Przestrzeń funkcyjna


Przestrzeń funkcyjna w encyklopedii

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii To jest najnowsza wersja przejrzana, która została oznaczona 29 paź 2019. Od tego czasu wykonano 1 zmianę, która oczekuje na przejrzenie. Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Spis treści

Przestrzeń funkcyjnazbiór funkcji ze zbioru X {\displaystyle X} w zbiór Y , {\displaystyle Y,} z odpowiednio zdefiniowaną strukturą, która tworzy z niego przestrzeń (np. przestrzeń topologiczną, przestrzeń liniową czy przestrzeń liniowo-topologiczną). Przestrzenie funkcyjne są przestrzeniami nieskończenie wymiarowymi. Przestrzeni funkcyjnej można nadać dodatkowe, subtelniejsze struktury, np. wprowadzając definicje odległości (metryki), normy, iloczynu skalarnego, przekształcające je odpowiednio w przestrzenie funkcyjne metryczne, unormowane i unitarne, analogiczne do przestrzeni metrycznych, unormowanych i unitarnych skończonego wymiaru.

Definiowaniem przestrzeni funkcyjnych i ich strukturami zajmuje się analiza funkcjonalna.

Definicja przestrzeni funkcyjnej liniowej | edytuj kod

 Zobacz też: przykłady przestrzeni liniowych.

Niech V {\displaystyle V} będzie przestrzenią liniową nad ciałem F , {\displaystyle F,} zaś X {\displaystyle X} – pewnym zbiorem. Rozważmy zbiór funkcji { f : X V } {\displaystyle \{f\colon X\to V\}} wówczas przestrzenią funkcyjną liniową nad ciałem F {\displaystyle F} nazywamy uporządkowaną czwórkę ( { f : X V } , F , + , ) {\displaystyle (\{f\colon X\to V\},F,+,\cdot )} gdzie działania dodawania funkcji oraz mnożenia funkcji przez skalar definiujemy następująco:

(1.1) Sumą funkcji f , g : X V {\displaystyle f,g\colon X\to V} nazywa się funkcję h : X V {\displaystyle h\colon X\to V} taką, że dla dowolnych x X {\displaystyle x\in X} spełniona jest zależność

h ( x ) = f ( x ) + g ( x ) {\displaystyle h(x)=f(x)+g(x)}

Wtedy pisze się h = f + g {\displaystyle h=f+g}

(1.2) Iloczynem funkcji f : X V {\displaystyle f\colon X\to V} przez skalar c F {\displaystyle c\in F} nazywa się funkcję h : X V {\displaystyle h\colon X\to V} taką, że dla dowolnych x X {\displaystyle x\in X} spełniona jest zależność

h ( x ) = c f ( x ) {\displaystyle h(x)=c\cdot f(x)}

Wtedy pisze się h = c f {\displaystyle h=c\cdot f}

Funkcje należące do przestrzeni liniowej nazywa się wektorami.

Liniowa niezależność funkcji. Baza | edytuj kod

 Osobny artykuł: liniowa niezależność.

(2.1) Funkcje f 1 , f 2 , , f n {\displaystyle f_{1},f_{2},\dots ,f_{n}} nazywa się liniowo niezależnymi jeżeli żadnej z tych funkcji nie da się przedstawić w postaci kombinacji liniowej pozostałych funkcji.

(2.2) Bazą przestrzeni funkcyjnej nazywa się zbiór liniowo niezależnych funkcji danej przestrzeni.

Baza przestrzeni funkcyjnych ma nieskończenie wiele elementów.

Przykład: Przestrzeń funkcyjna liniowa, unormowana | edytuj kod

(3.1) Zbiór C 0 , 1 {\displaystyle C[0,1]} wszystkich funkcji ciągłych na odcinku domkniętym 0 , 1 {\displaystyle [0,1]} nad ciałem liczb rzeczywistych R {\displaystyle \mathbb {R} } tworzy przestrzeń funkcyjną liniową z działaniami dodawania funkcji (1.1) oraz mnożenia funkcji przez skalar (1.2).

(3.2) Jako bazę przestrzeni można wybrać np. funkcje potęgowe określone na zbiorze 0 , 1 , {\displaystyle [0,1],} tj. f n : 0 , 1 R , f n ( x ) = x n , n N . {\displaystyle f_{n}\colon [0,1]\to \mathbb {R} ,f_{n}(x)=x^{n},\;n\in \mathbb {N} .}

(3.3) Funkcje te są liniowo niezależne, a każdą funkcję ciągłą można wyrazić za ich pomocą, np. funkcja wykładnicza wyraża się za pomocą funkcji potęgowych wzorem

e x = n = 0 x n n ! . {\displaystyle \mathrm {e} ^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}.}

(3.4) W przestrzeni tej można zdefiniować normę funkcji wzorem

f := sup x a , b | f ( x ) | , {\displaystyle \|f\|:=\sup _{x\in [a,b]}{\big |}f(x){\big |},}

co oznacza, że „wielkość” funkcji jest równa największej jej wartości, jaką ma na odcinku a , b . {\displaystyle [a,b].}

Wprowadzenie normy tworzy z przestrzeni funkcyjnej przestrzeń unormowaną. Przestrzeń ta należy do ogólniejszej klasy przestrzeni Banacha, dlatego jej ogólne własności są określone przez teorię przestrzeni Banacha.

(3.5) Odległość w przestrzeni jest w naturalny sposób zdefiniowana przez normę

f g := sup x a , b | f ( x ) g ( x ) | . {\displaystyle \|f-g\|:=\sup _{x\in [a,b]}{\big |}f(x)-g(x){\big |}.}

(3.6) Można zdefiniować w tej przestrzeni iloczyn skalarny np. za pomocą całki

f | g = 0 1 f ( x ) 1 g ( x ) d x . {\displaystyle \langle f|g\rangle =\int _{0}^{1}f(x)^{-1}\cdot g(x)\,\,dx.}

Iloczyn skalarny pozwala określić ortogonalność funkcji w przestrzeni: funkcje f n , f m {\displaystyle f_{n},f_{m}} są ortogonalne, jeżeli n m , {\displaystyle n\neq m,} gdyż

f n | f m = 0 1 f n ( x ) 1 f m ( x ) d x = 0 1 x m n ( x ) d x , {\displaystyle \langle f_{n}|f_{m}\rangle =\int _{0}^{1}f_{n}(x)^{-1}\cdot f_{m}(x)\,\,dx=\int _{0}^{1}x^{m-n}(x)\,\,dx,}

skąd

f n | f n = 0 1 x 0 ( x ) d x = 0 1 1 d x = 1 {\displaystyle \langle f_{n}|f_{n}\rangle =\int _{0}^{1}x^{0}(x)\,\,dx=\int _{0}^{1}1\,\,dx=1}

oraz

f n | f m = 1 m n + 1 x m n + 1 | 0 1 = 1 m n + 1 ( 1 m n + 1 0 m n + 1 ) = 0 , {\displaystyle \langle f_{n}|f_{m}\rangle ={\frac {1}{m-n+1}}x^{m-n+1}{\Big |}_{0}^{1}={\frac {1}{m-n+1}}(1^{m-n+1}-0^{m-n+1})=0,}

pod warunkiem, że przyjmie się 0 0 = 1 {\displaystyle 0^{0}=1} (patrz: Potęgowanie). Taka definicja jest jednak niejednoznaczna dla wszystkich funkcji. Bardziej precyzyjne zdefiniowanie iloczynu skalarnego prowadzi do pojęcia przestrzeni Hilberta.

Przestrzenie funkcyjne w różnych działach matematyki | edytuj kod

Przestrzenie funkcyjne pojawiają się w różnych działach matematyki:

Zobacz też | edytuj kod

oraz:

Bibliografia | edytuj kod

  • F.W. Byron, R.W. Fuller, Matematyka w fizyce klasycznej i kwantowej, Warszawa PWN 1975, Tom 1, s. 203–223.
Na podstawie artykułu: "Przestrzeń funkcyjna" pochodzącego z Wikipedii
OryginałEdytujHistoria i autorzy