenią topologiczną dyskretną, to X {\displaystyle X} jest równo pokryta przez X × Y {\displaystyle X\times Y} (przekształcenie rzutowe jest żądanym pokryciem).
  • Skończony iloczyn kartezjański przestrzeni dyskretnych wyposażony w topologię produktową jest przestrzenią dyskretną.
  • Dowolne przekształcenie przestrzeni topologicznej dyskretnej w inną przestrzeń topologiczną jest ciągłe.
  • Dowolne odwzorowanie przestrzeni jednostajnej dyskretnej w inną przestrzeń jednostajną jest jednostajnie ciągłe.
  • Odwzorowanie przestrzeni topologicznej Y {\displaystyle Y} w przestrzeń dyskretną X {\displaystyle X} jest ciągłe {\displaystyle \iff } jest lokalnie stałe w tym sensie, że każdy punkt Y {\displaystyle Y} ma otoczenie, na którym odwzorowanie to jest stałe.

Zobacz też | edytuj kod

Przypisy | edytuj kod

  1. W istocie jest to warunek konieczny i dostateczny.
Na podstawie artykułu: "Przestrzeń dyskretna" pochodzącego z Wikipedii
OryginałEdytujHistoria i autorzy